1，戈爾茨坦定理:戈爾茨坦級數的快速增長其實很好理解。指數函數最初增長很快。古德斯坦級數增加了底數，指數上的底數，指數上的底數，最終指數增加了1，所以得到的新數當然比原來的大很多倍。難以理解的是果爾德施坦因定理的結論。經過有限步後，Goldstein級數將收斂到0。
2.集合的序數:我們可以從小開始數，兩三歲的孩子也許能從1數到10。但是，如果我們認真想壹想，即使長大了，僅僅通過數數，也並沒有比三歲的孩子提高多少。我們只是把計數能力擴大到最多10，1000，1000，10000。基數和序數在有限集裏是壹回事，在無限集裏卻是完全不同的概念。
哥德爾不完全定理；
哥德爾不完全定理是美國著名數學家哥德爾在1931年提出的。這個理論證明，任何形式系統，只要包含壹個簡單的初等數論描述，並且是自洽的，就壹定包含壹些系統中允許的方法既不能證明真理，也不能證偽的命題。它使數學的基礎研究發生了劃時代的變化，是現代邏輯史上壹個非常重要的裏程碑。
這個結果摧毀了數學中壹個叫做希爾伯特計劃的哲學嘗試。戴維·希爾伯特建議，像實分析這樣的復雜系統的兼容性可以通過更簡單的系統來證明。最終，所有數學的兼容都可以歸結為基礎算術的兼容。但是哥德爾第二定理證明了基礎算術的兼容性本身無法證明，所以不能用來證明比它更強的系統的兼容性。