我們都認為數學家應該努力創造好數學。 但 “好數學” 該如何定義？ 甚至是否該鬥膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前壹個問題。 我們幾乎立刻能夠意識到有許多不同種類的數學都可以被稱為是 “好” 的。 比方說， “好數學” 可以指 (不分先後順序)：
好的數學題解 (比如在壹個重要數學問題上的重大突破)；
好的數學技巧 (比如對現有方法的精湛運用， 或發展新的工具)；
好的數學理論 (比如系統性地統壹或推廣壹系列現有結果的概念框架或符號選擇)；
好的數學洞察 (比如壹個重要的概念簡化， 或對壹個統壹的原理、 啟示、 類比或主題的實現)；
好的數學發現 (比如對壹個出人意料、 引人入勝的新的數學現象、 關聯或反例的揭示)；
好的數學應用 (比如應用於物理、 工程、 計算機科學、 統計等領域的重要問題， 或將壹個數學領域的結果應用於另壹個數學領域)；
好的數學展示 (比如對新近數學課題的詳盡而廣博的概覽， 或壹個清晰而動機合理的論證)；
好的數學教學 (比如能讓他人更有效地學習及研究數學的講義或寫作風格， 或對數學教育的貢獻)；
好的數學遠見 (比如富有成效的長遠計劃或猜想)；
好的數學品味 (比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標)；
好的數學公關 (比如向非數學家或另壹個領域的數學家有效地展示數學成就)；
好的元數學 (比如數學基礎、 哲學、 歷史、 學識或實踐方面的進展)； [譯者註： 此處 “元數學” 譯自 “meta-mathematics”， 不過這裏所舉的有些內容， 如歷史、 實踐等， 通常並不屬於元數學的範疇。]
嚴密的數學 (所有細節都正確、 細致而完整地給出)；
美麗的數學 (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結果)；
優美的數學 (比如 Paul Erd?s 的 “來自天書的證明” 觀念； 通過最少的努力得到困難的結果)； [譯者註： “來自天書的證明” 譯自 “proofs from the Book”。 Paul Erd?s 喜歡將最優美的數學證明說成是來自 “The Book” (我將之譯為 “天書”)， 他有這樣壹句名言： 妳不壹定要相信上帝， 但應該相信 “The Book”。 Erd?s 去世後的第三年， 即 1998 年， Martin Aigner 和 Günter M. Ziegler 以《來自天書的證明》為書名出版了壹本書， 收錄了幾十個優美的數學證明， 以紀念 Erd?s。]
創造性的數學 (比如本質上新穎的原創技巧、 觀點或各類結果)；
有用的數學 (比如會在某個領域的未來工作中被反復用到的引理或方法)；
強有力的數學 (比如與壹個已知反例相匹配的敏銳的結果， 或從壹個看起來很弱的假設推出壹個強得出乎意料的結論)；
深刻的數學 (比如壹個明顯非平凡的結果， 比如理解壹個無法用更初等的方法接近的微妙現象)；
直觀的數學 (比如壹個自然的、 容易形象化的論證)；
明確的數學 (比如對某壹類型的所有客體的分類； 對壹個數學課題的結論)；
其它[註壹]。
如上所述， 數學品質這壹概念是壹個高維的 (high-dimensional) 概念， 並且不存在顯而易見的標準排序[註二]。 我相信這是由於數學本身就是復雜和高維的， 並且會以壹種自我調整及難以預料的方式而演化； 上述每種品質都代表了我們作為壹個群體增進對數學的理解及運用的不同方式。 至於上述品質的相對重要性或權重， 看來並無普遍的***識。 這部分地是由於技術上的考慮： 壹個特定時期的某個數學領域的發展也許更易於接納壹種特殊的方法； 部分地也是由於文化上的考慮： 任何壹個特定的數學領域或學派都傾向於吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數學家。 它同時也反映了數學能力的多樣性： 不同的數學家往往擅長不同的風格， 因而適應不同類型的數學挑戰。
