1分解要徹底。
最後的結果只有括號。
3在最終結果中，多項式首項系數為正(例如，-3x 2+x =-x (3x-1))。
[編輯本段]基本方法
(1)公因子法
每壹項的公因數稱為這個多項式的每壹項的公因數。
如果多項式的每壹項都有壹個公因子，就可以提出這個公因子，這樣多項式就可以轉化為兩個因子的乘積。這種分解因素的方法叫做提高公因子法。
具體方法:當所有系數都是整數時，公因數公式的系數要取所有系數的最大公約數；字母取每壹項的同壹個字母，每個字母的索引取最小的數字；取最低次的同壹個多項式。
如果多項式的第壹項為負，通常提出壹個“-”號，使括號中第壹項的系數變為正。提出“-”號時，應改變多項式的各項。
口訣:找對公因子，壹次清理；全家搬走，留下1看家；負號要改，變形要看奇偶性。
比如:-am+BM+cm =-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)= a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).
註:將2A 2+1/2改為2 (A 2+1/4)不是公因數。
⑵公式法
如果把乘法公式反過來，有些多項式可以因式分解。這種方法叫公式法。
平方差公式:a2-B2 =(a+b)(a-b)；
完全平方公式:a 22ab+b 2 =(a b)2；
註:可以用完全平方公式分解因子的多項式壹定是三項式，其中兩個可以寫成兩個數(或公式)的平方和，另壹個是這兩個數(或公式)的乘積的兩倍。
立方和公式:a3+B3 =(a+b)(a2-a b+B2)；
三次差分公式:a3-B3 =(a-b)(a2+a b+B2)；
完全立方公式:a 3 3a 2b+3ab 2 b 3 = (a b) 3。
公式:A 3+B 3+C 3+3 ABC =(A+B+C)(A 2+B 2+C 2-A B-BC-CA)
比如:a 2+4ab+4b 2 = (a+2b) 2。
(3)因式分解技巧
1.因式分解因子和代數表達式乘法是互逆變形。
2.因式分解技巧:
①方程的左邊必須是多項式；
②因式分解的結果必須用乘積的形式表示；
③每個因子必須是代數表達式，每個因子的次數必須低於原多項式的次數；
④因式分解因子必須分解到每個多項式因子都不能再分解為止。
註意:分解因子前要找到公因子，確定公因子前要考慮系數和因子。
3.公因子法的基本步驟:
(1)求公因數；
(2)取公因子，確定另壹因子:
(1)求公因子的第壹步可以根據確定公因子的方法來確定。
(2)第二步，提出公因子，確定另壹個因子。註意確定另壹個因素。妳可以把原多項式除以公因式，得到的商就是提高公因式後的余數。也可以用公因式去掉原多項式的每壹項，求剩下的因式。
(3)提取公因子後，另壹個因子的項數與原多項式相同。
[編輯此段]比賽中使用的方法
⑶分組分解法
群分解是求解方程的壹種簡單方法。讓我們學習這些知識。
方程中有四個或四個以上的項可以分組，壹般的分組分解有兩種形式:二分法和三分法。
例如:
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分在壹組，bx和by分在壹組，用乘除法和分配法互相匹配，馬上就解除了困難。
同樣，這道題也可以做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾個例子:
1.5ax+5bx+3ay+3by
解:=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
註意:不同的系數可以分解成組。如上，把5ax和5bx看成壹個整體，把3ay和3by看成壹個整體，利用乘法分配律很容易求解。
2.x^3-x^2+x-1
解:=(x ^ 3-x ^ 2)+(x-1)
=x^2(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二分法，用公因子法提出x2，然後就很容易解決了。
3.x2-x-y2-y
解:=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
用二分法，然後用公式a2-b2=(a+b)(a-b)，然後巧解。
(4)交叉乘法
這種方法有兩種情況。
①x？+(p+q)x+pq型公式的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的系數為1；常數項是兩個數的乘積；線性項的系數是常數項的兩個因子之和。所以我們可以直接分解壹些系數為1: x的二次三項式因子？+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
②kx？+mx+n型公式的因式分解
如果有k=ac，n=bd，有ad+bc=m，那麽kx？+mx+n=(ax+b)(cx+d)。
圖表如下:
×
c d
例如，因為
1 -3
×
7 2
-3× 7 =-21，1× 2 = 2，以及2-21=-19，
所以7x？-19x-6=(7x+2)(x-3)。
交叉相乘的公式:頭尾分解，交叉相乘，求和。
5]拆分和添加項目的方法
這種方法是指把壹個多項式的壹項拆開或把兩項(或幾項)彼此相反的項填滿，使原公式適合於通過提高公因式法、利用公式法或分組分解法進行分解。需要註意的是，變形必須在與原多項式相等的原則下進行。
比如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
= BC(c-a)+ca(c-a)+BC(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)。
[6]匹配方法
對於壹些不能用公式法的多項式，可以用完全平坦的方式擬合，然後用平方差公式進行因式分解。這種方法稱為匹配法。屬於拆項補項法的特例。還需要註意的是，變形必須在與原多項式相等的原則下進行。
比如:x？+3x-40
=x？+3倍+2.25-42.25
=(x+1.5)？-(6.5)?
