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羅素悖論在數學教育裏的意義

解決悖論的意義

雖然不能說邏輯類型論已經完全解決了上述悖論,但卻可以說它極大地促進了邏輯的發展。因為在壹定意義上,它正確地反映了客觀外界的無限多樣性。這種多樣性可以以壹種多層性的形式反映在人們思維中。作為人類思維的外在表現形式的語言勢必在某種程度上間接反映著這種客觀的多樣性或多層性。當人們的語言層次或思維層次與客觀外界的層次不協調時,就可能出現悖論,而通過對語言和思維的層次分析,可以幫助我們了解事物的各種規定性。當然,我們應當指出:客觀世界的所謂“多層性”絕不像羅素的邏輯層次那樣壁壘分明,而是呈現出極復雜的狀態,而且,命題的層次說只是從思維的形式和結構方面來講的,它仍是壹種有待進壹步檢驗的假說。

那麽,人們試圖解決悖論的種種努力究竟有什麽意義呢?簡單概括起來大概有以下三個方面:(1)從數學上看,悖論迫使人們從邏輯和哲學的角度對數學基礎問題重新進行了全面而深入的研究,這種努力正是企圖給數學以相對更加牢靠的基礎;(2)從邏輯上看,單以二值邏輯來說,它的值必須或真或假,即不能即真又假,然而,邏輯悖論卻破壞了矛盾律和排中律,使命題的值即真又假,無法確定,解決悖論的努力可以說是在企圖維護形式邏輯的基本律;(3)從哲學上看,人們在解決悖論的努力使自己的認識不斷深化,從而對相對靜止的思維形式和結構,以及它們之間錯綜復雜的層次和關系做了更進壹步的剖析。此外,上述努力對於反對詭辯論和相對主義也有壹定的意義。