數學史中充滿了光輝的成就，但它同時也是壹部災難的記錄。真理的喪失當然是最重大的悲劇，因為真理是人類最珍貴的財富，即使喪失壹個也足以令人扼腕。對數學的另壹個打擊是意識到人類推理的成就所展示的結構絕非完美，而是有著種種缺陷，對任何時候發現的災難性的悖論都不堪壹擊。但這還不是傷心的唯壹原因。深深的懷疑以及數學家們之間的分歧來自於在過去壹百年中研究方向的不同。大多數數學家從現實世界中退縮而關註於數學之中產生的問題。他們放棄了科學。這個方向作為應用數學的對立面而被稱為純數學。但是應用的和純粹的這些術語並不能十分精確地說明所發生的變化。
數學是什麽？對於前人來說，數學首先是人們為研究自然界而做出的最精致的發明。數學的主要概念、廣博的方法，以及幾乎所有的重要定理都是在這壹過程中推導出來的。科學壹直是維持數學生命力的血液。在科學領域中，數學家是物理學家、天文學家、化學家及工程師的熱心同伴。事實上，在17、18世紀以及19世紀的絕大多數時間裏，數學與理論科學的區別很少被註意到，而且許多傑出的數學家在天文學、力學、動力學、電學、磁學及彈性理論中所做的工作遠超過他們在數學中的工作。數學是科學的王後，同時也是它們的女仆。
我們已經敘述了（第壹章至第四章）自希臘時期起為了揭示自然界的數學奧秘的漫長努力，這種致力於自然界的研究並沒有把所有的應用數學束縛於物理問題的求解。偉大的數學家們時常越過科學中的眼前問題，因為他們大智大慧，深刻了解數學的傳統作用，並且能夠明確那些在科學事業中被證明是具有重大意義的方向及澄清那些對研究自然有幫助的概念。彭加勒在天文學上投入數年功夫，寫出了巨著《天體力學》，他看到了探求微分方程中新的主題之必要性，它也許最終會推動天文學。
有些數學上的研究導致並且完善了壹些已被證明有用的學科。如果在壹些不同的應用中用到了同壹類型的微分方程，則為了發現改進的或壹般的解法，或為了盡可能多的了解關於整個解族的情況，數學家們會研究壹般類型。正是數學的這種高度抽象的特點，使得它可以表示完全不同的物理現象。因此，水波、聲波及無線電波都用壹個偏微分方程來表示。事實上，這壹方程被稱為波動方程。通過對波動方程本身的進壹步考察而獲得的其他數學知識，首先起源於對於聲波的研究。由現實世界中的問題而獲得的豐富結構，可以由認識到在不同情況中的相同數學結構及其***同的抽象基礎得到加強。
為了保證物理問題的數學方程有解，柯西率先建立微分方程的存在性定理，這樣才能充滿信心地尋求這個解。因此，盡管這項工作完全是數學的，但它卻有著深遠的物理意義。康托爾的關286於無限集的工作導致了純數學上的許多探討，但它首先是受他試圖解決關於傅立葉級數的極為有用的無窮級數的問題激發的。
數學的發展要求對獨立於科學的問題進行探求。我們看到（見第八章）19世紀的數學家已經意識到許多概念的含混不清以及它們論據的不足。追求嚴密性的這壹廣泛運動的本身當然既不是對科學問題進行探討，也不是幾個學派重建基礎的嘗試。所有這項工作雖然是致力於數學，但顯然是對整個數學結構的迫切需要的反應。
簡而言之，有許多純的數學研究完成了或加強了舊的領域，甚至開辟了新的領域，它們對探索應用意義重大。所有這些方向的研究都可以看作是具有廣泛意義的應用數學。
