壹、知識要點:
壹元二次方程和壹元壹次方程都是積分方程，是初中數學的壹個重點內容，也是以後學習數學的基礎。
基礎，應該引起學生的重視。
壹元二次方程的壹般形式為:ax2+bx+c=0，(a≠0)，只包含壹個未知數，未知數的最高次為2。
的整個等式。
解壹元二次方程的基本思想是化簡為兩個壹元二次方程。壹元二次方程有四個解。
方法:1，直接開平法；2.匹配方法；3.公式法；4.階乘分解法。
二、方法和實例詳述:
1，直接開平法:
直接開平法是用直接平方根求解壹元二次方程的方法。用直接開平法求解(x-m)2=n (n≥0)
解為x = m的方程.
示例1。解方程(1)(3x+1)2 = 7(2)9 x2-24x+16 = 11。
解析:(1)這個方程用直接拉平法顯然很好做，(2)方程左邊完全平坦(3x-4)2，右邊= 11 >；0，所以
這個方程也可以用直接開平法求解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴ 3x+1 =(註意不要丟失解決方案)
∴x=
∴原方程的解是x1=，x2=。
(2)解法:9 x2-24x+16 = 11。
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=
∴x=
∴原方程的解是x1=，x2=。
2.匹配法:用匹配法求解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。
首先，將常數c移到等式的右邊:AX2+BX =-C
將二次項轉換為1: x2+x =-
方程兩邊加上壹階系數壹半的平方:x2+x+( )2=- +( )2。
等式左邊變成了完全平坦的方式:(x+ )2=
當b2-4ac≥0時，x+=
∴x=(這是根公式)
例2。用匹配法求解方程3x2-4x-2=0
解法:將常數項移到等式3x2-4x=2的右邊。
將二次項系數化為1: x2-x =
方程兩邊加上壹階項系數的壹半的平方:x2-x+( )2= +( )2。
公式:(x-)2=
直接平方:x-=
∴x=
原方程的解是x1=，x2=。
3.公式法:將壹元二次方程轉化為壹般形式，然後計算判別式的值△=b2-4ac。b2-4ac≥0時，放各項。
將系數A、B、C的值代入公式x=(b2-4ac≥0)得到方程的根。
例3。用公式法求解方程2x2-8x=-5
解法:把方程變成壹般形式:2x2-8x+5=0。
∴a=2，b=-8，c=5
B2-4ac =(-8)2-4×2×5 = 64-40 = 24 & gt；0
∴x= = =
原方程的解是x1=，x2=。
4.因式分解法:將方程變形為壹邊為零的形式，將另壹邊的二次三項式分解為兩個線性因子的乘積，這樣，
兩個線性因子分別等於零，得到兩個線性方程組。求解這兩個線性方程組得到的根是原方程組中的兩個。
根。這種解壹元二次方程的方法叫做因式分解。
例4。通過因式分解求解下列方程:
(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2 x2+3x = 0
(3) 6x2+5x-50=0(可選研究)(4)x2-2(+)x+4=0(可選研究)
(1)解法:(x+3)(x-6)=-8簡化排序。
X2-3x-10=0(該方程左邊是壹個二次三項式，右邊是零)。
(x-5)(x+2)=0(等式左側的因式分解因子)
∴x-5=0或x+2=0(轉換成兩個線性方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
X(2x+3)=0(通過提高公因數來因式分解等式的左側)
∴x=0或2x+3=0(轉換成兩個線性方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
註意:有些同學在做這類題時容易丟失x=0的解。應該記住，壹元二次方程有兩種解法。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0(通過交叉乘法進行因子分解時，應特別註意符號)
2x-5 = 0或3x+10=0。
∴x1=，x2=-是原方程的解。
(4)解法:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4可分解為2.2，∴此題可因式分解)。
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2，x2=2是原方程的解。
總結:
通常，因式分解是求解壹元二次方程最常用的方法。應用因式分解時，方程應先寫成通式。
形式，同時二次系數要變成正數。
直接開平法是最基本的方法。
公式法和搭配法是最重要的方法。公式法適用於任何壹元二次方程(有人稱之為萬能法)。使用公式時，
在該方法中，為了確定系數，必須將原方程變換成壹般形式，並且在使用該公式之前要計算判別式的值，以便對方程進行判斷。
是否有解決方法。
匹配法是推導公式的工具。掌握了公式法之後，就可以直接用公式法解壹元二次方程了，壹般不需要用配方法。
解壹元二次方程。而搭配法在其他數學知識的學習中應用廣泛，是初中要求掌握的三種重要的數學方法。
方法之壹，必須掌握。三種重要的數學方法:換元法、配點法和待定系數法。
