第壹個“人為”的數是正分數。從邏輯上看, 應該是先有負整數,再有分數, 但是歷史順序卻正好相反。負數最早出現於中國的《九章算術》( 約公元前 1 世紀成書) , 而有歷史記錄的分數則出現在古埃及的紙草書上, 距今約 4000 年。《九章算術》也敘述了完整的分數知識。中文數學名詞 “三分之壹”“幾分之幾”, 確實既精確又達意,比起英文的 “one–third ( 壹和第三) ”來, 要容易理解得多。東亞許多使用漢字的國家和地區, 學生學習分數的成績普遍比歐美各國好,據說與此有關。
時至今日, 分數知識是普通百姓數學素養的組成部分之壹。全世界的學生, 無壹例外地要學習分數。歐美各國的數學課程, 分數大多放在中學( 六至七年級), 我國的分數則要早些, 20 世紀 60 年代, 分數內容安排在五年級, 現在則在三年級或四年級就開始學習了。
1.分數是我們認識自然數以後的“新朋友”。
各國的分數教學, 多半是從“切大餅”或“分蛋糕”開始的。如, 將壹個圓形大餅平均切成四塊, 每塊是整個大餅的 1/4 , 讀作四分之壹。壹般地, 將壹個單位平均分為若幹份,表示這樣的壹份或幾份的數稱為分數。這種用“份數”來定義的分數, 易懂好學。不過, 把它作為教學的切入點可以, 但其內涵卻很局限, 尤其不可形成思維定勢。
分數的真正來源在於自然數除法的推廣。壹個大餅, 由四個人平均分, 得到有確定大小的壹塊大餅。對於這個客觀存在的量, 依除法的意義, 應該是 1÷4 所得的商。可是, 這種除數大於被除數的除法, 以前不能除, 因而也沒有“商”。於是, “創新”的機會來了。我們把已經認識的自然數當做老朋友, 把 1÷4 的商看做新朋友, 它的名字叫做四分之壹。認識了這樣的“新朋友”, 任何兩個自然數之間的除法就可以進行了。於是有這樣的定義: 分數是兩個自然數 a 和 b(b≠0)相除的商。a÷b 的商是新數 a/b , 讀作 b 分之 a。當 b=1時, 分數就是自然數。
總之, 由“份數”