在古代，人們用正整數來計數，但有時正數“不夠用”。舉個很簡單的例子:張現在有5塊錢，但是他在王身上花了6塊錢，那麽張還有多少錢？這個時候正數顯然解決不了這個問題，於是聰明人發明了負數。
負數表示“相反”。比如妳賺了10元，妳虧了10元，同樣是“10元”，但意思相反。妳如何區分它們？賺了10元可以記為+10元，虧了10元可以記為-10元。在這裏，收益10元和虧損10元是壹對意義相反的量，於是數學家發明了壹對意義相反的符號——加號和減號。而這個負數又如何在數軸上表示呢？從原點出發，取與“正方向”相反方向的任意壹點，這個點必須是負數。
那麽這裏就會出現壹對很有意思的數字。比如-5，它離原點的距離是5；還有5？它離原點的距離也是5，以至於只有壹對符號相同的數(如-2和2，-100和100，-2/3和2/3，-π和π)被命名為反義詞。如果妳想表達壹個數的倒數，只要在那個數前面加壹個負號就可以了。
可以發現壹對反義詞(如5和-5)離原點的距離相等。5到原點的距離是5，-5到原點的距離也是5。我們把壹個數到原點的距離命名為絕對值(就是這個符號:|5|=5，|-5|=5)，壹個數的絕對值不能是負數，因為距離不能是夫。畢竟沒有人聽說過壹個地方到另壹個地方的距離是負的。
有理數的分類:對於壹個系統的分類，數學既不講究重，也不講究漏，即壹個數存在於且只存在於壹個分類中，比如有理數可以這樣分類:
有理數既然是數，當然可以互相比較。
正有理數與負有理數之比:所有負數都小於0，所有正數都大於0，所以所有正數壹定大於所有負數；
負有理數與負有理數的比值:負數的比值是“絕對值較小”，負數與正數的含義相反，也就是說，在負數的比值中，絕對值大於絕對值，“負”較小。
有理數不同符號的加法:有理數運算采用的規則是“先符號，後運算”。有理數用不同的符號相加，結果的符號就跟著誰的絕對值最大。因為絕對值小的數離原點跳得近，跳得遠的數(絕對值大的)跳過原點。不同符號相加的結果的絕對值就是兩個數的絕對值之差的絕對值。這個理論可以通過畫壹個數軸來理解。
同符號有理數的加法:當兩個負有理數相加時，[例如-2+(-5)]，采用的規律仍然是先確定符號再進行運算。這裏的-2+(-5)相當於:原來妳欠那個人2元(妳的流動資產可以記為-2元)，現在妳欠別人5元。這個時候，如果妳想計算妳欠了多少錢，妳需要把妳欠的錢和妳現在欠的錢加起來。這裏的加不是加錢，而是把欠的錢加進去，所以意味著妳欠的錢多了，妳需要從妳原有的資產裏扣錢。妳欠錢，現在欠錢，那妳肯定還欠錢。而妳欠的錢是第壹次(2元)加上第二次(5元)，壹個***7元錢，這7個元佑欠可以表示為-7元。這也給出了-2+(-5)=-7。
之所以把有理數的加和減合並成有理數的加，是因為加和減實際上是互通的。比如5-5可以表示為5+(-5)。5-5雖然沒有加號，但我們可以把它當成加法。雖然我們寫數字的時候壹般不寫加號(比如我們壹般把+5寫成5)，但是正數前面其實是有加號的。但是因為數學家覺得太麻煩，省略了加號，但是我們還是不能忽視它的存在，否則有時候計算會有問題。
不同符號的有理數相乘:兩個數相乘實際上可以轉化為加法。比如5×2就是5+5=10，-5×2就是-5+(-5)=-10。我們通過實驗發現，壹個正數乘以壹個負數的結果是壹個負數，結果的絕對值是兩個數的絕對值的乘積。
同符號有理數的乘法:例如兩個負數相乘時，-5×(-5)可以轉化為-5×5×(-1)(因為-1×(5)=(-5))。而-5×5×(-1)可以先簡化為-25× (-1)。-25乘以-1相當於在-25前面加壹個負號，但是在壹個數前面加壹個負號是什麽呢？前面說過，就是求這個數的逆(在-25前加壹個“-”號就是求-25的逆)。而壹個數的相反數就是符號相反，數部分相同的數。這個數字是25。因此，-5×(-5)=25。通過類似的計算，我們發現當兩個負數相乘時，結果的符號為正，即“負為正”。
有理數的除法:了解了乘法運算後，除法運算其實已經解決了，因為乘除是倒數。比如5÷5等於5×1/5=1，負乘法也是壹樣。-5÷(-5)=-5×(-5)=25
有理數的冪:初中增加了壹個新的運算符號，就是冪運算。如果我要表達5×5×5×5，可以直接表達(不能抄)，有些地方也是用5×4表達。5叫底數，4叫指數，乘法運算就是指數底數的相乘，乘法公式的結果叫冪。
如果加法是螞蟻，乘法是麻雀，那麽乘數將是巨人。比如2和100，加法的話2+100就是102；2×100如果做乘法就是200；但是如果做壹個冪運算呢？2 100，是壹個31的數字:1267650600228229401496703205376。光是這個超級大的數字，可能就不太具體了。但是，壹個很簡單的例子就可以看出威力的恐怖。
我相信大家都收到過普通的A4紙，但是妳有沒有想過如果把壹張紙對折100次會是什麽效果？壹張紙的厚度是0.1 mm，對折壹次後是0.2 mm，對折兩次後是0.4 mm。100折之後呢？(即2的100次方)等於1268萬億公裏，換算成光年就是134億光年。想想看，那可是100多光年啊！光壹秒鐘可以繞地球七圈以上，以如此快的光速走完全程需要654.38+034億年。距離有這麽大嗎？每個人都知道宇宙的大小，對嗎？無邊無際的星空，看似浩瀚的太平洋，在宇宙眼中？笑話:整個星系就像宇宙中的壹粒谷物壹樣微小。而這個無邊無際的宇宙只有654.38+037億光年，壹張紙對折101次也能輕松追上！
再比如，2的10的平方是2 10 = 1024；2的20次方是2 ^ 20 = 1048576；2的30次方是2 = 1073741824；2的40次方是2 ^ 40 = 1099511627776。
從2 10到2 40次方，指數只翻了4次，結果卻翻了109951162776÷1024 = 1073741824次。以幾何倍數增長是指描述壹個事物或物體以壹個冪快速增長，比如2 10的2 40次方。可見法器的威力不是壹般的大！
科學計數方法:
有了冪，就會出現壹些非常大的數(比如1000000，23000000，45000)。把零壹個壹個寫出來太麻煩而且很容易漏掉壹些零，所以數學家想出了壹個方法，就是科學計數。
非常大的數，比如10000，可以寫成:1×10 4；100000000可以這樣寫:1×10 10；3000000可以寫成3×10 6；但是，會有壹個問題。比如壹個數12345000可以寫成1.2345× 10 7或者12.345× 10 6。數學家認為兩種方法比較不方便，所以規定了。| a | & lt10
未來發展:
其實我壹直在想到底有沒有5 0或者52。雖然我已經知道了5 0 = 1和5-2 = 1/25，但是我仍然不知道它們之間的原理。希望在八、九年級的時候能學會如何理解壹個數的零次方和壹個數的負次方。