例5。用適當的方法求解下列方程。(可選研究)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2 = 0(2)x2+(2-)x+-3 = 0
(3)x2-2x =-(4)4x 2-4mx-10x+m2+5m+6 = 0
分析:(1)首先要觀察題目是否有特點，不要盲目先做乘法。觀察後發現，方程左側可用平方差。
該公式將因子分解為兩個線性因子的乘積。
(2)可以用十字乘法分解方程的左因子。
(3)將其轉化為壹般形式後，用公式法求解。
(4)將方程化為4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後用十字乘因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0。
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]= 0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0。
∴x1=1,x2=13
(2)解:x2+(2- )x+ -3=0。
[x-(-3)](x-1)=0
X-(-3)=0或x-1=0。
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
X2-2 x+ =0(首先轉換成壹般形式)
△=(-2)2-4×= 12-8 = 4 & gt；0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0。
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0。
∴x1=，x2=
例6。求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2 = 0的兩個根。(可選研究)
解析:如果這個方程先相乘，再相乘，相似的項合並成壹個通用的形式，就比較繁瑣了。仔細觀察題目，我會的
科學家發現，如果把x+1和x-4分別看成壹個整體，可以在方程的左邊使用叉乘因式分解因子(其實就是使用換元法)
法律)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]= 0。
即(5x-5)(2x-3)=0。
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴ x1 = 1，x2 =是原方程的解。
例7。用配點法求解壹元二次方程x2+px+q=0。
解:x2+px+q=0可以轉化為
X2+px=-q(常數項移至等式右側)
X2+px+( )2=-q+()2(方程兩邊加上第壹項系數壹半的平方)。
(x+)2=(公式)
當p2-4q≥0時，≥0 (p2-4q必須分類討論)
∴x=- =
∴x1=，x2=
當p2-4q
註意:此題為字母系數方程，題中P和Q沒有附加條件，所以在解題過程中要時刻註意字母。
價值選擇的要求，必要時進行分類討論。
練習:
(1)用適當的方法求解下列方程:
1.6 x2-x-2 = 0 ^ 2。(x+5)(x-5)=3
3.x2-x = 0 ^ 4。x2-4x+4=0
5.3x2+1=2x 6。(2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(2)解下列關於x的方程。
1 . x2-ax+-B2 = 0 ^ 2。x2-( + )ax+ a2=0
練習參考答案:
(1) 1.x1 =-，x2 = 2.x1 = 2，x2 =-2。
3.x1=0，x2 = 4 . x 1 = x2 = 2 5 . x 1 = x2 =
6.解法:(取2x+3為壹個整體，分解等式左邊的因子)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即(2x+9)(2x+2)=0。
* 2x+9 = 0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(2) 1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2，解:x2-(+) ax+a a = 0。
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x- a=0。
∴x1= +b，x2= -b是∴x1= a，x2=a是。
原方程的解。原方程的解。
試驗
多項選擇
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是()。
a、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2.多項式a2+4a-10的值等於11，所以a的值是()。
a，3或7 B，-3或7 C，3或-7 D，-3或-7
3.如果壹元二次方程ax2+bx+c=0中的二次系數、線性系數和常數項之和等於零，那麽壹定有壹個方程。
根是()。
a、0 B、1 C 、-1 D、1
4.壹元二次方程ax2+bx+c=0的根為零，如果()。
a，b≠0且c=0 B，b=0且c≠0。
c和b=0和c=0 D和c=0。
5.方程x2-3x=10的兩個根是()。
