“數學思想”比壹般的“數學概念”具有更高的概括抽象水平，後者比前者更具體、更豐富，而前者比後者更本質、更深刻。“數學思想”是與其相應的“數學方法”的精神實質與理論基礎，“數學方法”則是實施有關的“數學思想”的技術與操作程式中。中學數學用到的各種數學方法，都體現著壹定的數學思想。數學思想屬於科學思想，但科學思想未必就是數學思想。有的數學思想（例如“壹分為二”的思想和“轉化”思想）和邏輯思想（例如完全歸納的思想）由於其在數學中的運用而被“數學化”了，也可以稱之為數學思想。
基本數學思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應思想，公理化與結構思想，數形結合思想，化歸思想，函數與方程的思想，整體思想，極限思想，抽樣統計思想等。當我們按照空間形式和數量關系將研究對象進行分類時，把分類思想也看作基本數學思想。基本數學思想有兩大基石——符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大支柱——對應思想和公理化結構思想。基本數學思想及其衍生的其他數學思想，形成了壹個結構性很強的網絡。
數學中滲透著基本數學思想，它們是基礎知識的靈魂，如果能使它們落實到我們學習和應用數學的思維活動上，就能在發展我們的數學能力方面發揮出壹種方法論的功能，這對於學習數學、發展能力並開發智力都是至關重要的。
所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的 結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括後產生的本質認識；基本數學思想則是體現或應該體 現於基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，並且是歷史地發展著的。
“數學思想”比壹般的“數學概念”具有更高的概括抽象水平，後者比前者更具體、更豐富，而前者 比後者更本質、更深刻。“數學思想”是與其相應的“數學方法”的精神實質與理論基礎，“數學 方法”則是實施有關的“數學思想”的技術與操作程式中。中學數學用到的各種數學方法，都體現 著壹定的數學思想。數學思想屬於科學思想，但科學思想未必就是數學思想。有的數學思想（例如 “壹分為二”的思想和“轉化”思想）和邏輯思想（例如完全歸納的思想）由於其在數學中的運用而被“數學化”了，也可以稱之為數學思想。
自20世紀以來，由於數學基礎學科中重大思想方法的出現，特別是數學公理化的形成以及數學基礎理論研究的深入開展，人們漸漸關心數學各分支之間的內在聯系，開始註意對數學思想方法本身的產生及其發展規律的探討。許多著名的數學家都曾從事過數學思想方法理論的研究，並獲得豐富的研究成果，這些成果為我們今天研究數學思想方法的教學提供了理論基礎，為數學思想方法教學的順利進行提供了可能。
自20世紀50年代以來，許多著名的數學家，尤其是長期從事教育工作的數學家，集中精力從事數學教育功能的研究，並獲得了壹系列理論研究成果。如波利亞所著的《數學與猜想》，米山國藏發表的《數學的精神、思想與方法》等就是其中的研究成果。
進入20世紀80年代，數學方法論作為研究數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中發現、發明與創新等法則的壹門新學科，在我國數學界，特別是數學教育界獲得了廣泛重視。這期間徐利治先生所著的《數學方法論選講》與鄭毓信先生所著的《數學方法論入門》等論著十分有意義，這些工作是奠基性和開創性的。這些工作直接推動了我國數學教育界開展數學思想方法及其教學的研究。
進入20世紀90年代，隨著教育改革的不斷深入，國內許多專家、學者對數學思想方法及其教學的研究興趣日益濃厚，有了許多新著出版，如鄭毓信先生的《數學方法論入門》，張奠宙先生與過伯祥先生合著的《數學方法論稿》。不少報刊、雜誌也刊登過許多有價值的論文。特別是1992年8月國家教委制定的“九年義務教育數學教學大綱”中明確數學思想方法是數學知識的組成部分後，引起了人們對數學思想方法教學的進壹步重視，有關數學思想方法的教學研究也不斷深入和拓廣，解決了不少教學實際問題，極大推動了我國數學教育改革的進程，並成為壹項獨具特色而又富有深遠意義的研究課題。那麽，到底什麽是數學思想方法呢？
