為什麽1+1等於2？

哥德巴赫在給歐拉寫信時，提出了兩個猜想:(1)任何大於2的偶數都可以分解為兩個素數之和；(2)任何大於5的奇數都可以被分解為三個素數之和。顯然，(2)它是壹的推論；(2)已證明前蘇聯著名數學家維諾格拉多夫用“圓法”和自己創造的“三角和法”證明了它足夠大。這也是哥德巴赫猜想迄今為止最大的突破。在證明哥德巴赫猜想的過程中，提出了壹個命題:每壹個足夠大的偶數都可以表示為兩個不超過m個質因數且不超過n個質因數的數之和。這個命題縮寫為“m+n”。顯然“1+1”是哥德巴赫猜想的基本命題，“三素數定理”只是壹個非常重要的推論。在1973中，陳景潤改進了“篩選法”，證明了“1+2”這個足夠大的偶數可以表示為兩個數之和，其中壹個是素數，另壹個要麽是素數，要麽是兩個素數的乘積。陳景潤的證明結果被稱為“陳定理”，是迄今為止哥德巴赫猜想的最高紀錄。最後壹個證明是1+1。

讓我給妳看壹個假設:

0，1和2(如qv .蒯因，數理邏輯，修訂版。第6章第43-44節)的定義如下:

0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}

1:= { x:y(yεx . & amp；。x\{y}ε0)}

2:= { x:y(yεx . & amp；。x\{y}ε1)}

例如，如果我們從壹個屬於1範疇的分子中取出壹個元素，那麽這個分子就會變成零分子。換句話說，1是由所有只有壹個元素的類組成的類。〕

現在我們壹般用馮·諾依曼主要介紹的方法來定義自然數。例如:

0:= ∧, 1:= {∧} = {0} =0∪{0},

2:= {∧,{∧}} = {0,1} = 1∪{1}

[∧是空集]

壹般來說，如果我們構造了壹個集合n，那麽它的後繼n *定義為n ∨{ n }。

在集合論的壹般公理系統(如ZFC)中，有壹個公理保證這種構造過程能連續不斷地繼續下去，用這種構造方法得到的所有集合都能形成壹個集合。這個公理叫做無窮公理(當然我們假設其他公理(比如並集公理)已經成立。

註:無限公理是壹些所謂不合邏輯的公理。正是這些公理使得以羅素為代表的邏輯學家學派的壹些命題在最嚴格的意義上不可能實現。〕

然後我們可以應用下面的定理來定義自然數的加法。

定理:生活“|N”代表壹組全自然數，所以我們可以唯壹定義映射A: | NX | n→| n，使其滿足以下條件:

(1)對於|N中的任意元素x，我們有a (x，0)= x；

(2)對於|N中的任意元素X和Y，我們有A(x，y*) = A(x，y)*。

映射a是我們用來定義加法的映射。我們可以將上述條件改寫如下:

(1)x+0 = x；(2) x+y* = (x+y)* .

現在，我們可以證明“1+1 = 2”如下:

1+1

= 1+0*(因為1:= 0*)

= (1+0)*(根據條件(2))

= 1*(根據條件(1))

= 2(因為2:= 1*)

【註:嚴格來說，要用遞歸定理來保證上述構造方法是恰當的，這裏不再贅述。]

1+ 1= 2”可以說是人類引入自然數及相關運算後得出的“自然”結論。然而，直到19世紀，數學家們開始為基於實數系的分析建立嚴格的邏輯基礎，人們才真正審視了關於自然數的基本問題。我相信這方面最“經典”的證明應該是出現在羅素和懷特海寫的《數學原理》中的那個。

我們可以證明“1+1 = 2”:

首先，可以推斷出:

αε1 (∑x)(α={x})

βε2 (∑x)(∑y)(β={x，y}。& amp。~(x=y))

ξο1+1(∑x)(∑y)(β= { x } ∨{ y }。& amp。~(x=y))

所以對於任意集合γ，我們有

γε1+1

(∑x)(∑y)(γ= { x } ∨{ y }。& amp。~(x=y))

(∑x)(∑y)(γ={x，y}。& amp。~(x=y))

γε2

根據集合論的zermelo-fraenkel，我們得到1+1 = 2。