萬有引力定律的發現和應用
物理論文
PB05000821吳瑞陽
萬有引力定律的發現
我們都知道牛頓發現了萬有引力定律。我們小時候也聽過牛頓看到壹個蘋果落地就發現萬有引力的故事。但是它的發現不僅僅是看到壹個蘋果掉到地上那麽簡單。
引力公式:其中g是引力常數。在牛頓的時代，壹些科學家認為萬物都有引力。而且，牛頓和胡克曾經就發現引力的權利爭論過。有資料顯示，萬有引力的概念最早是由虎克提出的，但由於虎克在數學上的造詣遠不及牛頓，所以無法解釋行星的橢圓軌道。牛頓不僅提出萬有引力與距離的平方成正比，而且圓滿解決了行星的橢圓軌道問題，萬有引力的發現優先權自然屬於牛頓。
正如他所說，牛頓站在巨人的肩膀上。開普勒的研究成果為引力的發現做出了不可磨滅的貢獻。開普勒是德國天文學家，他的老師顧師兄給他留下了壹生的天文觀測資料。在此基礎上，開普勒經過20年的計算和整理，於1609年發表了行星運動第壹定律和第二定律。後來發表了行星運動第三定律。
根據牛頓的回憶錄，牛頓首先研究了月球的運動。牛頓的平方反比定律是由開普勒的行星運動第三定律推導出來的。要計算橢圓軌道，顯然牛頓也必須有壹些關於微積分和基本力學定律的概念。牛頓在基礎力學方面有很多發現，牛頓和萊布尼茨獨立發現了微積分。牛頓應用微積分計算萬有引力。至於發現萬有引力定律的權利，歷史的結論是被牛頓發現了。引力的表述是，它的建立是牛頓定律和開普勒定律綜合的結果，牛頓在其中起了關鍵作用。
萬有引力定律的建立
壹、平方反比定律的確定
1.理論計算的平方反比假設:
為了簡單起見，可以把行星的軌道看成壹個圓(當把行星的軌道看成壹個圓時，教科書上已經證明了)。這樣，根據面積定律，行星要做勻速圓周運動，只有向心加速度a=v2/r，其中v是行星的速度，r是圓周軌道的半徑。
根據牛頓第二定律:f=ma
有
優優
根據開普勒第三定律，k是壹個與行星無關的太陽常數。
也就是
因此...(1)
牛頓得到了第壹個結果:如果太陽的引力是行星運動的原因，這個力應該和行星與太陽距離的平方成反比。
2.平方反比假設的驗證:
牛頓“蘋果落地”的故事廣為流傳。故事大意是，1665-1666年，牛頓從劍橋大學辭職，待在家裏。有壹天，他正在花園裏思考萬有引力的動力學，偶然看到壹個蘋果掉到地上，引起了他的思考。在我們能爬的最遠的距離和最高的山頂上，重力並沒有明顯的減弱，這種力必然會到達比平時遠得多的地方。那應該和月亮壹樣高。如果是這樣，月球的運動壹定受其影響。也許正是因為這個原因，月球停留在它的軌道上。
假設月球在其軌道上的任意壹點A(見圖)，O為地球的中心。如果不受到外力，它會沿直線AB運動，但它的軌道實際上是壹條弧AP，AB與a點的軌道相切，那麽月球落向o的距離為BP=y，使得弧長AP=s=2πrt/T，
而cos θ ≈ 1-/2，θ = s/r。
y = r(1-cosθ)≈S2/2r = 4π2r 2t 2/2r T2 = 2π2r T2/T2
在地面上，壹個重物在t時間內下落的距離是
y=gt2/2
從這個
y/y' =4π2r/gT2
月球繞地球軌道的周期為T=27.3d ≈2.36×106 s，地面重力加速度為g=9.8 m/s2，地球半徑R的精確值為6400km。通過觀測月全食的持續時間，古希臘天文學家伊巴谷曾經估算出地月距離是地球半徑的60倍，所以R = 60r = 3.84×。
y/y' =1/3600
R2/r2=1/3600。
y/y'=a/g=ma/mg=f/mg= R2/r2
所以:f=mg R2/r2，即力與距離的平方成反比。
2.與m和m成正比的確定
