目錄
數學術語
......底數的平移：
底數與指數函數圖像：
冪的大小比較：
定義域：實數集
R 值域：（0，+∞）
分式化簡的方法與技巧
指數函數圖像與指數函數性質之間的對應關系
編輯本段數學術語
指數函數是數學中重要的函數。應用到值 e 上的這個函數寫為 exp(x)。還可以等價的寫為 e，這裏的 e 是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還稱為歐拉數。 指數函數對於 x 的負數值非常平坦，對於 x 的正數值迅速攀升，在 x 等於 0 的時候等於 1。在x處的切線的斜率等於此處y的值乘上lna。即由導數知識：d（a^x）/dx=a^x*ln(a)。 作為實數變量 x 的函數，y=ex 的圖像總是正的(在 x 軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及 x 軸，盡管它可以任意程度的靠近它(所以，x 軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數是自然對數 ln(x)，它定義在所有正數 x 上。 有時，尤其是在科學中，術語指數函數更壹般性的用於形如 kax 的 指數函數
函數，這裏的 a 叫做“底數”，是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數 e 的指數函數。 指數函數的壹般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們關於冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得 如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。 在函數y=a^x中可以看到： （1） 指數函數的定義域為所有實數的集合，這裏的前提是a大於0且不等於1，對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮， 同時a等於0函數無意義壹般也不考慮。 （2） 指數函數的值域為大於0的實數集合。 （3） 函數圖形都是下凸的。 （4） a大於1，則指數函數單調遞增；a小於1大於0，則為單調遞減的。 （5） 可以看到壹個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過 指數函數
程中（當然不能等於0），函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的壹個過渡位置。 （6） 函數總是在某壹個方向上無限趨向於X軸,並且永不相交。 （7） 函數總是通過（0，1）這點,(若y=a^x+b,則函數定過點(0,1+b) （8） 顯然指數函數無界。 （9） 指數函數既不是奇函數也不是偶函數。 （10）當兩個指數函數中的a互為倒數時，兩個函數關於y軸對稱，但這兩個函數都不具有奇偶性。 （11）當指數函數中的自變量與因變量壹壹映射時，指數函數具有反函數。
編輯本段......底數的平移：
對於任何壹個有意義的指數函數： 在指數上加上壹個數，圖像會向左平移；減去壹個數，圖像會向右平移。 在f(X)後加上壹個數，圖像會向上平移；減去壹個數，圖像會向下平移。 即“上加下減，左加右減”
編輯本段底數與指數函數圖像：
指數函數
（1）由指數函數y=a^x與直線x=1相交於點（1，a)可知：在y軸右側，圖像從下到上相應的底數由小變大。 （2）由指數函數y=a^x與直線x=-1相交於點（-1，1/a）可知：在y軸左側，圖像從下到上相應的底數由大變小。 （3）指數函數的底數與圖像間的關系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。（如右圖）》。
編輯本段冪的大小比較：
比較大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函數單調性法；（3）中間值法：要比較A與B的大小，先找壹個中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。 比較兩個冪的大小時，除了上述壹般方法之外，還應註意： （1）對於底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷。 例如：y1=3^4,y2=3^5，因為3大於1所以函數單調遞增（即x的值越大，對應的y值越大），因為5大於4，所以y2大於y1. （2）對於底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可 指數函數
以利用指數函數圖像的變化規律來判斷。 例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因為1/2小於1所以函數圖像在定義域上單調遞減；3大於1，所以函數圖像在定義域上單調遞增，在x=0是兩個函數圖像都過（0，1）然後隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等於4時，y2大於y1. （3）對於底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。如： <1> 對於三個（或三個以上）的數的大小比較，則應該先根據值的大小（特別是與0、1的大小）進行分組，再比較各組數的大小即可。 <2> 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”（即比較它們與“1”的大小），就可以快速的得到答案。那麽如何判斷壹個冪與“1”大小呢？由指數函數的圖像和性質可知“同大異小”。即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）時，a^x大於1，異向時a^x小於1. 〈3〉例：下列函數在R上是增函數還是減函數？說明理由. ⑴y=4^x 因為4>1，所以y=4^x在R上是增函數； ⑵y=(1/4)^x 因為0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數
編輯本段定義域：實數集
指代壹切實數
編輯本段R 值域：（0，+∞）
編輯本段分式化簡的方法與技巧
（1）把分子、分母分解因式，可約分的先約分 （2）利用公式的基本性質，化繁分式為簡分式，化異分母為同分母 （3）把其中適當的幾個分式先化簡，重點突破. 指數函數
（4）可考慮整體思想，用換元法使分式簡化
編輯本段指數函數圖像與指數函數性質之間的對應關系
（1）曲線沿x軸方向向左無限延展〈=〉函數的定義域為（-∞，+∞）. （2）曲線在x軸上方，而且向左或向右隨著x值的減小或增大無限靠 指數函數
近X軸（x軸是曲線的漸近線）〈=〉函數的值域為（0，+∞） （3）曲線過定點（0，1）〈=〉x=0時，函數值y=a0（零次方）=1（a>0且a≠1） （4）a>1時，曲線由左向右逐漸上升即a>1時，函數在（-∞，+∞）上是增函數；0<a<1是，曲線逐漸下降即0<a<1時，函數在（-∞，+∞）上是減函數.