我覺得這個問題沒什麽“哲學”可言。數學引發的哲學問題不在這裏。至於計量單位，其實只是壹個規定。比如，對於“千克”這個單位，重要的不是“這個東西有多重”，而是“這個東西的質量與參照物的質量之比是多少”(如果不知道，查原千克)。現在先不說單位，因為
讓我們來談談這件事。
先不說虛數單位的定義。我們來看看數系是怎麽展開的。
整數是從日常計數中抽象出來的。但是對於“半個饅頭”之類的計數問題，整數無能為力。把問題寫準確，就是:幾個(壹樣的)饅頭加起來是壹個饅頭？為此，我們需要引入“半個饅頭”。換句話說，我們需要引入方程2x=1的解，這樣才能直觀的知道什麽叫做“有理數”。負數也是為了理解這樣壹個線性方程而引入的，就不贅述了。
【註:我們認為有理數容易理解，只是因為我們習慣了。數學經常要打破習慣，看不同的風景。]
但是到底什麽是有理數呢？對於壹個正整數，我們可以從日常經驗中抽象出它的性質，比如“1是壹只羊、壹頭牛、壹個人共同的數量屬性”(這句話本身意思不清楚，先不說了)。正有理數可以通過“等分”直觀地理解。對於“零”和負數，這種直觀的認知。回想壹下羅馬人是如何對待零的。為了彌補這種語義上的歧義，數學家們發明了壹個嚴格的定義。接下來再說吧。
對於無理數來說，問題就更嚴重了，因為在日常計數問題中沒有對應的。其實我們知道，最早的無理數來源於幾何測量問題:\sqrt2是最廣為人知的無理數。但還是可以歸結為求方程的根。畢達哥拉斯學派遇到了\sqrt2，因為他們想找到方程x 2 = 2的根。這樣，我們直觀地。
這立刻造成了壹個問題:很多整系數二次方程沒有根(還有高階方程)。最簡單的例子就是x 2 =-1。在抽象思維還不發達的時期，這個等式真的沒有任何意義。但正如我們所知，自卡爾達諾時期以來，情況已經發生了變化。這期間，當時數學家無法解釋的物體不斷出現。“1的平方根”就是最明顯的例子。為了讓三次方程有壹個統壹的求根公式，我們不得不引入這個“無意義”的“虛數單位”。雖然意義並不明確，但數學家們還是依靠虛數單位得到了壹系列有趣的結果(當然很多時候只是形式上的運算；只在實數範圍內做也不是不可以，但是會麻煩很多)。
由此可見，“求方程的根”其實是壹個比“定義圓周率”抽象得多的問題，因為後者是“客觀的”(我們現在不知道這是什麽意思，以後再說)，而前者不壹定有什麽現實的對應。
我們知道在歐拉的時代有壹個模糊的實數概念(他已經發現了很多與e，\pi有關的結論)，但是歐拉仍然不能真正算出“虛數”，雖然他在形式上得到了歐拉公式。
e^{ix}=\cos x+i\sin x
【這個公式的含義其實不清楚；e乘以I是什麽意思？]
Dedekind等人對實數進行了嚴格的定義，至此人們終於可以用壹種不會引起歧義的語言來描述實數了。按照現在的觀點，實數其實只是壹個思維對象，小數和Dedekind劃分只是這個思維對象在現實中的實現。需要用幾何度量來定義的實數，比如圓周率，也可以納入這個邏輯框架，因為借助於分析，我們可以明確什麽是“曲線的長度”
但我們不得不承認，“虛數”因為沒有實對應，所以還是比較難，但在實際問題(流體力學、傳熱學、電學等)中有重要的應用。
如何才能為方程x 2 =-1找到壹個合理定義的“解”？
當然，我們可以用實數域的二維可除代數來定義復數。但似乎不能做太多的概括。所以我們用不同的方式考慮這個問題。這種方式可以讓我們清楚什麽是“代數方程加根”。
對於給定的域k，考慮上面的多項式環k[x]。
【註:回想壹下，多項式環k[x]定義為K中無限循環群的系數有有限支撐的群代數，不應認為是“多項式函數”。]
