在邏輯學中，指能同時推導或證明兩個矛盾命題的理論體系或命題。悖論的定義可以表述為:基於壹個被公認為真的命題，設定為B，經過正確的邏輯推理，得出與前提矛盾的命題不是B；另壹方面，在非B的前提下，也可以推導出B。那麽命題b就是壹個悖論。當然，非B也是個悖論。我們可以根據壹些制定的或約定的公理規則來判斷或證明壹個命題的真值，但當我們根據制定的或約定的公理規則來判斷或證明壹些命題的真值時，有時會出現不可解的悖論。這種情況意味著什麽？
自然界整體上包含著多樣性，但我們忽略了這些情況，特別關註屬於我們興趣的特殊情況。當壹種特殊情況遇到其他相反的情況或帶有普遍性的壹般情況時，必然會產生壹些相互矛盾的結論。對數學基礎產生巨大危機沖擊的不是數學悖論，而是對邏輯和理解的巨大沖擊。
無限集合本身就是壹個模糊的概念。有限的可以叫集合，無限的不能叫集合。集合是指在壹定範圍內，無限是指範圍無限，否則就不應該叫無限而是有限。無窮大不應該是壹個任意的選擇或適用範圍，壹個量超過了人類所能達到或理解的水平，就會進入無窮大的範圍。到目前為止，人類還沒有完全清楚地知道我們所能識別的半徑到底有多大，因此無法準確而精確地界定無限與有限的界限。
集合的概念本身是壹個不受限制的概念。總集可以任意分成幾個集，都是集。確切地說，我們不知道在那個意義的前提下它是否是壹個集合。
子集存在悖論，或者與其他集合存在悖論，父集合與子集合之間也存在悖論，因為每個特定子集都有自己的規則，這些規則只在自己的範圍內有效。超出範圍就會無效，這總是不可避免或者取消的。除非取消類的集合級別區分，否則不符合對待具體事物的態度，無法滿足實際應用要求。此外，集合的本義和引申義經常混淆，有時會與元素的含義混淆。集合相當於低級的元素，上升時是集合，再次上升時是元素，是累積的。
當它們不相關時，羅素悖論是有效的。當它們相互聯系時，即已經成為壹個類或壹個整體，那麽兩種計量標準或規定就不允許或不能在壹個類或壹個整體中執行。自我否定和什麽都不說是壹樣的，或者說等於什麽都不說。
壹階邏輯的哥德爾完備性定理和不完備性定理本身就是悖論，暴露了邏輯帶來的問題。哥德爾不完全性定理是缺乏判斷力，以決策的主導方面為標準，或者標準太多而導致的悖論。所謂標準也是規定。失敗後，可以根據實際需要重新規定新的規則。反正原來的規則也是規定的。悖論發生後為什麽不能重新規定規則以滿足實際應用的需要？明明是妳自己的規則，妳卻創造新的規則來打破原有的規則。如果妳這樣工作，總會有工作要做，總會有做不完的工作。
階級是人為區分的，但階級是根據需要人為創造的。如果他們被分類，階級是不同的。總的來說，沒有什麽相似和不同。因為階級的不同，數字也不同，有些差異是相反的，這是正常的，也是必然的。但是，人要在類和數之間轉換，就得重新制定新的規則。
證明只是按照預先設定的、思想的規定去操作，必然會符合規定。我們只是按照規定來操作和執行。證明的作用或意義是什麽？階級悖論不是證明就能解決的。
悖論是數學中壹個廣泛而嚴格定義的分支的組成部分，這個分支以“有趣的數學”而聞名。這意味著它有很強的遊戲色彩。但是，不要以為所有偉大的數學家都鄙視“數學有趣”這個問題。歐拉通過分析過橋之謎奠定了拓撲學的基礎。萊布尼茨還寫了他獨自玩插棒遊戲(壹種在小方塊中插入小木塊的遊戲)時分析問題的樂趣。希爾伯特證明了切割幾何中的許多重要定理。馮·紐曼奠定了博弈論的基礎。最流行的電腦遊戲“生活”是由著名的英國數學家康威發明的。愛因斯坦還收集了整整壹書架關於數學遊戲和智力遊戲的書。
Paradox來源於希臘語“para+dokein”，意思是“多思考”。這個詞的含義是豐富的，包含了所有與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會讓我們驚嘆不已。悖論是壹個矛盾的命題。即如果這個命題被承認，就可以推斷其否定命題成立；另壹方面，如果承認了這個命題的否定命題，就可以推導出這個命題成立。如果承認是真的，經過壹系列正確的推理，得出結論是假的；如果妳承認它是假的，經過壹系列正確的推理，它就是真的。古今中外有許多著名的悖論，它們沖擊了邏輯和數學的基礎，激發了人們的求知和精確思維，引起了古往今來許多思想家和愛好者的關註。解決悖論問題需要創造性思維，而悖論的解決往往能給人帶來新的思路。
