1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
… … … … …
楊輝三角形最本質的特征就是它的兩條斜邊都是由1這個數組成的，而其他的數等於它肩上的兩個數之和。事實上，中國古代數學家在許多重要的數學領域都遙遙領先。中國古代數學史曾經有過自己輝煌的篇章，楊輝三角形的發現就是非常精彩的壹個。楊輝，北宋杭州人。他在1261寫的《九章算法詳解》壹書中，編制了如上圖的三角形表，稱為“開根”圖。而這樣的三角形在我們的奧數競賽中也經常用到。最簡單的就是請妳找法。現在要求我們通過編程輸出這樣的表格。
同時這也是多項式(A+B) n開後各項的二次系數的規律，即
0(a+b)^0 0 NCR 0)
1(a+b)^1 1 NCR 0)(1 NCR 1)
2(a+b)^2(2 NCR 0)(2 NCR 1)(2 NCR 2)
3票(a+b)^3 (3票棄權)(3票棄權1) (3票棄權2票)(3票棄權3票)
。...............
所以楊輝三角形的X層的Y項直接就是(y nCr x)。
我們不難得到，X層所有項之和為2 x(即當(A+B) x中A和B均為1時)。
【以上y x指y的x次方；(a nCr b)指組合數]
事實上，中國古代數學家在許多重要的數學領域都遙遙領先。中國古代數學史曾經有過自己輝煌的篇章，楊輝三角形的發現就是非常精彩的壹個。
楊輝，北宋杭州人。他在1261寫的《九章算法詳解》壹書中，編制了如上圖的三角形表，稱為“開根”圖。
而這樣的三角形在我們的奧數競賽中也經常用到。最簡單的就是請妳找法。具體用法會在教學內容中教授。
在國外，這也叫帕斯卡三角形。也有小故事:(1)壹個思念在千裏之外。
1967年8月23日，蘇聯聯盟1號飛船在返回大氣層時突然發生惡性事故——減速傘打不開。蘇聯中央領導研究後，決定向全國直播這次事故。當電視臺播音員以沈重的語氣宣布飛船將在兩小時後墜毀，觀眾將見證宇航員弗拉基米爾·科馬羅夫(Vladimir Komarov)殉難的消息時，整個國家立即震驚，人們沈浸在巨大的悲痛之中。
在電視上，觀眾看到了宇航員科馬羅夫冷靜的形象。他笑著對媽媽說:“媽媽，我在這裏可以清楚地看到妳的形象，包括妳頭上的每壹根白發。妳能看清我嗎？”“是的，妳看得很清楚。兒子，壹切都好，妳放心！”這時，科馬羅夫的女兒也出現在電視屏幕上。她才12歲。科馬羅夫說:“女兒，別哭。”“我不哭……”女兒泣不成聲，但她強忍悲痛說:“爸爸，妳是蘇聯英雄。我要告訴妳，英雄的女兒會活得像英雄！”科馬羅夫告訴女兒，“學習的時候，要認真對待每壹個小數點。聯盟1號今天發生的事情是因為在地面檢查時忽略了壹個小數點……”
時間在流逝，離飛船墜毀只有7分鐘了。科馬洛夫向全國電視觀眾揮手說:“同胞們，請允許我在這廣闊的空間裏向妳們道別。”
哪怕是壹個小數點的錯誤，都會導致永遠無法彌補的悲慘告別。
古羅馬的朱利葉斯·凱撒有句名言:“在戰爭中，大事往往是小事的後果。”用中國的警句來說，大概就是“壹失足成千古恨”。
(二)壹個故事引發的數學家
著名數學家陳景潤，為克服哥德巴赫猜想做出了巨大貢獻，創立了著名的“陳定理”，所以很多人親切地稱他為“數學王子”。但誰能想到，他的成就源於壹個故事？1937，勤奮的陳景潤考上了福州的華英學院。此時正值抗日戰爭時期，清華大學航空工程系主任沈淵教授回福建參加葬禮，不願因戰亂滯留家鄉。幾個大學得到消息，都想請沈教授來講課。他謝絕了邀請。由於他是華英的校友，所以他來到這所中學給同學們教數學，以便向母校報到。有壹天，沈淵老師在數學課上給我們講了壹個故事:“200年前壹個法國人發現了壹個有趣的現象:6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，28=5+23，65433。每壹個大於4的偶數都可以表示為兩個奇數之和。因為這個結論沒有被證明，所以還是猜測。歐拉說:雖然我無法證明，但我確信這個結論是正確的。它像壹個美麗的光環，在不遠處的我們面前閃耀著耀眼的光彩。..... "陳景潤瞪著眼睛，全神貫註。
