壹、希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世紀）發現了壹個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號2）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第壹個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。相傳當時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這壹發現而把希伯斯拋入大海。
解決：
1、伯內特解釋了芝諾的“二分法”：即不可能在有限的時間內通過無限多個點，在妳走完全程之前必須先走過給定距離的壹半，為此又必須走過壹半的壹半，等等，直至無窮。
亞裏士多德批評芝諾在這裏犯了錯誤：“他主張壹個事物不可能在有限的時間裏通過無限的事物，或者分別地和無限的事物相接觸，須知長度和時間被說成是“無限的”有兩種涵義。
壹般地說，壹切連續事物被說成是“無限的”都有兩種涵義：或分起來的無限，或延伸上的無限。因此，壹方面，事物在有限的時間裏不能和數量上無限的事物相接觸。
另壹方面，卻能和分起來無限的事物相接觸，因為時間本身分起來也是無限的。因此，通過壹個無限的事物是在無限的時間裏而不是在有限的時間裏進行的，和無限的事物接觸是在無限數的而不是在有限數的範圍上進行的。?
2、亞裏士多德指出這個論證和前面的二分法是壹回事，這個論證得到的結論是：跑得慢的人不可能被趕上。
因此，對這個論證的解決方法也必然是同壹個方法，認為在運動中領先的東西不能被追上這個想法是錯誤的，因為在它領先的時間內是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過所規定的有限的距離的話，那麽它也是可以被趕上的。?
3、亞裏士多德認為芝諾的這個說法是錯誤的，因為時間不是由不可分的‘現在’組成的，正如別的任何量都不是由不可分的部分組合成的那樣。亞裏士多德認為，這個結論是因為把時間當作是由‘現在’組成的而引起的，如果不肯定這個前提，這個結論是不會出現的。
4、亞裏士多德認為，這裏錯誤在於他把壹個運動物體經過另壹運動物體所花的時間，看做等同於以相同速度經過相同大小的靜止物體所花的時間，事實上這兩者是不相等的。
二、微積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。
解決：經過柯西（微積分收官人）用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論得以發展和完善，從而使數學大廈變得更加輝煌美麗！
三、羅素悖論：S由壹切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗壹點的話來說，小明有壹天說：“我正在撒謊！”問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在於，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論！
解決
1、排除悖論，危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除壹切矛盾；另壹方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中壹切有價值的內容得以保存下來。”
1908年，策梅羅在自己這壹原則基礎上提出第壹個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這壹公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。
2、公理化集合系統，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另壹方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第壹次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。
而這方面的進壹步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。
擴展資料：
在類的公理體系中，有壹些基本的概念是不加定義的，我們只能從其客觀含義上給予解釋，但這樣的解釋僅僅起到幫助理解這些概念。
數學中研究的任何壹個客體對象都稱為壹個類。類的概念是沒有任何限制。類與類之間可能存在著壹種稱為屬於的關系，類A屬於類B，此時也稱類A是類B的壹個元素（簡稱為元）。
我們可以把類理解成為是由若幹元素組成的壹個整體。壹個類是否是另壹個類的元素是完全確定的，這就是類元素的確定性。類A如果不是類B的元素，則稱A不屬於B。
參考資料：
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