文章首發於 數學 | 壹場純粹對知識的冒險歷程
每壹門學科，當我們不是將它作為能力和統治力的工具，而是作為我們人類世代以來孜孜追求的對知識的冒險歷程，不是別的，就是這樣壹種和諧，從壹個時期到另壹個時期，或多或少，巨大而又豐富；在不同的時代和世紀中，對於依次出現的不同的主題，它展現給我們微妙而精細的對應，仿佛來自虛空。
上面這段話出自法國著名數學家格羅滕迪克的自傳《收獲與播種》。之所以引用這段話，是因為我非常同意他的看法——數學就是這樣壹門學科——是“孜孜追求的對知識的冒險歷程”，不為別的，就為“這樣壹種和諧”。
盡管大家自從小學開始就壹直在學習數學，生活中也壹直離不開數學，但是，談到數學專業，我想大部分人都還是缺乏了解的。作為壹個基礎數學系的學生，我想談談我對數學系的看法。
1、專業概況
首先是數學系的壹些概況。數學系的方向大致可以分為基礎數學，應用數學和計算數學；其中基礎數學偏向於研究數學自身產生的問題或壹些來源於理論物理、理論計算機等相關學科的問題；應用數學和計算數學偏向於通過建模等等手段將數學工具應用到計算機、工程、經濟等其他學科中；但整體而言，數學系（尤其是較好的學校的數學系）的主要目的還是培養數學研究人才，因此課程與培養計劃等等都圍繞這壹目的而展開。
以我的本科舉例來說，大部分都是近現代的數學基礎課、專業課以及物理、計算機的壹些基礎課程。對科研與教學之外就業等等問題，我認為數學系可以說是有所欠缺甚至是壹定程度的脫節的；盡管數學系也會有壹些諸如數理統計、數值分析等偏向“應用”的課程，但在學習這些課程時基本上也是分析解決其他學科的理論問題，要應用到實際工作當中轉化成生產力，仍然需要就業後花時間培訓以適應“工業界”的思維，因此很難講能為以後的就業帶來什麽優勢。
因此我認為，如果想進入數學系學習，這壹點是很需要考慮的：要問問自己是否對數學真的有興趣。否則，進入數學系後，面對眾多困難的課程，非常容易覺得枯燥無味令人痛苦。
現在社會上許多人說，“數學是基礎，學好了數學以後學別的都很容易，有優勢”，以此鼓動學生在本科去學數學，而後再轉金融或計算機等領域，我想這種言論是不大負責任的。
為了“打好基礎”這種目的而選擇數學系，實在沒有必要——正如前文所說，首先這樣做未必能獲得某些人想象中的所謂“優勢”，而且容易搞得自己苦不堪言；事實上，我的本科同學中就有這樣的例子。因此我認為，這樣的行為是對自己時間的浪費，並不值得鼓勵。俗話說，好鋼用在刀刃上，學生應該選擇自己真正有興趣的專業。從另壹層面上來講，如果大家都能夠做到優先選擇自己真正喜歡的專業，做到合理競爭，我想這是對每個人都更有利的。
那麽，如何確認自己是否對數學感興趣呢？
我想，首先要試著去了解數學，特別是近現代數學。數學系學的近現代數學和中學的初等數學從研究對象到研究方法都有很大區別，也更有系統性。中學時期對所學的數學有興趣，未必會對近現代數學有興趣；反過來不怎麽喜歡初等數學也未必不會被近現代的數學所吸引。
