1729年~1764年,哥德巴赫與歐拉保持了長達三十五年的書信往來.
在1742年6月7日給歐拉的信中,哥德巴赫提出了壹個命題.他寫道：
"我的問題是這樣的：
隨便取某壹個奇數,比如77,可以把它寫成三個素數之和：
77=53+17+7；
再任取壹個奇數,比如461,
461=449+7+5,
也是三個素數之和,461還可以寫成257+199+5,仍然是三個素數之和.這樣,我發現：任何大於5的奇數都是三個素數之和.
但這怎樣證明呢?雖然做過的每壹次試驗都得到了上述結果,但是不可能把所有的奇數都拿來檢驗,需要的是壹般的證明,而不是個別的檢驗."
歐拉回信說,這個命題看來是正確的,但是他也給不出嚴格的證明.同時歐拉又提出了另壹個命題：任何壹個大於2的偶數都是兩個素數之和.但是這個命題他也沒能給予證明.
不難看出,哥德巴赫的命題是歐拉命題的推論.事實上,任何壹個大於5的奇數都可以寫成如下形式：
2N+1=3+2(N-1),其中2(N-1)≥4.
若歐拉的命題成立,則偶數2(N-1)可以寫成兩個素數之和,於是奇數2N+1可以寫成三個素數之和,從而,對於大於5的奇數,哥德巴赫的猜想成立.
但是哥德巴赫的命題成立並不能保證歐拉命題的成立.因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高.
現在通常把這兩個命題統稱為哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想小史
1742年,哥德巴赫在教學中發現,每個不小於6的偶數都是兩個素數（只能被1和它本身整除的數）之和.如6＝3＋3,12＝5＋7等等.公元1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉,歐拉在6月30日給他的回信中說,他相信這個猜想是正確的,但他不能證明.敘述如此簡單的問題,連歐拉這樣首屈壹指的數學家都不能證明,這個猜想便引起了許多數學家的註意.從哥德巴赫提出這個猜想至今,許多數學家都不斷努力想攻克它,但都沒有成功.當然曾經有人作了些具體的驗證工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等.有人對33×108以內且大過6之偶數壹壹進行驗算,哥德巴赫猜想(a)都成立.但嚴格的數學證明尚待數學家的努力.
從此,這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的註意.200年過去了,沒有人證明它.哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上壹顆可望不可及的"明珠". 人們對哥德巴赫猜想難題的熱情,歷經兩百多年而不衰.世界上許許多多的數學工作者,殫精竭慮,費盡心機,然而至今仍不得其解.
到了20世紀20年代,才有人開始向它靠近.1920年挪威數學家布朗用壹種古老的篩選法證明,得出了壹個結論：每壹個比大偶數n（不小於6）的偶數都可以表示為（99）.這種縮小包圍圈的辦法很管用,科學家們於是從（9十9）開始,逐步減少每個數裏所含質數因子的個數,直到最後使每個數裏都是壹個質數為止,這樣就證明了哥德巴赫猜想.
目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的,稱為陳氏定理：“任何充分大的偶數都是壹個質數與壹個自然數之和,而後者僅僅是兩個質數的乘積.”通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “1 + 2”的形式.
■哥德巴赫猜想證明進度相關
在陳景潤之前,關於偶數可表示為 s個質數的乘積 與t個質數的乘積之和(簡稱“s + t”問題)之進展情況如下:
1920年,挪威的布朗證明了“9 + 9”.
1924年,德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”.
1932年,英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”.
1937年,意大利的蕾西先後證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”.
1938年,蘇聯的布赫夕太勃證明了“5 + 5”.
1940年,蘇聯的布赫夕太勃證明了“4 + 4”.
1948年,匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”,其中c是壹很大的自然數.
1956年,中國的王元證明了“3 + 4”.
1957年,中國的王元先後證明了 “3 + 3”和“2 + 3”.
1962年,中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證明了“1 + 5”, 中國的王元證明了“1 + 4”.
1965年,蘇聯的布赫 夕太勃和小維諾格拉多夫,及意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”.