對於k[x]中的壹個不可約多項式f(x)\，我們想求它的根。為此，我們考慮f(x)生成的理想I。因為不可約，所以應該是極大理想，所以商環K=k[x]/I是壹個域。它包含了壹個與k同構的子域，所以可以看作是k的壹個擴張，進壹步說，可以看作是k的壹個擴張。
K中的元素是等價類g(x)+I；讓我們特別考慮x+I類。根據商環的運算性質，我們立即得到f(x+I) = i，換句話說，在域K中，x+I是多項式f(x)的根。到目前為止，我們已經找到了f(x)的壹個根。剩下的就是通過不斷地擴大域(根據多項式)來窮盡F (x)的所有根
這樣就知道了“代數方程加根”的嚴格意義。至於“有理數”的定義，就簡單多了。無非是整環的分數域。
如果壹個域中的任何代數方程在這個域中都有解，那麽這個域就叫做代數閉域。對於這種域，研究其上的多項式是很容易的。實際上，任何多項式都可以分解成線性因子的乘積(Bezout定理)。
回到復數的情況，取k = \ mathbb {r}和f(x)= x ^ 2+1，得到的域擴展為復數\mathbb{C}。這個域是代數封閉的；這就是所謂的“代數基本定理”，有很多證明(代數的，實分析的，復分析的，拓撲的，...)，但代數味最濃的證明自然是以代數為基礎的。正因為\mathbb{C}是代數閉的，所以它在數學中的地位舉足輕重。只舉壹個最簡單的例子。為了計算壹個方陣的值，我們經常需要把它變成約當標準型，而這必須用復數來實現。如果不使用復數，計算量將無法想象。
說了這麽多，我發現我寫了很多看似“哲學”的話，後面部分是幹貨。但如果之前的“哲學”能幫助壹些人想清楚，我也很欣慰。
討論2:
第二個令人困惑的數學定義——虛數單位I的定義
負數有必要平方嗎？
有必要！
但這個問題的完整答案遠遠不止“定義:I 2 =-1”。
首先，作者簡要介紹了有理數集:
1，我們有自然數集和加法運算，自然數集封閉了加法運算(兩個自然數相加的結果還是自然數)。
2.加法的逆是減法，但自然數集並不封閉於減法(不能保證任意兩個自然數相減的結果仍然是自然數)；通過定義壹個負數，自然數集被擴展到壹個整數集。整數集對加法和減法是封閉的(人們認識到負數經歷了壹個漫長的過程，因為他們認為負數沒有實際意義)。
3.乘法的逆是除法，整數集閉於乘法，閉於除法；通過定義分數，將整數集推廣到有理數集；有理數集對於加減乘除(除數不為零)是封閉的。
4.有理數集更嚴格的稱謂是“有理數域”，但對“域”的解釋需要抽象的代數內容。為通俗起見，作者將“有理數域”稱為“有理數集”；以上“集”的意思是集合，即同類數的集合；比如自然數集和整數集。
第二，壹切都是數和畢達哥拉斯定理:
1.古希臘畢達哥拉斯學派認為“萬物皆有數”，並將其視為教義。這裏的數是指有理數；這種信念源於他們對自己有理數集的信心，他們認為這個有理數集已經包含了所有的數。
2.隨後，這個學派發現了勾股定理，也就是勾股定理，並用面積法證明。
3.如果“萬物皆有理”，那麽直角三角形的斜邊也應該是有理的；但是畢達哥拉斯學派的希帕蘇斯發現了這樣壹個例子並證明了:a=1，b=1，A和B通過畢達哥拉斯定理確定的C不是有理數！有壹種說法是Hipasus因為這個發現被學校開除了，還有壹種說法是被學校宰了。
4.無論如何，有理數集中沒有這樣的“C”，但現實中有這樣的C。唯壹的原因是畢達哥拉斯學派創造的有理數集有缺陷，沒有覆蓋所有的數！
5.通過增加N次冪運算，將有理數集展開為實數集(實數集不是實數集，只是部分實數的集合，這裏的實數集嚴格來說是有理數集的N次代數展開)。
