數學中的反例是指滿足命題條件，但不滿足命題結論的例子。當壹個數學命題被提出時，首先，通過壹系列正確的推理得到證明；壹種是求反例(壹個就夠了)否定這個命題。
1反例的作用
1.1的反例可以用來判斷命題是否成立。
在數學中，要證明壹個命題為真，必須經過嚴格的推理；否定壹個命題，只要給出壹個符合命題條件但與命題結論相矛盾的例子就可以了。費馬是17世紀法國傑出的數學家。他曾經做過壹個猜想:形狀就像，當n是自然數時，它是壹個質數。半個多世紀後，歐拉首先找到壹個反例，計算出當n=5時，它不是素數，即它是合數。歐拉通過反例否定了費馬猜想，利用反例判斷命題真假的作用由此可見壹斑。
命題1的周期函數之和還是周期函數，非周期函數之和還是非周期函數。
分析取，周期為2，周期為，但為非周期函數。也希望它們都是非周期函數，但它們的和顯然是周期為的周期函數。
從上面的反例可以判斷，命題1是壹個偽命題。
1.2反例可以用來構造和證明壹個命題。
對於壹個命題，壹方面它的反例可以起到否定這個命題的作用。沒有找到反例，就不能說明命題為真，因為可能有反例，只是妳沒有找到而已。另壹方面，命題的反例有時是其否定命題的極好證明。
命題2素數是有限的。
如果質數只有有限個，那麽妳可以把它們都寫出來，還不如設為，沒有其他質數。現在構造壹個數:或者素數，顯然大於壹切；或者是壹個合數，顯然是不能除盡的，所以還有其他的質因數。但不管是哪種情況，都意味著還有其他素數。這個反例說明“素數有有限個”這個命題是假的。
1.3的反例有助於加深對數學概念和定理的理解。
數學中有很多復雜的概念和定理，條件結論交錯，讓人難以理解。通過對壹些反例的分析，有助於加深對數學概念的理解。借助於反例，可以使定理的條件和結論之間的關系變得清晰。
命題3周期函數必有最小正周期。
在分析討論周期函數及其最小正周期時，很多人認為壹個周期函數必有壹個最小正周期。我們可以舉出反例來闡明這個觀點:這個函數以任意有理數為周期，有理數中沒有最小正數，所以不存在最小正周期。這說明不是所有的周期函數都有最小正周期。通過這個反例，人們可以更好地理解周期函數最小正周期的數學概念。
1.4的反例是壹種快速找到解題錯誤結果的方法。
面對壹個問題的答案，通常會有很多方法來驗證結果是否正確。這是用反例引導人們追求問題的快捷方法。
例如，如果方程的兩個根都大於2，那麽數字的範圍應該是現實的。
從題意中得出了錯誤的解答。
然後②
也就是說，因此。
沒有反例很難找出解題結果中的錯誤。如果妳替換它，妳得到等式，其中壹個是2(不大於2)。從這個反例可以看出，解題過程中是有錯誤的，那麽錯誤在哪裏呢？仔細考察可以看出，①→②不是同態變形，所以要給②加條件，正確答案應該是:。
利用反例幫助人們發現解題中的錯誤，方便快捷。此外，反例還有助於加深對數學定義、定理、公式等的記憶。
2構造反例的幾種方法
2.1二分法
所謂“二分法”，就是把滿足問題的情況分成兩類，使壹類具有壹定的屬性，另壹類沒有。如果第壹類能使命題成立，那麽就考察第二類。如果有必要，我們可以繼續用“二分法”對第二種情況再次進行分類，直到找到反例(當然有時也可能找不到)。
命題4如果並且，那麽。
分析命題的結論分為兩種:1)；2)。很明顯，後壹種情況，總有，就是那個時候，命題結論不成立。所以很容易舉出反例:當時有:通過“二分法”，系統地找到反例，說明這個命題是假的。
2.2特殊情況施工方法
利用壹些特例和典型反例，構造所需反例:直角三角形、等腰三角形、兩條平行或垂直的直線等特例。；典型的反例是在判斷函數奇偶性時如何解釋函數是奇數還是偶數。有了這些特例，我們就可以在必要的時候靈活運用，構造出必要的反例。註意問題的特例或典型反例，有時會事半功倍，找反例很簡單。
2.3近似構造法
通過對命題的分析，找到反例的範圍，逐步縮小範圍，向目標靠近，最終構造出所需反例。
命題5設內切圓半徑、外接圓半徑和最長高度分別為，則有。
分析取等腰，頂角為，當(圖1)時，為底邊上的高度。隨著它變得越來越小，越來越長，它在同壹頁上。
當(圖2)，它是在腰部高，有。所以，當時可以在這個範圍內構造反例:。所以可以判斷這個命題是假的。
2.4圖示施工方法
結合問題的幾何意義，借助圖形，構造壹個反例。
命題6是函數的最小正周期，那麽函數的最小正周期就是最小公倍數。
分析還不如設定函數的最小正周期。如果命題成立，函數的最小正周期也應該是。現在，該函數被構造為將其最小正周期減半(圖3)。為了滿足條件，前半周期等於，後半周期為0；反之亦然，從而形成反例。這樣就可以通過圖形直觀地判斷原命題為偽命題。
2.5題目設計數量關系的討論方法
壹些看似真或假的數學命題，規定了壹些量之間的關系，或者暗示了壹些量的關系。當這些數量關系滿足問題設置關系的壹部分時，命題成立；當這些數量關系滿足問題間關系的另壹部分時，命題不成立。所以，註意討論題的數量關系，往往可以更簡單地構造反例。
命題7假設三條邊的長度分別為，和，那麽這個三角形壹定是正三角形。
根據問題的意思進行分析
，移動並排序
或者。顯然，上述類別是可以顛倒的。那時候，有。此時滿足了命題關系但命題結論不成立。所以很容易找到反例:時間滿足設題關系，有，但不是正三角形。
3摘要
反例在培養發散性思維能力和創造性思維能力方面具有重要作用，在糾正錯誤結論、深化概念理解、開拓數學新領域方面也具有重要作用。學習構造反例是壹門學問，我們可以從學習實踐中獲得很多構造反例的經驗。
參考
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(作者單位:江蘇省寶應中學)
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