“方法”壹詞，起源於希臘語，字面意思是沿著道路運動。其語義學解釋是指關於某些調節原則的說明，這些調節原則是為了達到壹定的目的所必須遵循的。《蘇聯大百科全書》中說：“方法表示研究或認識的途徑、理論或學說，即從實踐上或理論上把握現實的，為解決具體課題而采用的手段或操作的總和。”美國麥克來倫公司的《哲學百科全書》將方法解釋為“按給定程序達到既定成果必須采取的步驟。”我國《辭源》中解釋“方法”為“辦法、方術或法術”。從科學研究的角度來說，方法是人們用以研究問題，解決問題的手段、工具，這種手段、工具與人們的知識經驗、理論水平密切相關，是指導人們行動的原則。中國古代兵書《三十六計》開篇就寫道：“六六三十六，數中有術，術中有數。”說明古代人早已意識到數學與策略、方法之間的密切關系。我們認為，數學方法就是提出、分析、處理和解決數學問題的概括性策略。
在現代漢語中，“思想”解釋為客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果。《辭海》中稱“思想”為理性認識。《中國大百科全書》認為“思想”是相對於感性認識的理性認識成果。《蘇聯大百科全書》中指出：“思想是解釋客觀現象的原則。”毛澤東在《人的正確思想從哪裏來》壹文中說：“感性認識的材料積累多了，就會產生壹個飛躍，變成了理性認識，這就是思想。”綜合起來看，思想是認識的高級階段，是事物本質的、高級抽象的概括的認識。我們認為，數學思想是數學中的理性認識，是數學知識的本質，是數學中的高度抽象、概括的內容，它蘊涵於運用數學方法分析、處理和解決數學問題的過程之中。
數學思想是對數學事實、概念和理論的本質認識，是數學知識的高度概括。數學方法是數學思想在數學認識活動中的具體反映和體現，是處理探索解決數學問題、實現數學思想的手段和工具。廣義來說，數學思想和方法是數學知識的壹部分。
（I）數學思想的結構
數學思想範圍很廣，在中學裏常用的基本數學思想有：
①轉化的思想。數學中充滿著各種矛盾，如繁和簡、難和易、壹般和特殊、未知和已知等。通過轉化可以化繁為簡、化難為易、化壹般為特殊，化未知為已知，使矛盾得到解決。數學問題解決的過程，實際上是由條件向結論轉化的過程，由條件先得出過渡的結論、然後壹步壹步轉化，得到最後的結論。因此轉化是數學中最基本的思想。具體地分析，有加法和減法的轉化、乘法和除法的轉化、乘方和開方的轉化、指數和對數的轉化，高次向低次轉化、多元向壹元轉化、三維向二維轉化等。
②函數和方程的思想。函數描述了自然界中量與量之間的依賴關系，函數的思想是用聯系和變化的觀點，從實際問題中抽象出數量關系的特征，建立函數關系，從而研究變量的變化規律。
方程思想 是在解決問題時，先設定壹些未知數，然後根據問題的條件找出已知數與未知數之間的等量關系，列出方程最後通過解方程未知數的值使問題得到解決。
③邏輯劃分的思想。又稱分類討論思想，其實質是根據問題的要求，確定分類的標準準，對研究的對象進行分類，然後對劃分的每壹類分別求解，最後綜合得出結論。
④數形結合的思想。數形結合是將數量關系和空間圖形結合起來，抽象思維和形象思維結合起來，把數量關系轉化為圖形性質，用幾何方法解決代數問題，或把圖形性質轉化為數量關系，用代數方法解決幾何問題。
（2）基本數學方法的結構
基本的數學方法壹般有兩種：
①數學思維方法。這是數學方法中較高層次的方法，是數學中思考問題的方法，包括分析、綜合、抽象、概括、觀察、試驗、聯想類比、猜想、歸納、演繹、壹般化與特殊化等。
②數學解題方法。這是數學解題的通法，相對於特殊的解題技巧而言，它具有壹般的
規律，有配方法、換元法、消元法、代入法、待定系數法、參數法等。
前面我說了重視數學知識的發生、形成和發展過程的教學在有效的形成學生認知結構中的重要作用。同時，我們還知道，問題是數學的心臟，方法是數學的行為，思想是數學的靈魂。不管是數學概念的建立，數學規律的發現，還是數學問題的解決，乃至整個“數學大廈”的構建，核心問題在於數學思想方法的培養和建立。因此，在教學中，我不僅重視知識形成過程，還十分重視發掘在數學知識的發生、形成和發展過程中所蘊藏的重要思想方法。“數學科學”之所以從自然科學領域中分離出來，成為現代科學的十大部門之壹，首先不是因為數學知識本身，而是因為數學思想與數學意識的重要作用。在壹個人的壹生中，最有用的不僅是數學知識，更重要的是數學的思想和數學的意識。因此我們應當在小學數學教學中不失時機地進行思想方法的滲透。