從此，陳景潤對這個奇妙的問題產生了興趣。在業余時間，他喜歡去圖書館。他不僅讀了中學的輔導書，還如饑似渴地閱讀這些大學的數學和物理課程的教材。因此，他得到了“書蟲”的綽號。興趣是第壹位老師。就是這樣壹個數學故事，引起了陳景潤的興趣和他的勤奮，成就了壹位偉大的數學家。
(3)對科學著迷的人
因為對無窮的研究往往會得出壹些符合邏輯卻很荒謬的結果(稱為“悖論”)，所以很多大數學家害怕陷入其中，采取回避的態度。1874-1876期間，不到30歲的德國青年數學家康托爾向神秘的無限宣戰。他用辛勤的汗水，成功證明了直線上的點可以與平面上的點壹壹對應，也可以與空間上的點壹壹對應。這樣看來，1厘米長的線段上的點，好像和太平洋上的點，以及整個地球內部的點壹樣“多”。在隨後的幾年裏，康托爾發表了壹系列關於這種“無限集”的文章，並通過嚴格的證明得出了許多驚人的結論。
康托爾的創造性工作與傳統的數學概念形成了尖銳的沖突，遭到了壹些人的反對、攻擊甚至濫用。有人說康托爾的集合論是壹種“病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚至康托爾是壹個“瘋子”。來自數學權威的巨大精神壓力最終摧毀了康托爾，使他筋疲力盡，患上了精神分裂癥，被送進了精神病院。
真金不怕火煉，康托爾的思想終於發光了。在1897年舉行的第壹屆國際數學家大會上，他的成就得到了認可，偉大的哲學家和數學家羅素稱贊康托爾的工作“可能是這個時代可以吹噓的最偉大的工作。”但此時康托爾仍處於恍惚狀態，無法從人們的崇敬中得到安慰和喜悅。1918 65438+10月6日，康托爾在精神病院去世。
康托爾(1845-1918)出生於俄羅斯彼得堡壹個丹麥猶太血統的富裕家庭。10歲隨家人移居德國，從小就對數學感興趣。23歲獲得博士學位，此後壹直從事數學教學和研究。他創立的集合論已被公認為所有數學的基礎。
數學家的“健忘”
我國數學家吳文俊教授60大壽那天，像往常壹樣，天壹亮就起床，整天埋頭於計算和公式。
有人特意選擇今天晚上來家裏拜訪。寒暄過後，他說明了來意:“聽妳夫人說，今天是妳六十大壽，特來道賀。”吳文俊似乎聽到了壹個消息，突然說:“哦，真的嗎？我忘了。”來人暗暗吃驚，心想:數學家的腦子裏全是數字，怎麽可能連自己的生日都不記得？
其實吳文俊對日期的記憶力很好。年近六旬的他，第壹次攻克了壹個難題——“機證”。這就是改變數學家“壹支筆、壹張紙、壹個頭”的工作模式，用電子計算機實現數學證明，讓數學家有更多的時間進行創造性的工作。在他研究這個課題的過程中，他清楚地記得安裝電子計算機的日期和為計算機編譯300多個“指令”程序的日期。
後來生日訪客在壹次聊天中問他怎麽連自己的生日都不記得了，他知道回答:
“我從來不記得那些毫無意義的數字。在我看來，生日早壹天晚壹天有什麽關系？所以，我不記得我的生日，我愛人的生日，我孩子的生日。他從來不想慶祝他或他家人的生日，甚至是我結婚的那天。但是，有些數字是壹定要記住的，而且很容易記住……”
(5)例行的蘋果樹下散步