那麽壹百年前就沒有單純地為其自身、而不是為實用而創建的數學嗎？有的。壹個突出的例子就是數論。盡管畢達哥拉斯認為對整數的研究是對實際物體的構成的研究（見第壹章），但是數論很快就由於它自身的原因引起了人們的興趣——它是費馬的主要課題。文藝復興時期的藝術家們為了獲得繪畫中的真實感而創建了投影幾何，笛薩格從事了這方面的研究。帕斯卡提出了歐氏幾何的更高級方法，使之在19世紀成了純美學的研究，盡管即使在那時這種研究也是由於它與非歐幾何的重大聯系。許多其他的研究課題則純粹是由於數學家發現它們有趣或富有挑戰性。
然而，與科學完全無關的純數學不在主要的考慮之列。從科學引起的更富生命力且令人極感興趣的問題中分離出來，這只是壹種嗜好。盡管費馬是數論的奠基人，但他更多的精力是投入到解析幾何的發明、微積分問題以及光學（見第六章）。他試圖引起帕斯卡和惠更斯對數論的興趣，但是失敗了。17世紀，很少有人會對這類學科產生興趣。
歐拉確實在數論上花了壹些功夫，但歐拉不僅僅是壹個18世紀卓越的數學家，他也是卓越的數學物理學家。他的研究範圍從解決物理問題的數學方法如微分方程求解，到天文學、流體運動、艦船的設計、火炮、制圖、樂器理論以及光學。
拉格朗日也在數論上投入了壹些時間。但是他也同樣把他畢生大部分精力花在了對應用至關重要的數學——分析之上（見第三章）。他的代表作是《分析力學》，討論數學在力學中的應用。事實上，在1777年他抱怨道：“算術研究給我帶來了極大的麻煩，而且也許毫無價值。”高斯也在數論方面作出了令人矚目的成就，他的《算術研究》（1801年）是壹部經典名著。如果只看這部著作，則很容易相信高斯是個純數學家，但他的主要精力卻放在了應用數學中（見第四章）。克萊因在他的19世紀數學史中稱《算術研究》為高斯青年時期的作品。
雖然高斯在晚年確實回到了對數論的研究，但他顯然不認為這壹學科十分重要。證明費馬大定理問題即沒有大於2的整數滿足xn+yn=zn，常常困擾著他，但在1816年3月21日寫給奧爾帕斯(Wilhelm Olbers)的壹封信中，高斯稱費馬猜想是壹個孤立的定理，沒有什麽意義。他還說，有許多既不能證明也不能證偽的猜想，但他是如此繁忙，以至於沒有時間去考慮他在《算術研究》中所做過的那類工作。他希望費馬猜想也許能在他所做的別的工作基礎上得到證明，但那將是最無意義的推論了。
高斯曾說 “數學是科學中的王後，而數論是數學中的王後。她經常屈尊降貴為天文學及其他自然科學助壹臂之力，但無論如何，她總是處在最重要的位置。”這說明了他對純數學的偏愛。但高斯的畢生事業並沒有遵從這句話。他很可能只在某些閑暇的時候做到了這壹點。他的格言是：“妳，自然，我的女神：對妳的規律，我的貢獻是有限的。”富有諷刺意義的是：通過有關非歐幾何的工作，他對於數學與自然壹致性的壹絲不茍的證明，對懷疑數學的真理性起著深遠的影響。對於1900年以前所創建的數學，我們可以得出壹般的結論：存在純粹數學，但不存在純粹的數學家。
壹些進展奇妙地改變了數學家們對自己工作的態度。首先是認識到數學並非壹個關於自然的真理體系（見第四章）。高斯在幾何中使這壹點很清楚，而四元數及矩陣迫使人們意識到這壹點，亥姆霍茲理解得更透徹——即使是壹般的數的數學也並非是可用的先驗理論。數學的實用性雖說無懈可擊，但對真理的探求不再證明數學的努力全然正確。