6.實數集對加減乘除(除數非零)封閉，實數集中的正數也對N次方運算封閉，實數集中的負數對奇次方運算封閉但對偶次方運算不封閉；特別是√(-1)不在這個實集中，換句話說，這個實集中沒有數的平方等於(-1)。
第三，是時候添加定義了嗎？
1.是否應該加入定義“I ^ 2 =-1”或“i=√(-1)”使上述實數集成為壹個更大的數集？
答案是人們認為沒有必要！
2.人們認為正根是有意義的，因為根的結果在現實中有這樣壹個元計算。就像√2，人們真的可以找到壹條長度不太多也不太少的線段。
3.人們認為負數的根是沒有意義的，因為現實中沒有與根結果對應的這種元素。當然，作者也說了，那時候人們連負數都認不出來，因為現實中沒有“負”的線段。？√(-2)=-?√(2)只是正根的壹種“變形”；至於√(-1)，沒人關心有沒有與之對應的東西，因為沒有實際意義。
二次、三次和二次方程及求根公式；
1，所謂方程就是含有未知量的方程；未知數是數，方程是代數方程；未知數是函數，方程是函數方程(如微分方程、積分方程)；方程的解是壹個能使方程成立的量；代數方程的解是壹個數，這樣的數叫做代數方程的根。
2.在代數方程中，人們更關註多項式方程，因為這類方程與人們的生產生活密切相關；在古典數學時期，數學家研究的方程主要是多項式方程。以下“方程”均指“多項式方程”。
3.所謂求方程根的公式，就是通過對方程的系數進行加減乘除平方來構造根公式。
4.壹次和二次方程的求根公式已經被發現很久了，人們致力於尋找三次和更高次方程的求根公式。
5.16世紀，意大利數學家費羅發現了形式為x 3+px+q=0的三次方程的求根公式，缺少二次項。因為當時人們普遍不接受負數，費羅實際上把缺少二次項的三次方程分為三類:x 3+px=q，x 3=px+q，x 3+q=px，p和q都是正數；他分別給出了解決方案。
6.有趣的是，當時數學家中流行壹種“決鬥”。)。所謂“決鬥”，就是要求對方解決自己的問題。所以費羅用他的三次方程求根公式作為決鬥的秘密武器，沒有發表。也因為這個公式，費羅在決鬥中多次獲勝，壹舉成名。
7.費羅死前，將自己的秘密武器傳授給了學生費奧和女婿兼繼承人納夫。
8.費奧也是壹個好勝的人。他挑戰了當時的數學家塔爾塔利亞(這不是本名，意為口吃者，塔爾塔利亞小時候的臉被壹個法國士兵用馬刀劃破，變成了口吃)。塔爾塔利亞不知道沒有二次項的三次方程的求根公式，但在挑戰的壓力下，她成功地推導出了求根的壹般公式！所以塔爾塔利亞在與菲奧爾的決鬥中大獲全勝，因為後者不會解x 3+rx 2+px+q=0這樣的壹般三次方程。塔爾塔利亞出名了。
9.在了解到這壹點後，卡爾達諾再三懇求塔爾塔利亞告訴他根的公式。作為回報，卡爾達諾承諾向塔爾塔利亞提供經濟援助。塔爾塔利亞終於抵擋不住卡爾達諾的軟硬泡沫和利益誘惑，以隱晦的句子詩的形式告訴了卡爾達諾尋根公式，並要求卡爾達諾發誓保密。
10.後來卡爾達諾從納韋那裏了解到了費羅的求根公式，認為塔爾塔利亞的求根公式和費羅的求根公式本質上是壹樣的(其實普通的三次方程可以通過壹個變量代換轉化為沒有二次項的三次方程，後面會講到)。
11，於是卡爾達諾不顧誓言，教了法拉利這個學生，法拉利在此基礎上居然發現了求四次方程根的公式！
12，卡爾達諾在《Ars magna》壹書中發表了學生法拉利的三次方程的根公式和四次方程的根公式。卡爾達諾評論道:“費羅在30年前就發現了這個規律，並把它傳給了費奧。是費奧挑戰了塔爾塔利亞，給了塔爾塔利亞壹個重新發現這壹規律的機會。塔爾塔利亞在我的懇求下告訴了我這個規則，但塔爾塔利亞保留了證據，我在這個幫助下找到了它的證據。