1966年,中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”.
從1920年布朗證明"9＋9"到1966年陳景潤攻下“1＋2”,歷經46年.自"陳氏定理"誕生至今的40多年裏,人們對哥德巴赫猜想猜想的進壹步研究,均勞而無功.
■布朗篩法相關
布朗篩法的思路是這樣的：即任壹偶數(自然數)可以寫為2n,這裏n是壹個自然數,2n可以表示為n個不同形式的壹對自然數之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在篩去不適合哥德巴赫猜想結論的所有那些自然數對之後(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1,2,…;3j和(2n-3j),j=2,3,…;等等),如果能夠證明至少還有壹對自然數未被篩去,例如記其中的壹對為p1和p2,那麽p1和p2都是素數,即得n=p1+p2,這樣哥德巴赫猜想就被證明了.前壹部分的敘述是很自然的想法.關鍵就是要證明'至少還有壹對自然數未被篩去'.目前世界上誰都未能對這壹部分加以證明.要能證明,這個猜想也就解決了.
然而,因大偶數n（不小於6）等於其對應的奇數數列（首為3,尾為n-3）首尾挨次搭配相加的奇數之和.故根據該奇數之和以相關類型質數+質數（1+1）或質數+合數（1+2）（含合數+質數2+1或合數+合數2+2）（註：1+2 或 2+1 同屬質數+合數類型）在參與無限次的"類別組合"時,所有可發生的種種有關聯系即1+1或1+2完全壹致的出現,1+1與1+2的交叉出現（不完全壹致的出現）,同2+1或2+2的"完全壹致",2+1與2+2的"不完全壹致"等情況的排列組合所形成的各有關聯系,就可導出的"類別組合"為1+1,1+1與1+2和2+2,1+1與1+2,1+2與2+2,1+1與2+2,1+2等六種方式.因為其中的1+2與2+2,1+2 兩種"類別組合"方式不含1+1.所以1+1沒有覆蓋所有可形成的"類別組合"方式,即其存在是有交替的,至此,若可將1+2與2+2,以及1+2兩種方式的存在排除,則1+1得證,反之,則1+1不成立得證.然而事實卻是：1+2 與2+2,以及1+2（或至少有壹種）是陳氏定理中（任何壹個充分大的偶數都可以表示為兩個素數的和,或壹個素數與兩個素數乘積的和）,所揭示的某些規律（如1+2的存在而同時有1+1缺失的情況）存在的基礎根據.所以1+2與2+2,以及1+2（或至少有壹種）"類別組合"方式是確定的,客觀的,也即是不可排除的.所以1+1成立是不可能的.這就徹底論證了布朗篩法不能證"1+1".
由於素數本身的分布呈現無序性的變化,素數對的變化同偶數值的增長二者之間不存在簡單正比例關系,偶數值增大時素數對值忽高忽低.能通過數學關系式把素數對的變化同偶數的變化聯系起來嗎?不能!偶數值與其素數對值之間的關系沒有數量規律可循.二百多年來,人們的努力證明了這壹點,最後選擇放棄,另找途徑.於是出現了用別的方法來證明哥德巴赫猜想的人們,他們的努力,只使數學的某些領域得到進步,而對哥德巴赫猜想證明沒有壹點作用.
哥德巴赫猜想本質是壹個偶數與其素數對關系,表達壹個偶數與其素數對關系的數學表達式,是不存在的.它可以從實踐上證實,但邏輯上無法解決個別偶數與全部偶數的矛盾.個別如何等於壹般呢?個別和壹般在質上同壹,量上對立.矛盾永遠存在.哥德巴赫猜想是永遠無法從理論上,邏輯上證明的數學結論.
哥德巴赫猜想意義
“用當代語言來敘述,哥德巴赫猜想有兩個內容,第壹部分叫做奇數的猜想,第二部分叫做偶數的猜想.奇數的猜想指出,任何壹個大於等於7的奇數都是三個素數的和.偶數的猜想是說,大於等於4的偶數壹定是兩個素數的和.”（引自《哥德巴赫猜想與潘承洞》）
關於哥德巴赫猜想的難度我就不想再說什麽了,我要說壹下為什麽現代數學界對哥德巴赫猜想的興趣不大,以及為什麽中國有很多所謂的民間數學家對哥德巴赫猜想研究興趣很大.