a 、-2，5 B、2 、-5 C、2，5 D、2
6.方程x2-3x+3=0的解是()。
a，b，c，d，沒有真正的根
7.方程2x2-0.15=0的解是()。
a、x= B、x=-
c、x1=0.27，x2=-0.27
8.方程式x2-x-4=0。左側以完全平坦的方式匹配後，得到的方程是()。
a 、( x-)2= B 、( x- )2=-
c，(x- )2= D，以上答案都不正確。
9.已知壹元二次方程x2-2x-m=0，用匹配法求解此方程的公式後的方程是()。
a 、( x-1)2=m2+1 B 、( x-1)2=m-1 C 、( x-1)2=1-m D 、( x-1)2=m+1
回答和分析
答案:1 . C2 . C3 . B4 . D5 . a6 . D7 . D8 . C9 . d。
分析:
1.解析:(x-5)2=0，則x1=x2=5，
註意:不要輕易用壹個代數表達式除方程兩邊，另壹個壹元二次方程有實根，壹定是兩個。
2.解析:根據題意:a2+4a-10=11，解為a=3或a=-7。
3.解析:根據題意:如果有a+b+c=0，則方程的左邊是a+b+c，只有x=1，ax2+bx+c=a+b+c，也就是說當x=1時，
方程成立時，必然有x=1的根。
4.解析:如果壹元二次方程ax2+bx+c=0的壹個根為零，
那麽ax2+bx+c壹定有因子X，如果只有c=0，則有公因數X，所以c=0。
另外，還可以代入x=0得到c=0，比較簡單！
5.解析:原方程變成x2-3x-10=0，
那麽(x-5)(x+2)=0。
X-5=0或x+2=0。
x1=5，x2=-2。
6.分析:δ = 9-4× 3 =-3
7.分析:2x2=0.15
x2=
x=
註意根的簡化，直接平方不要丟根。
8.解析:兩邊乘以3: x2-3x-12=0，然後根據線性系數公式，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
排序為:(x-)2=
利用等式性質可以變換方程，當x2-bx公式化時，公式項是第壹項-b的系數的壹半的平方。
9.解析:x2-2x=m，則x2-2x+1=m+1。
那麽(x-1)2=m+1。
中考分析
對考試問題的評論
1.(甘肅省)方程的根是()
(A) (B) (C)或(d)或
點評:由於壹元二次方程有兩個根，我們用排除法排除選項A和B，再用驗證法選出正確的選項C和d。
選項。這個方程也可以用因式分解求解，結果也可以和選項進行比較。選項A和B只考慮壹手，忘了壹元。
二次方程有兩個根，所以是錯的，而且選項D中x =-1不能使方程左右相等，所以也是錯的。正確的選項是
丙.
此外，學生常常用壹個代數表達式同時除方程的兩邊，使方程失去了根。這種錯誤應該避免。
2.(吉林省)壹元二次方程的根是_ _ _ _ _ _ _ _。
點評:思路可以根據方程的特點，用因式分解或公式法求解。
3.(遼寧省)方程的根是()
0(B)–1(C)0，–1(D)0，1
點評:思路:由於方程是二次方程，有兩個實根，通過排除驗證可以選出正確的選項，而a，
兩個選項只有壹個根。d選項A數不是方程的根。此外，還可以使用直接求方程根的方法。
4.(河南省)已知X的二次方程的壹個根是–2，所以k = _ _ _ _ _ _ _ _。
評論:k=4。將x=-2代入原方程，構造壹個關於k的二次方程，然後求解。
5.(Xi安)用直接開平法解方程(x-3)2=8，方程的根是()。
(A)x=3+2 (B)x=3-2
x1=3+2，x2=3-2
點評:可以直接解方程，也可以不用計算。如果用壹元二次方程有解，那壹定有兩個解和8的平方。
根，妳可以選擇答案。
課外發展
壹元二次方程
壹元二次方程意味著有壹個未知數，未知數的最高項是2。
度的積分方程。壹般形式是
ax2+bx+c=0，(a≠0)
公元前2000年左右，古巴比倫泥板上出現了壹元二次方程及其解法:找壹個數使它和它。
的倒數之和等於壹個給定的數，也就是求這樣壹個x的和，使得
x=1，x+ =b，
x2-bx+1=0，
他們制造了()2；再做壹次，然後得到解:+和-。可見巴比倫人已經知道壹元是兩次。
方程的根公式。但當時他們不接受負數，所以省略了負根。
埃及紙莎草文獻還涉及到最簡單的二次方程，例如:AX2 = B。
公元前4、5世紀，中國已經掌握了壹元二次方程求根的公式。
希臘的丟番圖(246-330)只取壹個二次方程的正根，即使兩個都是正根，他也只取其中壹個。
壹個。
公元628年，從印度編寫的雅魯藏布江修正體系中得出了二次方程x2+px+q=0的壹個根。
類型。
阿拉伯·阿爾·華拉齊米在《代數學》中討論了方程的解，解出了第壹、第二類方程，共六類。
在不同的形式中，設A，B，C為正數，如ax2=bx，ax2=c，ax2+c=bx，ax2+bx=c，ax2=bx+c等。將二次方程分成
不同形式的討論是基於丟番圖的實踐。除了給出了幾個二次方程的特解，Al-Hualazimi也是第壹次。
給出了二次方程的通解，承認方程有兩個根和無理根，但沒有對虛根的理解。十六世紀的意大利人
數學家開始用復數根來理解三次方程。
大衛(1540-1603)不僅知道壹元方程在復數範圍內總有解，而且給出了根與系數的關系。
中國第九章算術勾股法第20題，求正根等價於x2+34x-71000=0。中國數學
經濟學家也在方程式的研究中應用插值。