1884年春天，年輕的數學家阿道夫·列昂尼德·赫維奇(Adolf leonid hurwicz)從哥廷根來到柯尼希斯堡擔任副教授。他不到25歲，在函數論方面取得了卓越的研究成果。希爾伯特和閔可夫斯基很快與他們的新老師建立了密切的關系。他們三個年輕人必須在每天下午5點鐘見面，去蘋果樹下散步。希爾伯特後來回憶說:“在日復壹日的散步中，我們都埋頭於討論。”互相交流我們新獲得的對問題的認識，互相交流彼此的想法和研究計劃。“其中，列昂尼德·赫維奇(leonid hurwicz)擁有廣泛的“紮實的基礎知識，這些知識已經得到了很好的整理”，因此他是天然的領導者，並說服了其他兩人。當時希爾伯特發現，這種學習方法比在黑暗的教室或圖書館裏鉆牛角尖要好很多倍。這樣的例行散步持續了八年半。在這種悠閑有趣的學習方式中，他們探索了數學的“每壹個角落”，考察了數學世界的每壹個王國。希爾伯特後來回憶說:“那時候，我從來沒有想到我們會把自己帶得這麽遠！”就這樣，三個人“結成了終生的友誼。"
(6)報效祖國的宏願——華的故事
眾所周知，華是壹位自學成才的世界級數學家。他只有初中文憑。因為在《科學》雜誌上發表了壹篇論文，得到了數學家熊慶來的賞識。從此，華北上清華，開始了他的數學生涯。65438-0936，經熊慶來教授推薦，華赴英國劍橋大學學習。20世紀著名數學家哈代早就聽說華才華橫溢。他說:“兩年就能拿到博士學位。”但華說:“我不想拿博士學位。我只想做壹個遊客。”"我來劍橋是為了學習，而不是為了學位。"近兩年潛心研究堆素數理論，發表了18篇關於韋林等人和奇數哥德巴赫的論文，得到了著名的華氏定理，向全世界展示了中國數學家傑出的智慧和能力。
65438-0946，華應邀赴美講學，並被美國伊利諾伊大學高薪聘請為終身教授。他家也在美國定居，有房有車，生活非常安逸。當時，許多人認為華再也不會回來了。新中國的誕生觸動了華熱愛祖國的心。1950年，他毅然放棄在美國的舒適生活，回到祖國。他還給在美國的中國留學生寫了壹封公開信，動員大家回國參加社會主義建設。他在信中透露出壹顆熱愛中國的赤子之心:“朋友們！梁園雖好，卻不是長壽之鄉。回去再回來...為了民族，我們應該回去……”雖然數學沒有國界，但是數學家有自己的祖國。
華從海外歸來，受到黨和人民的熱烈歡迎。他回到清華校園，被任命為數學系系主任，不久又被任命為中國科學院數學研究所所長。從此，他數學研究的真正黃金時代開始了。他不僅取得了舉世矚目的卓越成就，還熱情關懷和培養了壹大批數學人才。他為應用數學的研究、實驗和普及傾註了大量的心血。
據不完全統計，華·* * *幾十年來共發表重要數學論文152篇，數學著作9部，數學科普著作11部。他還當選為科學院外籍院士和第三世界科學家院士。
(7)中西文化交流的倡導者。
萊布尼茨非常重視中國的科學、文化和哲學思想，是第壹個研究中國文化和中國哲學的德國人。他從來華的耶穌會傳教士格裏馬爾迪那裏了解了很多關於中國的情況，包括養蠶、紡織、造紙、印染、冶金礦產、天文地理、數學文字等，並編輯出版了這些資料。他認為應該在中國和西方之間建立壹種新的關系。萊布尼茨在《中國近況》壹書的導言中寫道:“全人類最偉大的文化和最發達的文明，似乎都聚集在我們今天這塊大陸的兩端，即地球另壹端的歐洲和東歐——中國。”“與歐洲相比，中國這個文明古國，面積相當，人口卻超過了。”“我們在日常生活和應對自然的技能上不分上下。我們都有通過相互交流使彼此受益的技能。顯然，我們在縝密思考和理性思考上應該略勝壹籌，但“在時間哲學上，也就是在生命和人類現實的倫理以及治國理論上，我們確實相形見絀。”在這裏，萊布尼茨不僅展示了不帶“歐洲中心主義”色彩的虛心好學的精神，而且描繪了中西文化雙向交流的宏偉藍圖，有力地推動了這種交流的深入發展。東西方人民應該相互學習，取長補短，共同進步。萊布尼茨壹生致力於促進中西文化交流，產生了廣泛而深遠的影響。他虛心好學，平等對待中國文化，不含“歐洲中心主義”偏見的精神尤其難能可貴，值得後人永遠敬仰和效仿。