13，隨後塔爾塔利亞嚴厲指責卡爾達諾，譴責卡爾達諾的背信棄義。憤怒的塔爾塔利亞向卡爾達諾挑戰，法拉利代替他的老師接受了挑戰。因為法拉利發現了求四次方程根的公式，塔爾塔利亞被打敗了。塔爾塔利亞名譽掃地，晚年生活在爭吵和貧困中。
14，三次方程求根的公式很枯燥，但是公式背後的歷史很有趣；我無意評論卡爾達諾和塔爾塔利亞，每個讀者都有自己的看法。
不可約的五次和三次方程；
1，壹般的三次方程是aX 3+bX2+cX+d=0。通過代入變量X=x-[b/(3a)](前面提到過)，壹般的三次方程可以轉化為不含二次項的三次方程x 3+px+q=0，解這個方程就夠了。
2，x ^ 3+px+q = 0:
這裏筆者就不給出求根公式的推導過程了。
3.請註意，⊿需要平方，但⊿不能保證大於0。也就是說，卡爾達諾或塔爾塔利亞在用加減乘除和平方根運算構造的根公式中，可能面臨負平方根的困境。
4、為了讓讀者更清楚地理解這個矛盾，作者舉了壹個例子:
三次方程x 3+px+q = 0，p=-10，q=6。
函數y = x ^ 3-10x+6的圖像大致為
函數曲線與x軸相交的點的x值就是三次方程x ^ 3-10x+6 = 0的根。
通過圖像，我們可以清楚地看到，這個三次方程有三個實根。
但是，⊿=(1/4)Q2+(1/27)P3 =-28.037
5.也就是說，實系數的三次方程是給⊿的
6.借助負平方根得到實根的過程實在不盡如人意，於是卡爾達諾試圖“修改”求根的公式來避免這種情況。然而，所有的嘗試都失敗了。卡爾達諾不情願地把這種情況稱為“不可約三次方程”。
7.為了處理這種情況，卡爾達諾引入了虛數單位I，定義了I ^ 2 =-1，使求根公式可以正常工作。
8.這樣的“修正”存在嗎？直到19世紀，天才數學家伽羅瓦用他開創性的工具群論給出了答案:不存在！也就是說“借助負平方根得到實根的過程”是必然的！
9.這裏必須強調，二次方程的解並沒有因為判別式⊿而導致虛數I的引入
六、總結與反思:
1，數學好像跟大家開了個玩笑:當妳以為有理數域是完備的時候，妳發現妳發現了壹大類怪胎，有了自己的勾股定理，於是妳不得不把平方根運算納入系統；當妳認為求根公式可以求解所有三次方程時，妳發現三個明顯的實根都要用負數來平方，於是妳要定義“I ^ 2 =-1”；至於“i 2=-1”定義後給代數和分析帶來的諸多便利，那就是後話了。
2.這再次驗證了作者的話:“沒有壹個數學家能從壹開始就預見到他定義的東西能創造出多少方便和快捷”，或者說存在多少缺陷；數學家摸著石頭過河，壹路上修修補補。教科書中的細致描述，未能展現出數學家在建立客觀結構之前，在創造過程中的掙紮與挫折，以及所經歷的艱辛而漫長的道路。
3.“I ^ 2 =-1”的故事遠不是壹個簡單的定義。
討論3:
復數最本質的特征是什麽？為什麽在物理上有必要並且能夠如此頻繁地使用復數？
樓上的回答都沒有提到這壹點。復數最重要的性質是旋轉。也就是說，兩個復數乘積的弧度等於它們各自弧度之和。如果沒有這個特性，復數在數學和物理中就不會像現在這樣重要。
先說原問題。從根本上說，為什麽我是-1的平方根。
如上圖，復數形成壹個平面，實軸和虛軸是正交的。
-1位於實軸的負半軸上，輻射角為π(180度)。平方根，根據前面提到的徑向角的性質，就是徑向角減半，變成π/2，也就是I在虛軸的正半軸上的位置。另壹種方案是輻射角為3π/2的-i，因為-1的輻射角也可以是3π。