我相信 “好數學” 的這種多樣性和差異性對於整個數學來說是非常健康的， 因為它允許我們在追求更多的數學進展及更好的理解數學這壹***同目標上采取許多不同的方法， 並開發許多不同的數學天賦。 雖然上述每種品質都被普遍接受為是數學所需要的品質， 但犧牲其它所有品質為代價來單獨追求其中壹兩種卻有可能變成對壹個領域的危害。 考慮下列假想的 (有點誇張的) 情形：
壹個領域變得越來越華麗怪異， 在其中各種單獨的結果為推廣而推廣， 為精致而精致， 而整個領域卻在毫無明確目標和前進感地隨意漂流。
壹個領域變得被令人驚駭的猜想所充斥， 卻毫無希望在其中任何壹個猜想上取得嚴格進展。
壹個領域變得主要通過特殊方法來解決壹群互不關聯的問題， 卻沒有統壹的主題、 聯系或目的。
壹個領域變得過於枯燥和理論化， 不斷用技術上越來越形式化的框架來重鑄和統壹以前的結果， 後果卻是不產生任何令人激動的新突破。
壹個領域崇尚經典結果， 不斷給出這些結果的更短、 更簡單及更優美的證明， 但卻不產生任何經典著作以外的真正原創的新結果。
在上述每種情形下， 有關領域會在短期內出現大量的工作和進展， 但從長遠看卻有邊緣化和無法吸引更年輕的數學家的危險。 幸運的是， 當壹個領域不斷接受挑戰， 並因其與其它數學領域 (或相關學科) 的關聯而獲得新生， 或受到並尊重多種 “好數學” 的文化熏陶時， 它不太可能會以這種方式而衰落。 這些自我糾錯機制有助於使數學保持平衡、 統壹、 多產和活躍。
現在讓我們轉而考慮前面提出的另壹個問題， 即我們到底該不該試圖對 “好數學” 下定義。 下定義有讓我們變得傲慢自大的危險， 特別是， 我們有可能因為壹個真正數學進展的奇異個例不滿足主流定義[註三]而忽視它。 另壹方面， 相反的觀點 - 即在任何數學研究領域中所有方法都同樣適用並該得到同樣資源[註四]， 或所有數學貢獻都同樣重要 - 也是有風險的。 那樣的觀點就其理想主義而言也許是令人欽佩的， 但它侵蝕了數學的方向感和目的感， 並且還可能導致數學資源的不合理分配[註五]。 真實的情形處於兩者之間， 對於每個數學領域， 現存的結果、 傳統、 直覺和經驗 (或它們的缺失) 預示著哪種方法可能會富有成效， 從而應當得到大多數的資源； 那種方法更具試探性， 從而或許只要少數有獨立頭腦的數學家去進行探究以避免遺漏。 比方說， 在已經發展成熟的領域， 比較合理的做法也許是追求系統方案， 以嚴格的方式發展普遍理論， 穩妥地延用卓有成效的方法及業已確立的直覺； 而在較新的、 不太穩定的領域， 更應該強調的也許是提出和解決猜想， 嘗試不同的方法， 以及在壹定程度上依賴不嚴格的啟示和類比。 因此， 從策略上講比較合理的做法是， 在每個領域內就數學進展中什麽品質最應該受到鼓勵做壹個起碼是部分的 (但與時俱進的) 調查， 以便在該領域的每個發展階段都能最有效地發展和推進該領域。 比方說， 某個領域也許急需解決壹些緊迫的問題； 另壹個領域也許在翹首以待壹個可以理順大量已有成果的理論框架， 或壹個宏大的方案或壹系列猜想來激發新的結果； 其它領域則也許會從對關鍵定理的新的、 更簡單及更概念化的證明中獲益匪淺； 而更多的領域也許需要更大的公開性， 以及關於其課題的透徹介紹， 以吸引更多的興趣和參與。 因此， 對什麽是好數學的確定會並且也應當高度依賴壹個領域自身的狀況。 這種確定還應當不斷地更新與爭論， 無論是在領域內還是從通過旁觀者。 如前所述， 有關壹個領域應當如何發展的調查， 若不及時檢驗和更正， 很有可能會導致該領域內的不平衡。
上面的討論似乎表明評價數學品質雖然重要， 卻是壹件復雜得毫無希望的事情， 特別是由於許多好的數學成就在上述某些品質上或許得分很高， 在其它品質上卻不然； 同時， 這些品質中有許多是主觀而難以精確度量的 (除非是事後諸葛)。 然而， 壹個令人矚目的現象是[註六]： 上述壹種意義上的好數學往往傾向於引致許多其它意義上的好數學， 由此產生了壹個試探性的猜測， 即有關高品質數學的普遍觀念也許畢竟還是存在的， 上述所有特定衡量標準都代表了發現新數學的不同途徑， 或壹個數學故事發展過程中的不同階段或方面。