事實上,在1900年,偉大的數學家希爾伯特在世界數學家大會上作了壹篇報告,提出了23個挑戰性的問題.哥德巴赫猜想是第八個問題的壹個子問題,這個問題還包含了黎曼猜想和孿生素數猜想.現代數學界中普遍認為最有價值的是廣義黎曼猜想,若黎曼猜想成立,很多問題就都有了答案,而哥德巴赫猜想和孿生素數猜想相對來說比較孤立,若單純的解決了這兩個問題,對其他問題的解決意義不是很大.所以數學家傾向於在解決其它的更有價值的問題的同時,發現壹些新的理論或新的工具,“順便”解決哥德巴赫猜想.
例如：壹個很有意義的問題是：素數的公式.若這個問題解決,關於素數的問題應該說就不是什麽問題了.
為什麽民間數學家們如此醉心於哥猜,而不關心黎曼猜想之類的更有意義的問題呢?
壹個重要的原因就是,黎曼猜想對於沒有學過數學的人來說,想讀明白是什麽意思都很困難.而哥德巴赫猜想對於小學生來說都能讀懂.
數學界普遍認為,這兩個問題的難度不相上下.
民間數學家解決哥德巴赫猜想大多是在用初等數學來解決問題,壹般認為,初等數學無法解決哥德巴赫猜想.退壹步講,即使那天有壹個牛人,在初等數學框架下解決了哥德巴赫猜想,有什麽意義呢?這樣解決,恐怕和做了壹道數學課的習題的意義差不多了.
當年柏努力兄弟向數學界提出挑戰,提出了最速降線的問題.牛頓用非凡的微積分技巧解出了最速降線方程,約翰·柏努力用光學的辦法巧妙的也解出最速降線方程,雅克布·柏努力用比較麻煩的辦法解決了這個問題.雖然雅克布的方法最復雜,但是在他的方法上發展出了解決這類問題的普遍辦法——變分法.現在來看,雅克布的方法是最有意義和價值的.
同樣,當年希爾伯特曾經宣稱自己解決了費爾馬大定理,但卻不公布自己的方法.別人問他為什麽,他回答說：“這是壹只下金蛋的雞,我為什麽要殺掉它?”的確,在解決費爾馬大定理的歷程中,很多有用的數學工具得到了進壹步發展,如橢圓曲線、模形式等.
所以,現代數學界在努力的研究新的工具,新的方法,期待著哥德巴赫猜想這個“下金蛋的雞”能夠催生出更多的理論.
哥德巴赫猜想的證明
哥德巴赫猜想困擾了人們兩百多年,但始終沒有被證明,看似越簡單的越難證明,數學中也還有許多類似的猜想,表面看很簡單,但證明確很困難.這是數學猜想的壹個***性.
素數是整數的基礎,也就是除了1和自身以外,不能被其他數所整除的數是素數,由素數相乘得到的是合數,每壹個大於等於6的偶數可以分解成兩個素數的和,這是1742年哥德巴赫首先提出,但兩百多年過去了,至今還沒有證明.其實哥德巴赫猜想比人們想象的要簡單,其壹是偶數分解為兩個素數的和不是唯壹的,壹個偶數可以分解為多種兩個素數的和,而且隨著偶數的增大,可以有更多的解,當然證明的過程不是用普通篩選,也不是用隨機概率.證明的過程是建立在壹個新的簡單的公式基礎上,類似於數學歸納法.
首先素數是無限的,這個是已經被人所證明,這裏只是提壹下.偶數我們用2N表示,N+K和N-K的和等於2N,其中K＜N,K是任意的正整數,對於任意的2N,可以表示為兩個數的和,由於我們通常認為1不是素數,所以這種組合的可能有N-1個,在這N-1種組合中,我們要找出N+K和N-K 都是素數的組合,對於比較小的數可以做到,對於無限的數來講,我們要證明的是N+K和N-K都是素數的可能性隨著N的增大而增大,這樣就能證明任意的偶數都可以分解成兩個素數的和.