(壹)“單位”思想的滲透
數學中，不管是“數”還是“量”的計算都得益於“單位”思想。
1．重視滲透“1”是自然數的單位的思想。
可以說，沒有“1”就沒有自然數，就沒有整個的數學體系。所以，從壹年級開始，我就十分註重對學生進行“單位”思想的滲透。
(1)在具體認識10以內各數之前，我就非常重視“1”與“許多”的教學。教師出示壹籃子蘋果，說籃子中有“許多”蘋果。並要學生將籃子中的蘋果壹個壹個地分別放到每個小盤中，那麽，每個小盤中就都是“1”個蘋果。再把每個盤子裏壹個壹個蘋果集中在籃子裏，籃子裏就是“許多”蘋果。在上述演示過程中，讓學生體驗到“許多”和“1”的關系：“許多”由壹個壹個的“1”組成；“許多”可以分成壹個壹個的“1”。“許多”是對“1”而言的。
(2)在10以內的數的認識階段，註意講清每個數與“1”的關系，強調若幹個“1”可以合成這個數。例如，教數“7”時，我首先不是出示“6”，然後再加“1”，向學生說明這就是“7”；而是壹次出示七個物體，讓它直接與壹個物體比較，讓學生從中領悟到“7”表示七個“1”；其次，才是揭示“7”與前面所認識的數，特別是與它前面最靠近的數“6”的關系。
(3)在教學百以內、萬以內數的認識時，仍然強調“1”是自然數的單位，而註意把它與計數單位“十”、“百”、“千”、“萬”等區別開來。
2．在量的計量教學中，重視“計量單位”的引進。
量的計量教學，首要問題是要合理引入計量單位。在歷史上，任何壹個計量單位的引進都有壹個漫長的歷史過程。作為課本不可能也沒有必要花大氣力去闡述這個過程。但是作為教師根據教學的實際情況，適當地展示它的簡單過程和所運用的思想方法，有利於培養學生的創造性思維品質和為追求真理而勇於探索的精神。例如，在“面積與面積單位”壹課教學中，當學生無法直接比較兩個圖形面積的大小時，引進“小方塊”，並把它壹個壹個地鋪在被比較的兩個圖形上，這樣，不僅比較出了兩個圖形的大小，而且，使兩個圖形的面積都得到了“量化”。使形的問題轉化為數的問題。在這壹過程中，學生親身體驗到“小方塊”所起的作用。接著又通過“小方塊”大小必須統壹的教學過程，使學生深刻地認識到：任何量的量化都必須有壹個標準，而且標準要統壹。很自然地滲透了“單位”思想。
再如，在“時、分、秒”壹課的教學中，壹開始導入新課時，我就設計了如下過程：(1)老師先後發出兩次“啊”的聲音(兩次時間明顯不壹樣)問學生哪壹次“啊”的時間長？接著，老師又分別舉起左、右手(左、右手舉得時間明顯不壹樣長)。問學生左、右手舉手時間哪次長？設計這壹教學過程的目的是，讓學生體驗到時間雖然看不見，摸不著，但我們能用眼睛和耳朵感覺到時間確實存在。(2)老師又先後發出兩次“啊”的聲音和舉起左、右手，但時間長短幾乎壹樣，使學生難以判斷出兩次“啊”的時間和左、右手舉手時間的長短。從而使學生感到單憑感覺不能解決問題。(3)教師再次舉左、右手，並用數數方法計算左、右手舉得時間長短。舉左手時，數了5下，舉右手時，同速數了6下，所以學生很快知道右手舉的時間長壹些。這裏，左、右手舉得時間雖然仍相差不大，但由於學生知道“數壹下”就是壹個“單位”所以很容易判斷出來。從而使學生感到引入客觀“標準”的必要性。自然地引出：計算時間的長短，要有“單位”，從而適時地滲透了“單位”思想。
(二)化歸思想方法的滲透
化歸思想是小學數學中重要的思想方法之壹。所謂“化歸”可理解為“轉化”與“歸結”的意思。我覺得：作為小學數學教師，如果註意並正確運用“化歸思想”進行教學，可以促使學生把握事物的發展進程，對事物內部結構、縱橫關系、數量特征等有較深刻的認識。下面略舉幾例。
1．四則運算“巧用定律”。
有不少四則運算題，雖然可以根據常規運算順序逐步算出正確結果，但往往因為數據龐雜，計算十分繁瑣。如果能利用恒等變換，使題目的結構適合某種“模式”，運用已學過的定律、性質進行解答，便能壹蹴而就，易如反掌。
例如：計算1.25×96×25
將96分解成8×4×3，再利用乘法交換律、結合律計算就顯得非常方便。