最早的悖論被認為是古希臘的“騙子悖論”。
編輯本段的原則
同時假設兩個或兩個以上不能同時成立的前提是所有悖論問題的相同特征。
壹般來說，由於悖論是壹種形式上的矛盾，即壹些特殊的意識形態規定的產物，所以不能直接反映事物的辯證性質；再者，我們不能把它們說成是“特殊的客觀真理”，而只能說成是“扭曲的真理”。
因此，悖論本質上是客觀現實的辯證性與主觀思維的形而上學性和形式邏輯化方法之間矛盾的集中表現。具體來說，作為客觀世界的壹部分或壹面，認識或理論(數學理論和語義理論)的研究對象往往具有辯證性，即對立聯系的統壹性；但是，由於主觀思維方法上的形而上學或形式邏輯化的局限，客觀對象的辯證性在認識過程中往往被扭曲:對立統壹的環節被絕對割裂，被片面誇大，以至於達到壹種絕對、僵化的程度，從而辯證統壹成為絕對對立；而如果把它們機械地重新連接起來，對立的環節之間的直接沖突是不可避免的，這就是悖論。
形式
悖論有三種主要形式。
1.壹個斷言看似肯定是錯的，其實是對的(悖論)。
2.壹個斷言看似肯定是對的，其實是錯的(似是而非的理論)。
3.壹系列的推理看似牢不可破，卻導致邏輯矛盾。
類型
悖論主要包括邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統計悖論和時間悖論。
羅素悖論以其簡單明了震驚了整個數學領域，導致了第三次數學危機。然而，羅素悖論並不是第壹個悖論。不用說，在羅素之前不久，康托爾和布拉裏四十就已經發現了集合論中的矛盾。羅素悖論發表後，出現了壹系列邏輯悖論。這些悖論讓我想起了古代的騙子悖論。即“我在撒謊”“這句話是騙人的”。這些悖論的結合造成了很大的問題，促使大家關心如何解決這些悖論。
第壹個發表的悖論是布拉裏四十悖論，它是指序數按照其自然順序形成壹個有序集合。這個良序集根據定義也有壹個序數ω，根據定義應該屬於這個良序集。但根據序數的定義，序數序列中任意壹段的序數大於該段內任意壹個序數，那麽ω應該大於任意壹個序數，所以不屬於ω。這是布拉裏·福蒂在1997年3月28日巴洛莫數學會議上宣讀的壹篇文章中提出的。這是第壹個發表的現代悖論，引起了數學界的興趣，並導致了此後多年的熱烈討論。討論悖論的文章有幾十篇，極大地促進了對集合論基礎的重新審視。
Blary Foday本人認為這個矛盾證明了這個序數的自然序只是壹個偏序，與康托爾幾個月前證明的結果序數集相矛盾。後來Blary Foday也沒有做這方面的工作。
羅素在他的《數學原理》中認為，雖然序數集合是全序的，但它不是良序的，但這種說法是不可靠的，因為任何給定序數的首段都是良序的。法國邏輯學家Jourdain找到了出路。他區分了相容集和不相容集。這種區分實際上已經被康托爾私下使用了很多年。不久之後，羅素在1905的壹篇文章中質疑了序數集合的存在性，澤梅洛也有同樣的想法，後來在這個領域也有很多人持同樣的想法。
經典數學的悖論
古今中外有許多著名的悖論，它們沖擊了邏輯和數學的基礎，激發了人們的求知和精確思維，引起了古往今來許多思想家和愛好者的關註。解決悖論問題需要創造性思維，而悖論的解決往往能給人帶來新的思路。
本文將悖論大致分為六種類型，分為上、中、下三個部分。
第壹部分:自指概念引起的悖論和引入無窮帶來的悖論
(壹)自我參照引起的悖論
下面的例子中有壹個概念自指或自相關的問題:如果我們從壹個正命題出發，就會得到它的負命題；如果我們從否定命題開始，我們將得到它的肯定命題。
1-1騙子悖論
公元前6世紀，哲學家埃庇米尼得斯，壹個克裏提人，說:“所有的克裏提人都說謊，他們中的壹個詩人也這麽說。”這就是這個著名悖論的由來。
《聖經》中曾提到:“樸容洙族人中的壹位當地先知說，‘凱爾特人經常說謊，但他們是邪惡的野獸，貪婪而懶惰’”(提多書1)。可見這個悖論是有名的，但保羅對它的邏輯解並不感興趣。
人們會問:Epiminides在說謊嗎？這個悖論最簡單的形式是:
1-2“我在撒謊”
如果他在說謊，那麽“我在說謊”就是謊言，所以他說的是實話；但如果這是真的，他又在撒謊了。矛盾在所難免。它的副本:
1-3“這句話不對”