①公式表明，力與被吸引物體的質量m成正比，根據牛頓第三定律，力相互作用，f是m對m的作用，f '是m對m的作用，f與m成正比，所以f '必然與m和f '成正比，f必須同時與m和m成正比。(1)類型可以寫成:
f=GMm/r2，…②
其中g是萬有引力常數。
三。重力常數的測定
現在我們有了引力的表達式，我們必須測量引力常數。為了測量引力常數g的值，需要測量兩個已知質量的物體之間的引力。1798年，卡文迪許進行了第壹次精確測量。
他使用了扭秤裝置。如圖，兩個質量為m的小球固定在壹根光桿的兩端，兩根光桿上水平掛著壹根應時燈絲，每個小球附近放壹個質量為m的大球。根據萬有引力定律，當大球處於AA位置時，由於小球被吸引，吊桿因壹個力矩而轉動，使吊線扭曲。重力力矩最終被吊線的彈性恢復力矩平衡。懸絲扭轉的角度θ可用鏡尺系統測量。為了提高測量的靈敏度，還可以把大球放在BB的位置，吸引反方向的小球。這樣，兩個吊桿天平之間的夾角的校正就加倍了。如果已知大球和小球的質量M，M，它們之間的距離和吊線扭轉的相關系數，就可以由測得的θ計算出G。卡文迪許的引力常數值是:
g = 6.754×10-11 m3/kg？s2 .引力常數是目前測得的最不準確的物理學基本常數，因為引力太弱，屏蔽不了它的幹擾，所以很難做實驗。從卡文迪許到現在已經將近200年了，很多人用相同或不同的方法來測量G的值，不斷提高其精度。國際科學聯合會理事會CODATA)1986推薦的數值為
g = 6.67259(85)×10-11 m3/kg？s2，
不確定度為128/100000(即萬分之1.28)。
引力的實驗演示
壹、實驗現象:
在壹些科技館裏，還有如圖所示的演示裝置:類似碗的圓盤，只是碗的壁向內拱起。壹個帶有墨水的小球從圓盤邊緣低速進入，在圓盤上繞中心滾動並留下痕跡。可以觀察到，隨著時間的變化，球的速度越來越快，最後落入中洞。而且球的半徑在中間變化比較慢(也就是球的軌跡在中間最密)。球的軌跡不是正圓，而是半徑越來越小的弧線。(如果兩個球先後入盤，角位移前後會趕上。)
二、原理解釋:
1，為什麽用它來論證萬有引力定律？
從萬有引力定律的表達式可以推斷，行星的勢能為
實驗中用引力勢能代替引力勢能MGH =-GMM/R
所以只要滿足h=-GM/gr，就可以用重力勢能代替重力勢能。
同時，r代表物體之間的距離。當圖示曲線繞H軸旋轉時，就形成了實驗所用的曲面。當曲線圖示為:dh/dr=GM/gr2時，
f = mgtanθ= mgdh/dr = mgGM/gr2 = GMm/R2
所以無論從能量還是力的角度來看，這個實驗模型都是可以模擬和演示引力的。
2.為什麽球越來越快？
根據離心力f=mv2/r=F，動能為e k = 1/2mv2 = 1/2gmm/r，從公式中可以看出，r越小，動能越大，自然速度越快。
3.為什麽從球到中間的軌跡很密？
這是壹個具有耗散力的工作系統。旋轉時摩擦做功發熱耗散壹部分能量w=，F的大小只與接觸壓力和摩擦系數有關。當距離為r時，摩擦力轉壹圈做的功:w= =2πrmg？cos[arctan(dh/dr)]=
DE/dr= GMm/r2。可以看出，R越大，勢能變化越慢。所以在外圈，改變少量dr後勢能的變化沒有內圈大，但是壹圈消耗的能量比內圈大。所以內圈旋轉時，每次旋轉位置下降壹小段，球旋轉的能量就多，而每次球旋轉摩擦消耗的能量就少，所以在同樣短的距離內，球會比外圈多旋轉幾倍。
4.為什麽球的軌跡是不斷向內縮進的弧線？
如果盤面足夠光滑，也就是沒有摩擦力做功，那麽球的軌跡會是什麽樣的？
a、當球進入圓盤邊緣時，剛好獲得足夠的動能在圓盤邊緣運動；