或者反過來說，壹個復數乘以I相當於逆時針旋轉π/2。那麽I 2 = 1ii，也就是1旋轉π/2兩次，正好落在-1上。
以此類推，妳明白怎麽從復數旋轉的角度解釋為什麽負數是正數了嗎？
考慮到這壹點，就很容易理解為什麽復數作為壹個非自然的、人為發明的數，可以如此好地應用於物理學。
例如，極其重要的簡諧振動，可以看作是作勻速圓周運動的點在復平面單位圓上的實軸上的投影。既然是旋轉，就可以用時間的指數函數來表示，推導起來非常方便。
討論4:
首先-1能是什麽？讓我們用壹個最簡單的例子，
cos(\pi )=-1
根據I的定義，I是-1的平方根，或i\cdot i=-1，所以我們有:
cos(\pi)=i\cdot i
那就來吧:
cos(\ pi)= cos(\ pi/2+\ pi/2)= I \ cdot I
如果妳對代數感覺良好，妳會立刻覺得上面的公式有些“代數味”。是的，壹個角度為\pi的旋轉可以看作是兩個角度為\pi/2的旋轉之和。I和I的乘法也有類似交換群的感覺。
簡單來說，讓我們填寫公式:
cos(\ pi)= cos(\ pi/2+\ pi/2)=-1
sin(\pi)=sin(\pi/2+\pi/2)=0
記住三角恒等式:
cos(a+b)= cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a+b)= sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
對於任意角度，取cos部分為實部，sin部分為虛部，可以用三角不等式構造復數的乘法，這就是復數乘法的意義。重寫如下:
cos(a+b)+isin(a+b)=[cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)]+I[sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)]
也就是課本上看到的形式:
z _ { 1 } \ cdot z _ { 2 } =(x _ { 1 }+iy _ { 1 })\ cdot(x _ { 2 }+iy _ { 2 })=[(x _ { 1 } x _ { 2 })-(y _ { 1 } y _ { 2 })]+I[(x _ { 1 } y _ { 2 })-(x _ { 2
有興趣的話，請玩歐拉公式，了解壹下這個乘法計算中各種有趣的地方。
至於我麽，它實際上是復平面上的自然基礎。我的“全名”是:
我=[0，1]^{T} =[cos(\pi/2)，sin(\pi/2)]^{T}
總結壹下:在玩實數(比如代數多項式的根)的時候，我們經常會發現數字不夠用，於是我們把實數展開到復平面上。復數(場)的運算限制在實軸(場)上為真。因此I的平方是-1，所以可以理解為平方是同壹個變換的兩次合成的結果。將實數乘法單元1變換為-1(加法群的逆)需要表示為復數域中壹個角度為\pi的旋轉變換，或者表示為兩個角度為\pi/2的旋轉變換的合成。所以，I只是壹個\pi/2旋轉變換的結果。
剛才我們都在談論代數。我們註意分析:
cos(x)^{'} = -sin(x)
sin(x)^{'} = cos(x)
各種導數無非是相位上的變換；歐拉公式還表明，乘除和對數也是同相變換的；這就不難理解為什麽這麽多物理現象需要用復數來描述了。
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