2021-01-22 現代數學成果——哥德爾不完全性定理

哥德爾不完全定理，也稱哥德爾不完備定理，是庫爾特·哥德爾於1931年證明並發表的兩條定理。哥德爾不完備定理破壞了希爾伯特計劃的哲學企圖。大衛·希爾伯特提出，像實分析那樣較為復雜的體系的兼容性，可以用較為簡單的體系中的手段來證明。最終，全部數學的兼容性都可以歸結為基本算術的兼容性。但哥德爾的第二條定理證明了基本算術的兼容性不能在自身內部證明，因此當然就不能用來證明比它更強的系統的兼容性了。為數學的發展以及多學科理論的發展做出了偉大的推動。

對基礎的空前探討是20世紀純粹數學的趨勢之壹，而這種探討的重要動因就是相容性問題。哥德爾不完全性定理，正是研究相容定理而提出的非常深刻的思維成果。1931年，奧地利數學家哥德爾發表論文《論<數學原理>及有關系統中的形式不可叛逆命題》，其中提出了哥德爾不完全性定理。

任壹足以包含自然數算術的形式系統，如果是相容的，那麽壹定存在壹條不可叛逆命題，即存在某壹命題A和它的否定在該系統中皆不可證。

在真的但不能由公理來證明的命題中，包括了這些公理是相容的（無矛盾的）這壹論斷本身。也就是說，壹個包含自然數算術的公理系統是相容的，那麽這種相容性在該系統內是不可證明的。

哥德爾1906年出生於捷克的布爾諾（原奧匈帝國），畢業於維也納大學，1940年移民美國，任職於普林斯頓高等研究院（IAS）直至1976年退休。1978年，哥德爾於新澤西州的普林斯頓市去世。哥德爾自幼多病，而且從小就患了強迫癥（疑病癥）。他還患過抑郁癥。後來他在普林斯頓的醫院絕食而死，因為他認為那些食物有毒。

哥德爾的大部分手稿使用加貝爾斯貝格速記法寫成。格言：“有些事實被認知為真，但不必然可證。”