幸運的是，現在發達的網絡使我們每個人都能相對方便地獲取信息，大家不妨去看看“網易公開課”或Coursera等等網站上的數學公開課（比如數學分析，線性代數），試著去認真的學習壹門課——我想，在這個學習的過程中，妳就能積累壹些對於數學的新認識，並且能夠自己產生壹些心得體會；“知乎、豆瓣”等網站上也有壹些關於數學的很好的問題，有心去找的話也能有很多發現。有了壹些自己的基本認識之後，也可以再和認識的數學系的學長學姐們，或者高中數學老師、大學招生老師聊壹聊，接觸更多的信息。我想，如果經過了所有這些妳仍然願意學習數學的話，那就說明妳對數學是有興趣的，數學專業對妳是壹個不錯的選擇。
2、畢業出路
至於數學系本科畢業後的出路，以我所了解的情況（身邊的同學，學長學姐們的情況），大致有四種：
1，繼續深造，出國或讀研；
2，從事數學教育；
3，從事計算機或金融等相關領域的工作；
4，從事和數學關系不大的工作，比如銷售。
（註：從事計算機和金融相關領域的工作，需要對相應的領域有壹定的了解甚至專業知識，比起“科班出身”經受過長期訓練的同學有壹定的劣勢，需要自己找實習之類的經歷來彌補；但也有部分企業會相對更青睞數學系學生）
仍以我本科的學校來舉例，絕大部分同學選擇了出國深造或者讀研，繼續研究數學或者統計、經濟、計算機、密碼學等相關學科；其中選擇出國的同學大多從大二開始準備語言成績等材料（托福，GRE等），大四開始申請（以美國為主，歐洲其次），而讀研的同學則都是保研、考研，大都從大三下開始準備，並聯系導師；個別同學出於選擇直接工作。（但鑒於筆者本科學校具有壹定的特殊性，別的學校情況可能有所不同；對於就業這壹點比較重視的同學，筆者建議填誌願時可以直接咨詢報考學校的招生老師，比如往年的就業情況、是否有長期合作的研究機構或企業等等；這樣能夠獲得學校的第壹手信息，也更有助於自己做判斷）
3、數學學習本身
談了這麽多基本情況之後，我想接下來我們可以來談談數學本身了。數學系本科的學習大致可以分為兩個階段，第壹是學習壹些基礎課程；第二是分專業的學習。
基礎課程
其中基礎課程分為三類：分析，代數與幾何。
分析包括數學分析、實分析和復分析，主要內容是微積分的建立及其推廣；
代數包括線性代數和抽象代數，主要研究各種代數結構；
幾何包括微分幾何和拓撲，研究特定的幾何對象（例如空間、曲線曲面等等）以及它們在某些變換下的性質。
專業課程
專業課則根據專業方向的不同而有所區別。
如果是基礎數學，可能會繼續學習壹些現代數學的基礎，比如泛函分析、偏微分方程、代數拓撲、代數幾何等等；
如果是應用數學或計算數學，可能會學習壹些有應用背景的學科，比如數理統計、數值方法、有限元等等，並開始選定導師開始壹定的研究工作。
總體而言，相對於其他壹些專業而言，數學系的生活可能是相對無聊的：既沒有很多交流交換的機會（當然這壹點可能也和學校有關），實習或科研也相對較晚。但數學系也有自己獨特的樂趣——那就是數學本身。
不同於中學的數學大部分是散亂的現象和公式，現代數學非常強調“自然”、“普適”和“整體的圖景”.