此外，像非歐幾何和四元數這些重大的發展盡管是受物理思考的啟發，顯得與自然不壹致，但其導出的發明是實用的。人們認識到人為的發明同那些看起來遵從自然界的固有規律的事物壹樣有意義，這很快成為全新的數學方法的壹個論據。因此，許多數學家得出結論：沒有必要去研究現實世界中的問題，人為的數學來源於人的大腦並肯定將會被證明是有用的。事實上，不受限於物理現象的純思維，也許會做得更好。不受任何約束的想象力也許能創造出更為有力的理論，而它們同樣能在理解和掌握自然中找到應用。
還有其他的原因使得數學家們逃離了現實世界。數學和自然科學的巨大擴展，使得在兩個領域中得心應手變得十分困難，而以前的巨匠們鉆研過的科學問題更加難解了。既然如此，為什麽不立足於純數學，以使研究更簡單呢？
使得數學家們著手於純數學問題的另壹因素是：自然科學的問題很少能徹底解決。人們可以得到越來越好的近似解，但得不到壹個最終的解答。壹個基本問題——例如三體問題，即像太陽、地球及月球這樣的三個天體，每壹個都靠萬有引力吸引著其他的兩個，它們的運行規律還沒有解決。正如培根所言，自然界的精巧遠勝於人類智力。另壹方面，純數學允許明確的有所限制的問題，其完全解是可以得到的，把明確的問題與復雜度和深度無限的問題相對立這壹點頗為有趣，即使是像哥德巴赫猜想這樣的至今尚未征服的少數難題，也有著極富誘惑力的論述上的簡潔性。
另壹促使數學家從事純數學問題研究的因素是來自大學之類機構的出版成果的壓力。由於應用問題需要除了數學之外的自然科學的豐富知識，這就使那些待解決問題愈加困難，因此，提出自己的問題並盡力解決就容易得多了。教授們不僅自己選擇那些易於求解的純數學問題，還把它們指定給他們的博士，以便他們可以很快地完成學位論文，同時教授們也能夠更輕易地幫助他們克服所遇到的困難。
幾個現代純數學所循方向的例子可以使純數學與應用數學的區別更清楚。壹個領域是抽象化。自從哈密爾頓引入了他在思維中賦與了物理應用的四元數後，其他數學家意識到可以有多種代數，而不顧其有無潛在實用性。這壹方面的研究結果充斥了今日的抽象代數領域。
純數學的另壹方向是壹般化。圓錐曲線——橢圓、拋物線、雙曲線——代數上以二次方程來表示，有壹些以三次方程表示的曲線也具有實用意義。壹般化的研究壹下子跳到n次方程所表示的曲線，而且對其性質進行了詳細的研究，盡管這些曲線根本不大可能在自然現象中出現。
通常，具有壹般性或抽象性的論文毫無實用價值。實際上，大多數這樣的論文致力於把當前存在的用具體明確的語言描述的公式用更壹般的、更抽象的或新的術語進行重新公式化，而這樣的重新公式化對於應用數學的人來說，既不能提供更為有力的方法，也不能提供更深刻的見解。這些增加的術語大部分是人造的，與物理思想無甚聯系，但據稱能提出新的思想，當然並不是對數學應用的貢獻而是阻礙。它是新的語言，但不是新的數學。
純數學研究的第三個方向是專門化。歐幾裏得考慮和回答是否有無窮大的素數。現在“自然”的問題則是是否任何七個連續整數中有壹素數。畢達哥拉斯引入了親和數的概念。如果壹個數的因子之和等於另壹個數，則稱這兩個數為親和數。例如，284和220就是親和數。列奧納多·迪克森，傑出的數論專家，引入了三元親和數：“我們說三個數構成三元親和數，如果其中壹個數的真因子之和等於另外兩數之和。”他還提出了如何尋找這類數的問題。另壹個例子是關於強大數(powerful number)的。壹個強大數是這樣壹個正整數，如果它能被素數p整除，則也能被p2整除。有沒有（除1和4之外）正整數其可用無窮多種方法表為兩個互為素數的強大數之差呢？