求素數的個數的歐拉定理,從這個定理中可以得出大致的素數的個數,小於2N的素數的個數大於公式1,2N×1/2×(1-1/3)×(1-1/5)×…(1-1/P)其中P＜√2N＜P+M（P小於2N的平方根）,這個公式包含素數,要用已知的素數來求出2N以內的素數,對於無窮大的素數來講,這不是好的算法.但證明哥德巴赫猜想的方式卻和這個公式相近.
對於N+K和N-K這兩個數,壹***有N-1種組合方式,在這其中兩個數都是素數的個數A和上面的公式相似,由下面的公式2可以計算其最小值, A壹定大於公式2的值,公式2,(N-1)×{1/2×1/3×3/5×5/7×…[(P-2)/P]},其中P＜√2N＜P+M（中間的數是2N的平方根）,對於比P大的下壹個素數我們記作P+M,比P大的第二個素數記作P+L,上面公式中大括號的數用F表示,對於P+M＜√2H＜P+L,在這個區間的偶數被分解為兩個素數的概率是 （H-1）×F×[（P+M-2）/（P+M）].
在P2（註P的平方）和（P+M）2中間的偶數,其中P2+1這個偶數可以被拆分為兩個素數的極小值A最小,但這個數值A要大於1,這樣至少會有壹組數都是素數,在（P+M）2到（P+L）2之間的偶數,（P+M）2+1可以被拆分為兩個素數的極小值也最小,將P2+1和（P+M）2+1代入公式2,經過簡單計算,可以得知這個概率是增加的,因為M最小為2,比如我們去P等於11,P+M 則等於13,P+L等於17,在這172即289之內的偶數都可以分解為兩個素數的和,由於P是任意的,N也是任意的,對於N越大,可以被分解為兩個素數和的概率是增加的,所以哥德巴赫猜想得以成立.
120 是60的2倍,120 小於11的平方121,代入公式2；59×1/2×1/3×3/5×5/7≈4.2,但60能被3和5整除,上式實際為59×1/2×2/3×4/5×5/7≈11.2,實際120可以分解為12組素數的相加,如果壹個數N可以被素數J所整除,那麽N+K和N-K同時被J所整除的概率降為（J-1）/J,而不是（J-2）/J,另外,當N-K很小時,N-K 就可能成為素數,這時也使這兩個數成為素數的概率增加,公式2是最低限度的數值,並不是求偶數分解成兩個素數和的精確公式,122這個數用公式2得出3.5,而實際上122可以分解為4組素數的和,這個值和公式的計算結果相近,這是因為122除以2等於61,61是壹個素數,所以不用調整公式,而對於N是和數,調整的結果只能是增大,這樣對於任意的偶數2N,分解成兩個素數的最小值是增加的,而已知的數是成立的,所以哥德巴赫猜想得以證實.
素數的分布是壹個確定的數列,但又不是壹個可以簡單求出的數列,而隨機分布的幾率沒有考慮這種確定分布,所以用隨機的分布理論不能證明哥德巴赫猜想,而確定的素數分布也不能求出,這是哥德巴赫猜想的難點,證明哥德巴赫猜想要用到素數分布,又要用對稱性來消除素數分布,本文正是巧妙的用到這壹點,從證明2N 可以被分解為兩個素數的可能性出發,證明這種可能性是隨著2N的增加而增加,繞開了素數的具體分布.這是關鍵所在.
註：P2代表P的平方,因為電腦的原因,書寫不方便,以下（P＋M）2代表也是平方．
命Px（1,2）為適合下列條件的素數p的個數：x-p=p1或x-p=p2p3 其中p1,p2,P3都是素數.[這是不好懂的；讀不懂時 可以跳過這幾行.用X表壹充分大的偶數.