=(x+8)(x-5)。
階乘定理的應用。
對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，則f(x)必須包含因子x-a .
比如:f(x)=x？+5x+6，f(-2)=0，那麽就可以確定x+2就是X？+5x+6的系數。(其實x？+5x+6=(x+2)(x+3)。)
註:1。對於系數全為整數的多項式，若x = q/p(p，q為互質整數時)，多項式值為零，則q為常數項除數，p為最高次的系數除數；
2.對於多項式f (a) = 0，其中b是最高次的系數，c是常數項，則a是c/b除數。
替代法。
有時候在因式分解的時候，可以選擇多項式的相同部分，用另壹個未知數替換，然後因式分解，最後再轉換回來。這種方法叫做替代法。
註意:換完人民幣別忘了還。
例如，在分解(x？+x+1)(x？+x+2)-12，可以使y=x？那麽+x
原公式=(y+1)(y+2)-12。
=y？+3y+2-12=y？+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x？+x+5)(x？+x-2)
=(x？+x+5)(x+2)(x-1)。
妳也可以看到右邊的圖片。
(9)尋根法
設多項式f(x)=0，求其根為x1，x2，x3，...xn，則該多項式可分解為f (x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3)...(x-xn)。
比如分解2x 4+7x 3-2x 2-13x+6時，設2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 = 0。
通過綜合除法，方程的根是0.5，-3，-2，1。
所以2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 =(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)。
⑽形象法
設y=f(x)，作函數y=f(x)的像，求函數像與X軸的交點，x1，x2，x3，…xn，...Xn，則該多項式可因式分解為f (x) = f (x) = (X-X1) (X-X2)。
與⑼法相比，它可以避免求解方程的復雜性，但不夠精確。
比如x ^ 3+2x ^ 2-5x-6分解時，可以使y = x ^ 3；+2x^2 5x 6。
作其像，與X軸的交點為-3，-1，2。
那麽x3+2x 2-5x-6 =(x+1)(x+3)(x-2)。
⑾主成分法
首先選擇壹個字母作為主元素，然後按照字母的個數從高到低排列項目，再進行因式分解。
⑿特殊價值法
將2或10代入X，求出數P，將數P分解為質因數，適當組合質因數，將組合後的各因數寫成2或10的和與差，將2或10化簡為X，從而得到因式分解。
比如分解x 3+9x 2+23x+15時，設x=2，那麽
x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，
105分解成三個質因數的乘積，即105 = 3× 5× 7。
註意多項式中最高項的系數是1，而3，5，7分別是x+1，x+3，x+5，當x=2時，
那麽x 3+9x 2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後為真。
[13]待定系數法
首先判斷因式分解因子的形式，然後設置相應代數表達式的字母系數，求出字母系數，從而分解多項式因子。
比如分解x 4-x 3-5x 2-6x-4時，分析表明這個多項式沒有壹次因子，所以只能分解成兩個二次因子。
所以設x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2+ax+b)(x2+CX+d)。
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
因此，a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4。
解是a=1，b=1，c=-2，d =-4。
那麽x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2+x+1)(x2-2x-4)。
妳也可以看到右邊的圖片。
[14]雙交叉乘法。
雙叉乘法屬於因式分解的壹種，類似於叉乘法。
雙交叉乘法是二元二次六元組，初始公式如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x和y是未知數，其余是常數。
用壹個例子來說明如何使用。
舉例:分解因子:x2+5xy+6y 2+8x+18y+12。
解析:這是壹個二次六項公式，可以考慮用雙叉乘法進行因式分解。
解決方法:圖如下，把所有號碼交叉連接就可以了。
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原始公式= (x+2y+2) (x+3y+6)。