選擇這些專門化的例子，是由於它們易於陳述和理解。它們並不能完全代表這類問題的復雜性和深度，然而，專門化已經變得如此廣泛，而且問題是如此狹窄，以致於沒有幾人能弄懂它，就像當初相對論問世時，全世界僅有12人懂得它。
專門化如此泛濫，以致於並不致力於應用數學的大多數布爾巴基派成員也認為必須提出批評了。
許多數學家在數學王國的壹角占據了壹席之地，並且不願意離開。他們不僅差不多完全忽略了與他們的專業領域無關的東西，而且不能理解他們的同事在遠離他們的另壹個角落使用的語言和術語。即使是受過最廣博的訓練的人在浩瀚的數學王國的某些領域中也感到迷茫，像彭加勒和希爾伯特這樣的人，幾乎在每個領域都留下他們天才的印跡，甚至在最偉大的成功者中也是少而又少的極其偉大的例外。
專門化的代價是創造力的枯竭，專門化需要鑒賞力，因為它很少提供有價值的東西。
抽象化、壹般化和專門化是純數學家從事的三類活動。第四類是公理化。毫無疑問，19世紀末的公理化運動是有助於加固數學的基礎的，雖然它並沒有為解決基礎問題劃上句號，但壹些數學家從此卻開始了對新創的公理體系的細枝末節的修改。有些人可以通過重述公理，使表述更為簡潔。有人則通過繁瑣的文字敘述把三條定理合為兩條。還有壹些人則選擇新的未定義概念，通過重新組織那些公理因此而得到與原來相同的理論體系。
如我們看到的，並非所有的公理化都毫無用處，但所能做的這些修修補補實在是意義不很大。解決實際問題要求人們全力以赴，因為必須面對這些問題，但公理化卻允許各種各樣的自由。它基本上是人們深層次結果的組織，但是人們是否選了這壹組公理而不是那壹組，是15條還是20條，是無關緊要的。實際上，甚至壹些傑出的數學家也曾花費過時間來研究過各種各樣的變體，它們被貶斥為“微不足道的假定”。
本世紀的最初幾十年中在公理化上花的時間和精力是如此之多，以致於魏爾在1935年抱怨說公理化的成果已經窮盡。盡管他很清楚公理化的價值，他還是懇求人們回到實際問題上來。他提出公理化只是對實在的數學賦於精確性和條理性，它是壹個分類函數。
不能把所有的抽象化、壹般化、專門化問題以及公理化看作是純數學。我們已指出這樣壹些工作及基礎研究的價值，我們必須了解這項工作的動機。純數學的特征是它不具有直接或間接應用意義。純數學的實質在於問題就是問題，有些純數學家分辯說，任何數學發展都具有潛在的實用價值，只是沒有人能預見到其未來的應用。不過，壹個數學主題猶如壹塊蘊藏石油的土地，表面的黑色坑窪可能提示出壹個特定的開采石油的地點，如果發現了石油則這塊土地的價值也就確定了。被證實的價值保證了在離它不太遠處繼續鉆井有望找到更多的石油。當然，也可以選擇壹個離它很遠的地方，因為這裏鉆井比較容易，而且仍然有望獲得石油。但人的精力和智力有限，因此應當投入到把握較大的冒險中。如果目標是潛在的應用，那麽，正如傑出的物理化學家吉伯斯（Josian Willard Gibbs）所言，純數學家可以無所顧忌，為所欲為，而應用數學家至少應保持壹點清醒的頭腦。
對純數學——為其本身意義而存在的數學——的批判可追溯到培根的《學術的進展》（1620年）。他反對純粹的、神秘的、自足的數學，說它“完全脫離實際和自然哲學的原理，只是滿足了這樣壹些人的胃口，他們希望闡述和了解對人的頭腦並不重要的東西。”他這樣理解應用數學：