對於壹門學科內部要理解研究它的動機，即要“來得自然”；
然後是有哪些結構，有哪些工具應用其中，有哪些技術，哪些結果；
接著是它們需要哪些條件，本質是什麽，其中的思想與方法能否應用於其他地方，即是否“廣泛普適”；
對於不同的學科，要研究他們之間的聯系，找出他們的相對位置；
還要對比它們，找出相似之處與不同之處，即“整體的圖景”如何。
正是這樣的特點，使得現代數學威力巨大，魅力無窮。
利用“現代”的觀點與工具，數學家們解開了以前看來無比困難的經典問題，例如費馬大定理、龐加萊猜想等等；為物理學家們進壹步揭開了自然與宇宙的秘密創造了合適的工具，例如黎曼幾何之於廣義相對論，纖維叢理論之於規範場論；甚至在意想不到的地方也起到了巨大的作用，例如群表示論應用於晶體結構的研究，數論應用於密碼學的研究；這些成就都是現代數學威力的展示。
而聯系與抽象又反映著現代數學的魅力：所謂聯系，就是不同領域的交匯，從不同的視角來看同壹個東西，以及反過來對不同領域交叉的研究反過來對原先領域的影響。例如在幾何裏有壹個概念叫做黎曼面，簡單的來說就是局部“看起來像復平面”並滿足某些條件的曲面；由於它局部的性質，復分析可以應用到它上面；它整體作為壹個幾何對象，又可以應用拓撲、微分幾何的手段去研究它；甚至代數的工具也可以應用其中。而且，對於黎曼面的研究也反過來促進了人們對分析、幾何和代數的認識。而抽象則是從現象中抽取它的本質以應用在其他的地方。
例如代數幾何這門學科，在相當長壹段時間裏，代數幾何都致力於研究壹種稱為“代數簇”的幾何對象；後來以法國的格羅滕迪克為代表的壹批數學家極大的發展了代數幾何這門學科，他們推廣了“代數簇”的概念，對任意的交換環定義出了壹種叫做“概型”的幾何對象，將它應用於數論之中且取得了巨大的成功。甚至，在各種方法或工具中，數學家們試圖尋求他們之間更深層次的聯系——站在它們背後的“哲學”——並將它抽象出來指導學科的發展。典型的代表有“局部整體方法”、“量子化方法”等等。
每當學到這樣壹些東西，我都會為它們的美感到震撼。引用我本科壹位老師說過的話，“午後，妳在林蔭小道散步時，或者夜深人靜思緒迸發時，不經意地，妳想到那個定理/問題，並為它的精巧構思驚嘆不已，這就是數學。”
學長說：
不過同樣不可否認的是，在發展的過程中，數學逐漸變得復雜而抽象，對壹般人來說變得越來越不友好。為了掌握壹些看似酷炫的名詞，往往需要壹個學生好幾個月甚至幾年的時間去學習、適應，不斷地積累知識與例子。我本科的時候學習抽象代數、代數幾何等等幾門課時都花了相當長壹段時間來適應其中的各種概念和符號。因此作為數學系的學生，妳可能需要付出比想象要多得多的努力，而且經過長時間的努力卻沒有（或暫時沒有）得到回報的例子也是常有的，這種時候尤其容易感到失落、沮喪，但正是在這種時候也更需要努力與堅持。
總之，可以說，做數學系的學生既是幸福的，也是痛苦的。幸福在於能夠有壹段時間去心無旁騖地追尋美與真理，按照阿蒂亞爵士的說法，“links Art and Science in one great enterprise, attempt to make sense of the universe”；並且有機會結識壹些同樣懷著求真之心的師友，他們可以讓妳受益匪淺，與他們結伴同行的壹段時光會讓妳難以忘懷。我本科期間曾數次與朋友壹起辦討論班，每每回想起當時為了某個定義或者定理吵得不可開交，經過討論後達成壹致時那種純粹因知識而開心的日子就覺得十分懷念。痛苦則在於需要付出更多而無法期待在世俗世界中的回報，有時可能還得不到親友的理解；孤獨可能會常常籠罩著妳。
但是，正如最開始我所表達的觀點，數學是壹門純粹的學科，如果妳對它有真正的興趣，並且願意踏上壹段“對知識的冒險歷程”，不為別的，就為“這樣壹種和諧”，那麽我想，這壹切都是值得的。即便以後出於種種原因沒有繼續在數學的路上走下去，這樣的壹段經歷也多少能成為美好的回憶。
從更遠的角度來講，學習數學也好，學習其他專業也罷，這都只是人生的壹部分；探尋人生的意義，才是壹輩子的大問題。最後，讓我用壹句古希臘奧運的格言來結尾吧：“切勿要求勝利，只應要求有壹往無前的勇氣。”
參考文獻
（1）《仿佛來自虛空——亞歷山大-格羅滕迪克的壹生》
（2）M.F.Atiyah爵士的文章：
（3）《黎曼幾何引論》的前言部分。