雙交叉乘法包括以下步驟:
(1)先用十字乘法分解二次項，如十字乘法圖(1)中的x2+5xy+6y ^ 2 =(x+2y)(x+3y)；
②根據壹個字母(如Y)的第壹個系數給常數項打分。比如交叉相乘的圖②中的6y？+18y+12 =(2y+2)(3y+6)；
③按另壹個字母(如X)的第壹個系數查，如十字乘法圖③。這壹步不能省略，否則容易出錯。
[編輯本段]多項式因式分解的壹般步驟:
(1)如果多項式項有公因子，那麽先提公因子；
(2)如果沒有公因子，那就嘗試用公式和交叉乘法來分解；
(3)如果以上方法無法分解，可以嘗試分組、拆分、添加條目的方式進行分解；
(4)必須進行因式分解，直到每個多項式因式分解都不能再分解為止。
也可以用壹句話來概括:“先看有沒有公因數，再看有沒有公式。試試十字乘，分組分解要合適。”
幾個例子
1.分解因子(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2。
解:原公式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)。
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x 2(1+y)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)。
2.驗證:對於任意實數x，y，下面公式的值不會是33:
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.
解:原公式=(x ^ 5+3x ^ 4y)-(5x ^ 3y ^ 2+15x ^ 2y ^ 3)+(4xy ^ 4+12y ^ 5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)。
(因式分解過程也可以在右圖中看到。)
當y=0時，原公式= x 5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，33不能分成四個以上不同因子的乘積，所以原命題成立。
3.△ ABC的三邊A、B、C有如下關系:-C 2+A 2+2AB-2BC = 0。證明這個三角形是等腰三角形。
解析:此題本質上是對關系等號左邊的多項式進行因式分解。
證明:∫-C2+a2+2ab-2bc = 0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.
∴(a-c)(a+2b+c)=0.
∵a，B，C是△ABC的三條邊，
∴a+2b+c>0.
∴a-c=0，
即a = c且△ABC是等腰三角形。
4.因式分解-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)。
解:-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)。
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).
【編輯此段】因式分解四註:
因式分解中的四點，可以用四句話概括如下:第壹項為負且常為負，每壹項為“公”且第壹項為“公”，某壹項為1，括號內分為“底”。這裏有壹些例子供妳參考。
示例1因式分解-A2-B2+2AB+4。
解:-A2-B2+2AB+4 =-(A2-2AB+B2-4)=-(A-B+2)(A-B-2)
這裏的“負”是“負號”的意思。如果多項式的第壹項為負，壹般需要提出壹個負號，使括號中第壹項的系數為正。防止學生出現-9 x2+4 y2 =(-3x)2-(2Y)2 =(-3x+2Y)(-3x-2Y)=(3x-2Y)等錯誤。
例2因式分解-12 x2 nyn+18xn+2yn+1-6 xnyn-1。解:-12 x2 nyn+18xn+2yn+1-6 xnyn-1 =-6 xnyn-1(2 xny3 x2 y2+1)。
“公”在這裏的意思是“公因數”。如果多項式的每壹項都包含壹個公因子，首先提取這個公因子，然後進壹步分解這個因子；這裏的“1”是指當多項式的壹整項都是公因式時，先提出這個公因式，不要漏掉括號裏的1。
必須進行因式分解，直到每個多項式因子都不能再分解為止。也就是分解到最後，而不是半途而廢。其中包含的公因子要壹次性“幹凈”，不留“尾巴”，每個括號中的多項式不能再分解。防止學生出現4x4y 2-5x2y 2-9 Y2 = Y2(4x 4-5x 2-9)= Y2(x2+1)(4x 2-9)等錯誤。
檢查時應註意:
當沒有對實數的解釋時，壹般只對有理數解釋就夠了。
從這個角度來說，因式分解中的四個註意貫穿了因式分解的四個基本方法，與因式分解的四個步驟或壹般思維順序的四句話是壹脈相承的:“先看有沒有公因式，再看能不能成立壹個公式，試試十字乘法，群分解要合適”。
[編輯本段]因式分解的應用
1，應用於多項式除法。
2.它適用於求高次方程的根。
3、應用於分數的運算