Mgh=1/2 mv2，即F=mv2/r，球會沿著圓盤的邊緣以圓形軌跡運動。
b、當球進入圓盤邊緣時，沒有達到圓盤邊緣運動所需的動能；
mgh÷1/2mv 2，F & gtMv2/r，球會做正圓運動，同時會有壹個徑向的偏運動(減小半徑將勢能轉化為動能，直到滿足平衡)。當達到壹定半徑時，會達到F=mv2/r，在這裏做正圓運動。
c，球進入圓盤邊緣時的動能超過了在圓盤邊緣運動所需的動能:
Mgh & lt1/2mv2，F & lt對盤面上mv2/r的力學分析表明，球會沿著邊緣飛行。
實驗中只模擬了情況B。
讓我們考慮摩擦力:
由於摩擦力做負功，球的動能在運動過程中不斷損耗，這就需要球不斷縮小半徑來尋找新的平衡，直到後半段由於能量不足而穿過中間的壹個小孔。
所以，有:球的軌跡是壹個不斷向內收縮的圓。
5.為什麽兩個球有壹個角度可以追上對方？
根據萬有引力公式，角速度ω =，所以半徑越小，角速度越大。先後進入的兩個球的角速度總是大於後壹個球的角速度，所以在壹段時間內，前壹個球總是比後壹個球轉得多，所以角度差不斷增大，先進入的球會超過後進入的球很多倍，所以看起來兩個球總是在互相追逐。
重力的應用
萬有引力定律作為自然界最基本的定律之壹，在理論研究和工程設計中得到了廣泛的應用。比如在航空航天中，航天器接近天體時的引力可以作為壹種有效的加速方法(彈弓效應)；在宇宙物理學中，天體的位置和質量往往是通過測量萬有引力的作用來確定的。在電磁探測受到限制的地區，可以通過重力的測量和計算來探測地下物質的密度，從而確定地下礦藏的分布或地下墓穴的規模和位置；在其他領域，比如精密工業中超圓滾動球體的制造，我們可以選擇在太空中生產，因為那裏有理想的受力環境(因為物體在航天器上處於失重狀態，其他星體的引力可以忽略，因為宇宙中大尺度分布的均勻性)；旨在研究太空中生物失重狀態(即重力語言中的離心力平衡取消)的項目，已經發展成為壹項高科技前沿技術。如果把蔬菜、水果的種子帶到太空，在失重環境和宇宙射線的影響下，壹些變異品種的品質比地球上的品種有很大提高。
事實上，萬有引力定律往往是理論研究中最基本、最常用的公式之壹。這裏有壹個實際應用的例子來說明這壹點。
人造衛星的發射過程；
1，當我們要發射地球衛星時，只需要將衛星以壹定的角度和壹定的初速度發射到太空中。從萬有引力定律可以推斷出這個速度的理論值:7.9 km/s萬有引力定律為我們確定了衛星到天空的邊界條件。當然實際發射時要考慮阻力問題，並不是瞬間加速到這個值，而是壹個逐漸加速的過程，比較復雜。
2.當我們要求衛星是太陽的衛星時，我們的發射速度理論值將高達11.2km/s..同樣，在實際過程中，速度也不會達到這個值，而是會逐漸加速增加。
3.當我們要求衛星成為太陽系外天體時，我們的發射速度理論值將高達16.7km/s/s..實際中，速度不會達到這個值。其實我們是故意把飛行器發射到太陽系的天體附近，利用彈弓效應，利用飛行器和天體之間的引力來改變飛行器的速度和方向。
從上面的應用可以看出重力的重要地位。萬有引力概念壹提出就引起了壹場“科學革命”。隨後的時代引發了研究和探索宇宙的熱潮，產生了許多新的學科和項目，有了許多新的發現。這些研究成果仍然與我們的生活息息相關。萬有引力定律的發現推動了人類文明的整個進程，是人類認識宇宙的壹大步，也是極其重要的壹步！
我們更有理由相信，在未來的科學探索和研究中，引力仍將發揮非常重要的作用。
萬有引力定律述評(壹)
萬有引力定律及其在天文學中的應用
知識要點
(壹)萬有引力定律
1.內容:。
2.公式:。g是引力常數，通常取g = 6.67× 10-11。