這種悖論的壹個標準形式是:如果事件A發生，則推導出非A，如果非A發生，則推導出A，這是壹個自相矛盾的無限邏輯循環。拓撲學中的片面體是形象的表達。
哲學家羅素曾經認真思考過這個悖論，並試圖找到解決辦法。他在《我的哲學的發展》第七章“數學原理”中說:“自亞裏士多德以來，任何學派的邏輯學家似乎都能從他們公認的前提中推導出壹些矛盾。這說明有問題，但不能指出改正的方法。1903的春天，其中壹個矛盾的發現打斷了我正在享受的邏輯蜜月。”
他說:騙子悖論簡單地概括了他發現的矛盾:“騙子說，‘我說的都是假的’。其實這是他說的，但這句話指的是他說的全部。只有把這句話包含在那個人群裏，才會產生壹個悖論。”(同上)
羅素試圖通過分層命題來解決:“壹級命題可以說是那些不涉及整體命題的命題；二級命題是那些涉及壹級命題整體的命題；其余如是，甚至無窮。”但是這種方法並沒有取得效果。“整個1903和1904期間，我幾乎全身心投入到這件事上，但是完全沒有成功。”(同上)
數學原理試圖在純邏輯的前提下推導出整個純數學，用邏輯術語解釋概念，避免自然語言的歧義。但在這本書的序言中，他稱之為“出版壹本包含如此多未解決爭議的書。”可見，要從數學基礎的邏輯上徹底解決這個悖論並不容易。
接著他指出，在所有的邏輯悖論中，都有壹種“反身的自我指涉”，即“它包含著關於那個整體的東西，而這種東西是整體的壹部分。”這個觀點很好理解。如果這個悖論是樸正洙以外的人說的，那就自動消除了。但在集合論中，問題就沒這麽簡單了。
1-4巴伯悖論
在薩維爾村，理發師掛了壹塊牌子:“我只給村裏那些不自己理發的人理發。”有人問他:“妳給自己理發嗎？”理發師頓時啞口無言。
這是壹個悖論:理發師不理發，就屬於招牌上的那種人。按照承諾，他應該給自己理發。另壹方面，如果理發師自己剪頭發，按照牌子，他只剪村裏不自己剪頭發的人的頭發，他自己剪不了。
所以無論理發師怎麽回答，都不能排除內在矛盾。這個悖論是羅素在1902年提出的，所以也被稱為“羅素悖論”。這是集合論悖論的壹個通俗而有故事的表達。顯然，還有壹個無法回避的“自我參照”問題。
1-5集合論悖論
" R是所有不包含自身的集合的集合."
人們還會問:“R包含R本身嗎？”如果不是，根據R的定義，R應該屬於R，如果R包含自身，則R不屬於R。
在羅素的集合論悖論發現數學基礎有問題後，庫爾特·哥德爾(捷克，1931)提出了壹個“不完全定理”，打破了19世紀末數學家們“所有數學系統都可以通過邏輯推導出來”的理想。這個定理指出，任何壹個公設系統都是不完整的，必然存在既不能肯定又不能否定的命題。比如對歐幾裏得幾何中“平行線公理”的否定，產生了幾個非歐幾裏得幾何；羅素悖論也說明集合論的公理體系是不完整的。
1-6書目悖論
壹個圖書館編了壹本書名詞典，裏面列出了圖書館裏所有沒有列出自己書名的書。那麽它會列出自己的標題嗎？
這個悖論與巴伯悖論基本壹致。
1-7蘇格拉底悖論
蘇格拉底(公元前470-399)，雅典人，有“西方孔子”之稱，是古希臘偉大的哲學家，曾與著名的詭辯家普魯特·戈拉斯、戈吉斯等人對立。他建立了壹個“定義”來對付詭辯家令人困惑的修辭，從而找出了數百種雜七雜八的理論。但他的道德觀念並沒有被希臘人接受，在他七十歲的時候被視為詭辯派的代表。在驅逐普魯特·哥拉斯和焚燒書籍十二年後，蘇格拉底也被處死，但他的理論被柏拉圖和亞裏士多德繼承。
蘇格拉底有壹句名言:“我只知道壹件事，那就是壹無所知。”
這是壹個悖論，我們不能從這句話推斷蘇格拉底是否不知道這件事本身。中國古代也有類似的例子:
1-7“言語充滿矛盾”
這是莊子在《莊子·萬物論》裏說的。後期墨家反唇相譏:如果“萬物反真理”，莊子的說法豈不是反真理？我們常說:
1-7“世界上沒有絕對的真理”
我們不知道這句話本身是不是“絕對真理”。
1-8“荒謬的真相”
有些字典把悖論定義為“荒謬的真理”，這種矛盾修飾本身也是壹種“壓縮的悖論”。Paradox來源於希臘語“para+dokein”，意思是“多思考”。
這些例子都說明，邏輯上，他們無法擺脫自我指涉概念帶來的惡性循環。有沒有更進壹步的解決方法？我們將在下壹節的最後壹部分繼續討論。
(二)引入無限悖論
《墨子經說俠》中有壹句話:“南有窮，可竭；無窮無盡。”如果把無限引入有限，可能會引起悖論。