自然界的許多部分不能沒有數學的幫助或介入，必須靠足夠的精巧來發明，或足夠的嫻熟技巧來顯示，或足夠的熟練來幫助應用，包括透視學、音樂、天文學、宇宙結構學、建築學、機械學及其他……。因為隨著物理學的日新月異的發展及新的公理的推出，它將會在許多方面有求於數學新的幫助。因此應用數學的混合部分就變得益發多了。
在培根的時代，數學家對於物理研究的關註毋須多提，但今天的事實是他們逃離了自然科學。在過去的100年中，在那些恪守古老的、高雅的數學活動目的——這壹目的到那時為止提供了實質性和豐富的主題——的人和那些聽憑興趣所至從事研究的人之間產生了分裂。如今，數學家與科學家分道揚鑣，比較新的數學發明少有實用價值，而且，數學家和科學家不再互相理解。令人不安的是隨著專門化的日益深化，數學家甚至不再了解其他的數學家。
脫離“現實”，為了其自身原因而進行研究的數學，幾乎從壹開始就激起了反對。在傅立葉的經典著作《熱的分析理論》（1822年）中，他熱情地稱頌數學在物理問題中的應用：
對自然的深入研究是數學發現最豐富的源泉，這種研究的優點不僅在於有完全明確的目的性，還在於排除含糊不清的問題和無用的計算。它是物築分析本身的壹種手段，也是發現最重要的，自然科學必須始終保持的思想的壹種方法。而基本的思想是那些表示自然現象的思想。……
它的主要特征是清晰，沒有令人迷惑的符號，它把截然不同的現象放到壹起，發現它們隱含的相似性。如果物質繞開我們，比如空氣和光，那是因為它們特別稀薄；如果物體被固定在遠離我們的無限的宇宙中，如果人類想要了解長時間來天體的運行，如果重力和熱能在壹個固體球體內部深不可測的地方永恒地作用著，數學分析還是能抓住這些現象的規律，並使它們表面化且可測，就像註定要用人類的推理能力來補償生命之短暫和感官之不完善；而更奇妙的是，在對所有的現象進行研究時，它遵循同樣的方法，為了驗證宇宙設計的統壹性和簡潔性，使統治所有自然事物的永恒秩序更清晰，它用同樣的語言來詮釋壹切。
盡管雅可比在力學和天文學中做出第壹流的工作，但他卻向他認為至多是壹面之詞的論點提出了異議。1830年7月2日，他寫信給勒讓德說：“傅立葉確實認為數學的主要目標是公眾的利益和對自然現象的解釋；但像他這樣的科學家應該知道自然科學的唯壹目標是人類精神之榮耀，而且依此為據，數論問題和壹個關於行星系的問題同等重要。”
當然數學物理學家們並不偏袒雅可比的觀點。湯姆遜(Willian Thomson）和泰特（PeterGuthrieTait）在1867年稱最好的數學是由應用提出的，它會產生令人驚訝的純數學的理論，但那些把自己囿於純粹分析或幾何的數學家們卻不能達到那個富饒美麗的數學真理之鄉。
許多數學家也為新的純粹研究的趨勢憂心忡忡，1888年克羅內克寫信給數學、物理及醫學上都頗有建樹的亥姆霍茲說，“妳的合情合理的實際經驗與有趣的問題造成的財富將給數學家們指明新的方向，註入新的動力。……片面而過分內省的數學思維把人們帶向不毛之地。”
1895年，當時數學界的領袖人物F·克萊因也感到有必要反對這種抽象的純粹數學趨勢：
在現代思維的急速發展中，我們禁不住要擔心，我們的科學面臨著越來越獨立的危險。自現代分析興起以來，對數學和自然科學雙方都有裨益的二者之間的緊密聯系，正面臨著被破壞的危險。
在他《陀螺的數學理論》（1897年）中，克萊因又回到了這壹問題：
當今數學科學中最大的需要是純數學和自然科學的各個分支——在此以後將找到它最重要的應用——應當再壹次建立起緊密的聯系，這壹聯系在拉格朗日和高斯的工作中已被證明是極富成果的。