3.適用條件:
(1)
(2)
(3)
4.註意:
(1)兩個物體之間的相互吸引是壹對作用力和反作用力，總是大小相等，方向相反，服從牛頓第三定律。
(2)地球表面物體的重力近似認為等於地球對該物體的重力。已知GM = GR2，這是常見的變換。
(3)離地高度越高，物體的重力加速度越小，與高度的關系為:r為地球半徑，h為離地高度。
(2)在天文學中的應用
1.基本方法:將天體(或衛星)的運動視為勻速圓周運動，所需的向心力由引力提供。
解題時可以根據情況選擇公式分析計算。
2.求天體質量和密度的方法
(1)通過觀察其天體做勻速圓周運動的衛星的周期t和半徑r，引力等於向心力。
力，天體質量m =。
(2)如果已知壹個天體的半徑r，那麽這個天體的密度
典型例子
眾所周知，火星的半徑是地球半徑的壹半，火星的質量是地球的質量。如果壹個地球上質量60kg的人去火星，火星表面的重力是多少？
例2:地球到月球中心的距離約為4×108m，估算了地球的質量。(結果:保留壹位有效數字。)
例3:行星的質量是地球的9倍，半徑約為地球的壹半。以10m/s的初速度從壹定高度垂直向上投擲壹個物體，從投擲到落回原位需要多長時間？(g = 10m/s2)
例4:地面上物體的重力是160N。如果放在飛船裏，當飛船以加速度a=g/2加速上升時，在壹定高度，物體和飛船裏的支架相互擠壓的力是90N。此時衛星離地心有多遠？(已知R = 6.4×103km，G = 10m/S2)。
鞏固練習
1.恒星和恒星是人們根據萬有引力定律計算出的軌道發現的。恒星的軌道之所以偏離萬有引力定律計算的軌道，是因為恒星受到軌道外其他行星的引力影響。
2.讓土星圍繞太陽做勻速圓周運動。如果測得土星到太陽的距離為r，土星繞太陽的周期為t，已知的引力常數為g，根據這些數據，可以得到的量是()。
A.土星線速度的大小b .土星加速度的大小
C.土星的質量d .太陽的質量
3.1789，英國物理學家第壹次在實驗室裏熟練地使用該裝置精確地測量了引力常數。引力常數的測量意義重大:(1)
(2) .
4.如果將壹個小球垂直拋在壹個初速度為v0的小行星上(行星表面沒有空氣)，測得球能上升的最大高度為h，那麽就可以由此計算出()。
A.行星的質量
B.衛星繞行星勻速圓周運動的最小周期
C.地球上第壹個宇宙速度
D.圍繞行星做勻速圓周運動的衛星的最大加速度。
壹艘宇宙飛船繞著壹個未知星球的表面飛行。要測量行星的密度，只需要()。
a、測量運行周期B、測量周邊半徑
c、測量行星的體積D、測量運行速度。
6.下面已知哪組數據，就可以算出地球的質量m()。
A.地球繞太陽公轉的周期t和地球到太陽中心的距離r，地球到太陽的距離。
B.月球繞地球運行的周期為T月，月球到地球中心的距離為r。
C.人造地球衛星在地球表面附近軌道運行時的速度v和運行周期t。
d如果不考慮地球的自轉，已知地球的半徑和重力加速度。
7.兩顆行星的質量分別是M1和M2，繞太陽的軌道半徑比是R1: R2，那麽它們繞太陽的周期比。
8.地球繞太陽運行的軌道半徑為r，周期為t，月球繞地球運行的軌道半徑為r，周期為t，太陽和地球的質量比是多少？
9.月球繞地球軌道的周期約為地球繞太陽軌道公轉周期的1/14，日地距離約為月地距離的400倍。太陽的質量是多少倍？(取壹位有效數字)
10.證明了如果天體的衛星繞天體表面運動，天體的密度為
11.測量壹個物體在地面自由落體的高度h所需的時間為T，測量壹個物體在高山之巔自由落體同樣高度所需的時間增加δT，已知地球半徑為R0。試著找出山的高度h。