1.25×96×25=1.25×8×4×3×25
=(1.25×8)(25×4)×3
=10×100×3
=3000
將第二個因數18變形為(17＋1)用乘法分配律解答就比較方便。
2．面積計算“變換圖形”。
解答壹些組合幾何圖形的面積，運用變換思想，將原圖形通過旋轉、平移、翻折、割補等途徑加以“變形”，可使題目變難為易，求解也水到渠成。
例如：下左圖。大正三角形的面積是28平方厘米，求小正三角形的面積。
圖中大、小正三角形的面積關系很難看出，若將小正三角形“旋轉”壹下，變成右圖的模樣，出現了四個全等的小正三角形，答案也就垂手可得了。小正三角形的面積是：
28÷4=7(平方厘米)。
實際上，小學課本中，除了長方形的面積計算公式之外，其他平面圖形的面積計算公式都是通過變換原來的圖形而得到的。教學中，我們應不失時機地利用這些圖形變換，進行思想滲透。
3．理解數量“由此及彼”。
有些題目，按慣例將已知數量進行分析組合，往往覺得困難重重，甚至苦於“條件不足”。但是，只要打破思維定勢，由此及彼，從全新的角度分析數量關系，就會找到正確的解題思路。
例如，下圖是壹堵直角梯形的墻面。試塗陰影部分用去塗料2千克。照這樣計算，塗這堵墻面需用塗料多少？
若按常規通過面積、單位量、總量之間的關系求解，必須首先算出墻面面積。對照已知條件，便會壹籌莫展。如果另辟蹊徑，先求出陰影部分面積和整個墻面面積之比，再根據陰影部分的已知量推算出整個墻面的總量，就可輕而易舉地達到解題目的。
陰影部分面積：整個梯形面積
4．數學語言“互換表達”。
數學語言從形態上說，主要有三種：普通語言、圖形語言和符號語言。例如“圓錐的體積”用符號語言表示為V=1／3Sh，用普通語言表示為“圓錐的體積等於和它等底等高的圓柱體積的三分之壹”。課本上還配有圖形語言。由於三種形式的數學語言各有其特點，圖形語言形象直觀，符號語言簡練準確，普通語言通俗易懂。小學階段由於學生思維還處於形象思維向抽象思維的過渡階段，課本上以圖形語言和普通語言為主，但不少地方也出現了符號語言，所以在數學教學中，加強各種數學語言的化歸，可以加深對數學概念和命題的理解與記憶，幫助學生審題和探求解題思路。
(三)符號化思想的滲透
數學符號在數學中占有相當重要的地位。英國著名哲學家、數學家羅素也說過，什麽是數學？數學就是符號加邏輯。面對壹個普通的數學公式：S=πr2，任何具有小學文化程度的人，無論他來自地球的哪壹方都知道它表示的意思。數學的符號化語言能夠不分國家和種族到處通用。世界交流需要數學符號化語言。
在壹個簡單的不等式：3+□＜8中，對低年級小學生來講，“□”可以說表示許多個數(0、1、2、3、4)，對高年級學生來講，可以說是表示無數個數(0≤□＜5)再將“□”用字母替代，學生便可看出：用字母表示數，這壹個小小的字母卻能代表這麽多的數。深刻體會到：符號以它濃縮的形式，可以表達大量信息。同時，運用符號化思想還能大大簡化運算或推理過程，加快思維的速度，提高單位時間的效益。
符號化思想的實質有兩條：壹是要有盡量把實際問題用數學符號來表達的意識；二是要充分把握每個數學符號所蘊含的豐富內涵和實際意義。因此，不管是元素符號、運算符號、關系符號、結合符號等等，我都註意到以上兩點。例如在講解數字符號“5”時，壹方面強調與壹個人壹只手的手指“同樣多”的物體個數，都可以用符號“5”表示。同時還讓小學生看著“5”說出它的內涵。如說出5個人，5支筆，5輛小汽車等。對小學課本中的數學公式、運算定律等，我除了盡量讓學生用符號表示外，還要求他們完整地說出每個公式和運算定律的意義。
把客觀現實中存在的事物和現象以及它們之間的相互關系抽象概括為數學符號和公式，對小學生來說不是壹件很容易的事。這是因為符號化有壹個從具體——表象——抽象——符號化的過程。為此，必須逐步培養小學生的抽象概括能力。例如在應用題教學中，我時常對學生進行從復雜的情節、關系敘述中，濃縮、提煉數量關系的訓練。這不僅有利於問題的解決，而且，相應的能力也得到了培養和提高。
在小學階段，課本上現有的數字符號化語言不是很多，對小學生掌握多少符號化語言也不應有過高要求。但在日常教學中，我們數學教師應該有這樣壹種強烈的意識：重視符號化思想的滲透；重視小學生抽象概括能力的培養。