彭加勒在他的《科學與方法》中盡管對某些19世紀後期的純邏輯創造頗有微詞（見第八章），但還是承認公理化、不壹般的幾何及奇特函數向我們顯示了當人們的智力越來越多地從外部世界的統治中解放出來，它會創造出什麽奇跡。然而他堅持“我們必須把大部分精力投入另壹方向，即自然界的那壹邊”。在《科學的價值》中，他說：
如果不記住了解自然界的欲望在數學的發展過程中所起的最重要的和最令人愉悅的影響，就會完全忘記科學史。……忘記外部世界之存在的純數學家將會像壹個知道如何和諧地調配色彩和構圖，但卻沒有模特的畫家壹樣。他的創造力很快就會枯竭。
稍後，1908年，F·克萊因由於擔心創造任意結構的自由會被濫用，他再次強調說：任意的結構是“所有科學的死亡”，幾何的公理“不是任意的，而是切合實際的陳述。它們通常由對空間的知覺引出，其確切內容則依方便而定。”為了給非歐幾何壹個公正的評價，他指出視覺只在壹定限度內驗證歐幾裏得平行公理。另壹方面，他指出“任何持有自由之特權的人必須承擔責任”。這裏的責任，克萊因指的是對自然界進行探索。
克萊因晚年曾是數學界的聖城——哥廷根大學數學系的泰鬥。他感到必須做壹次更有力的抗議。在他的《19世紀的數學發展》（1925年）中，他回憶了傅立葉用所能得到的最好的數學方法解決實際問題的興趣，並把這與純數學的精雕細刻和把具體概念抽象化相比。他寫道：
我們這個時代的數學就像是和平時期的壹個偉大的兵工廠，櫥窗裏滿是為了吸引行家的巧妙、精致和好看的各種玩藝兒，它們的真正動機和目標——戰鬥和征服敵人——已經幾乎完全被遺忘了。
庫朗，繼克萊因之後的哥廷根的數學領袖，後來又成了紐約大學庫朗數學研究所的頭，也為過分強調純數學而悲哀。在1924年庫朗和希爾伯特的《數學物理方法》第壹版的序言中，庫朗以這樣的評論為開篇：
過去，數學從分析的問題和方法與物理學直觀思想的緊密聯系獲取有力的刺激，然而近年來這種聯系呈現松散的趨勢。數學研究離開了數學的直觀出發點，特別是在分析中集中於其方法的精致及概念的準確。許多分析的領袖人物喪失了他們的學科與物理學及其他領域聯系的知識。另壹方面，物理學家也不再體會數學家的問題和方法，甚至包括他們的語言和興趣。科學發展的洪流，可能逐漸分流為越來越細小的溪渠，以至幹涸。為了擺脫這種厄運，我們必須將數學研究與自然科學聯系起來，只有這樣，學者們才能為研究工作更進壹步的發展打下基礎。
1939年庫朗再壹次寫到：
數學不過是壹個從定義和假設中抽取的結論體系，它必須保證壹致性，除此以外數學家可以隨心所欲地加以創造，這樣壹種斷言蘊含著對科學的生命力的壹個嚴重的威脅。假如這壹描述準確，則數學不能吸引任何有知識的人。它將是壹個沒有動機、沒有目標的定義規則和推理的遊戲。智力能夠任意地推出有意義的假設體系不過是偽真理，自由的思維只有在有機整體的約束之下，受固有必然性的指引，才能獲得具有科學價值的結果。
伯克霍夫(George David Birkhoff)，美國數學界的泰鬥，在1943年的《科學美國人》上提出了同樣的觀點：
我們寄希望於未來，越來越多的理論物理學家們能夠更深刻地認識數學的原理；而數學家們也不再把自己局限於數學抽象的美學發展中。
辛格（JohnL.Synge），壹位數學物理學家，在壹篇頗具蕭伯納風格的技術長文的前言中描述了1944年的情形：
