anxn+an-1xn-1+…+a 1x+A0 = 0(1)
的根叫做代數數，其中ai是有理數。所以所有有理數和部分無理數都是代數數，因為任何有理數(是方程x-c=0的根，2是x2-2=0的根。不是代數數的數稱為超越數，因為歐拉說，“它們超出了代數方法的能力。”歐拉至少早在1744就認識到了代數數和超越數的這種區別。他猜測基於有理數的有理數的對數壹定是有理數或者超越數。但在18世紀，我不知道哪個數是超越數，因為證明超越數存在的問題還沒有解決。
到19世紀中期，代數無理數和超越無理數的工作向更好地理解無理數邁進了壹步。代數無理數和超越無理數的區別已經在19世紀完成。值得壹提的是，超越數存在性的證明是通過兩種方式進行的。由於這個原因，我們再次拾起他們的線索。
壹方面，直到1844年前，是否存在超越數的問題還沒有解決，但在這壹年，劉維爾證明了以下形式的任何數都是超越的:
a1101！+a2102+a3103！+…
其中ai是從0到9的任何整數。
為了證明上述結論，劉維爾首先證明了關於用有理數逼近代數無理數的幾個定理。代數數是滿足代數方程(1)的任意實數或復數，其中ai是整數。稱為n次代數數的根意味著它滿足n次方程，但不滿足n次或更少次的方程。有些代數數是有理數，而且都是線性的。劉維爾證明了如果p/q是n次代數無理數x的任意近似值，則存在壹個正數m-make。
| x-pq | & gt；Mqn
這裏p和q & gt1是壹個整數。這說明n次代數無理數的任何有理逼近p/q的精度壹定達不到m/qn。換句話說，如果x是n次的代數無理數，那麽壹定有壹個正數m使得不等式| x-pq |；1，所以當μ≤ n時也成立，所以對於壹個固定的m，如果上面的不等式對於每壹個正整數μ都有解p/q，那麽X就是壹個超越數。劉維爾證明了他的無理數滿足上述最終條件，從而證明了他的數是超越數。
另壹方面，康托(1845 ~ 1918)從集合論中得到了代數數集可數的證明。壹定有不是代數數的實數。這樣的數叫做超越數。他的證明是這樣的。
如上所述，代數數是滿足方程(1)的任意實數或復數，其中ak是整數。代數數的概念是有理數的自然延伸，因為後者構成了n = 1的特殊形式。
但並不是每個實數都是代數數。這種區別從康托爾證明所有代數數都是可數的就可以看出來。既然所有實數的集合都是不可數的，那麽壹定存在不是代數數的實數。
將代數數集合排列成可數序列的方法如下:對每個(1)形式的方程，放壹個正整數。
h = | an |+| an-1+…+| a 1 |+| A0 |+n(2)
設置為它的“高度”。對於每個確定的h，高度為h的方程只有有限個(1)，每個方程最多有n個不同的根。所以高度為h的方程得到的代數數是有限的，所以我們可以把所有的代數數排列成壹列，也就是先排列高度為1的代數數，再排列高度為2的代數數……以此類推。這進壹步完善了超越數的理論。不僅證實了超越數的存在，而且進壹步完善了超越數的理論。不僅證明了超越數的存在，而且進壹步指出它是壹個不可數集合。難怪我國偉大的學者、數學家華教授在《數論導論》壹書中感嘆“超越數的存在性已被證明，幾乎所有實數都是超越數，覆蓋代數數的集合只是可數集合！”
理解特殊的超越數。向前邁出的第二大步是Hermite證明了E是1873中的超越數。得到這個結果後，埃爾米特寫信給卡爾·威廉·博羅哈特(1817 ~ 1880)說:“我不敢試圖證明π的超越性。如果其他人承擔這項工作，沒有人比我更為他們的成功感到高興，但相信我，我親愛的朋友，這永遠不會使他們花費壹些努力。
勒讓德早就推測π是壹個超越數，費迪南·林德曼。(費蘭·林德曼。1852-1939)在1882用壹種本質上與埃爾米特相同的方法證明了這個猜想。林德曼指出，如果X1，X2、...、XN是不同的代數數，但p1。
p 1ex 1+p2ex 2+…+pnexn
不需要為0。如果我們取n = 2，p1 = 1，x2 = 0，可以看出當x1是非零代數數時，ex1不可能是代數數。由於x1可以取為1，E是超越數，現在已知Eiπ+1 = 0，所以數iπ不可能是代數數。由於兩個代數的乘積是代數數，I是代數數，所以π不是代數數。π是超越數的證明解決了著名的幾何作圖問題“圓方問題”的最後壹項，因為全部可用。
關於壹個基本常數仍然是個謎。歐拉常數γ。
γ= lim(1+12+…+1n-lnn)
大約是0。57721564490它在分析中起著重要的作用，特別是在γ函數和ζ(s)函數的研究中，但它是有理數還是無理數還是未知數。對此，大數學家希爾伯特壹再呼籲全世界的數學家“到了喋喋不休的地步”。最近揭示了黎曼ζ函數與歐拉常數的關系表達式為γ=∑∞n = 2(-1)nnζ(s)。而且還有關系∑∞n = 1ζ(2n+1)(n+1)= 1-γ，從這個關系就可以看出來。歐拉常數是否無理數與黎曼ζ函數密切相關(當Re(s)為正奇數時)。