大多數數學家從事於壹致認為是絕對數學的思想的研究，他們形成了壹個封閉的行會，初入會時必須發誓不逾越行規。他們通常遵守自己的誓言，只有少數幾個數學家四處遛達，直接從其他科學領域中產生的問題中尋找動力。在1744年或1844年第二類人差不多包含了所有的數學家。在1944年這只是如此小的壹部分，以致於有必要提醒大多數人，還存在著這樣的少數人，並且解釋壹下這種觀點。
這少數人並不希望被稱為“物理學家”或“工程師”。因為他們遵循著壹種包括歐幾裏得、阿基米得、牛頓、拉格朗日、哈密爾頓、高斯、彭加勒等人延續了20多個世紀的數學傳統，這少數人並不希望貶損大多數人的工作，但確實擔心，完全依賴於自己的數學會失去其意義。
與世隔絕的數學家們不僅把精力都用於整個數學的未來，而且剝奪了其他科學壹直以來所依賴的壹項支持……。正是在對自然界的研究中，才產生了（而且完全可能繼續產生）比數學家們閉門造車創造出來的結構復雜得多的問題。科學家們壹直依賴數學家來解決這些問題。他們知道數學家不只是壹個已經造好的工具的熟練使用者 ——他們自己也可以相當熟練地使用這些工具；他們依賴的是數學家所特有的品質——他的邏輯上的洞察力和從壹般中看出特殊及從特殊中找出壹般的能力……。
在所有這些中，數學家是指向者，也是約束者。他給出了科學計算的方法——對數、微積分、微分方程等等——但他給的還遠不止這些，他給出了壹張藍圖，他堅持思維的邏輯性。每壹門新的學科出現他都給它——或試圖給它——堅實的邏輯結構，就像歐幾裏得對埃及人的土地丈量所做的。壹門學科初到他手時像壹塊粗糙的石頭，醜陋不堪，而離開他手時已是壹塊閃閃發光的寶石了。
現在，科學比以往任何時候都要活躍，並沒明顯的衰敗跡象，只有最細心的觀察者註意到看門人已擅離職守，他並沒有去睡大覺，他像以往壹樣地努力工作，只是他在為自己幹活……
簡而言之，聯盟已被打破——當它存在時曾是多麽振奮人心……。自然界將會提出有力的問題，但它們永遠到不了數學家那裏。數學家可能正坐在象牙塔中等待著敵人的槍林彈雨，但敵人永遠不會來到他面前。自然界不會為他提供現成的只等著公式化的問題。他們必須用鍬和鎬來挖，不願讓自己的雙手沾上泥土的人永遠也找不到它們。
思維中的變化和衰亡就像人類的變化和衰亡壹樣，不可避免，壹個真正熱愛真理的數學家是不會掩飾這壹點的，人為的力量不可能激發出如此豐富的智力上的動機。有些東西富有想象力，有些沒有；而如果沒有，它們就沒有激情。如果數學家們真的失去了他們曾經有過的普遍的聯系，如果他們在精確邏輯的修正上比在星體的運動中更真實地看到上帝之手——那麽任何試圖誘使他們回到原來的地方的努力不僅僅是徒勞無功，而且是對個人智力自由的權力的否認。但每壹個年輕的數學家，如果他有自己的哲學——每個人都有——應該充分地占有事實後再做決定。他應該意識到如果他遵循現代數學的模式，那麽他將是壹個偉大傳統的繼承人——但只是部分繼承人。其他的遺產將落入他人之手，而他將再也不能得到它了……
我們的科學始於數學，而且必然在數學從中撤出不久之後（如果要撤出的話）結束。壹個世紀之後將有更大更好的大規模的實驗室。這些實驗結果是單純的事實還是成為科學要看它們與數學的實質之間的關系的緊密程度了。
馮·諾依曼非常緊張地提出了警告，在時常被引用的論文《數學家》（1947年）中，他說：
當壹門數學學科遠離它的經驗本源繼續發展的時候，或者更進壹步，如果它是第二代和第三代，僅僅間接地受到來自“現實”的思想所啟發，那麽，它就會面臨嚴重困境。它會變得越來越純粹