〔關鍵詞〕 阿基裏斯，形式邏輯，不連續性
壹、邏輯應用的困境
“阿基裏斯追不上烏龜”①是古希臘壹個哲學故事。阿基裏斯是當時壹個善於長跑的人，他當然能夠追上烏龜，用方程方法可以解決。假設阿基裏斯的速度為a，烏龜的速度為b，阿基裏斯開始追趕烏龜的時候，烏龜在阿基裏斯的前面，假設這段距離為c，請問需要多少時間阿基裏斯可以追上烏龜?設所需要的時間為x，那麽ax=bx+c，x=c/(a-b)。由於abc都是常數，x當然可以求得壹個解。當然如果ab的差如果很小，那麽解可以趨於無窮大。但是這個哲學故事是講，不論阿基裏斯比烏龜跑得有多快，他都追不上烏龜。
可見用思維的方法，我們也能夠解決問題，而不僅是用實踐或實驗的方法。但是當我們引入無限分割的問題時，事情就出現了變化。如果我們這樣思考：阿基裏斯在追趕烏龜的過程中，或者追上烏龜之前，必須先走完烏龜當前已經超過他的距離。這不是假設，而是確實應該的事情。但是這種思維方式卻是假定的，妳可以用這樣的思維方式，也可以不用。壹旦用了這樣的思維方式，就會使思維過程沒有完結，從而使得阿基裏斯追不上烏龜。按照這種思維方式，當阿基裏斯走完烏龜超過他的距離後，烏龜在這段時間裏也前進了壹段距離，雖然愈來愈小。這樣的思維可以無限重復。每次這樣的思維，結果都是壹樣的，在這個過程中，邏輯並沒有犯錯。我們可以把這樣的思考無限循環下去，而且烏龜繼續前進的距離永遠不會是零，雖然趨向無窮小。於是，可以用形式邏輯的方法，推出阿基裏斯永遠追不上烏龜這樣的結論。
這個故事中所講的問題，是古希臘哲學家芝諾的發現。他認為，阿基裏斯回不了家。假設我們用無限分割的思想，可以這樣思考：在阿基裏斯回家的過程中，必須先走完部分距離，接下來他要走完剩余距離，也必須先走完其中的若幹部分，這樣也可以無限地思考下去，也就是說這種思維可以無限重復下去，那麽阿基裏斯在人的思考中永遠回不了家。這兩種思維的實質都是無限分割。可以確定，第壹次分割的結果不會為零，第二次分割的結果也不會為零，後面都是同樣的分割。我們如果以邏輯為根據，就沒有理由認為最終的分割會為零。
這些哲學謎題在中國古代也有，例如“壹尺之棰，日取其半，萬世不竭”，是講壹根棍棒，每天用掉壹半，那麽永遠也用不完。但是我們要註意物質和空間是不同的，空間的無限分割更復雜。根據當代物理學原理，物質的無限分割有兩方面，壹方面是宏觀物質不能無限分割，分割到分子或者原子的時候，物質就不能保持自身了。但是從物質起源看，到目前仍然不了解物質無限分割的界限，這是物理學上有關物質結構的問題。
在外國哲學中類似的問題也很多。如：“最後壹根稻草”的故事，是講壹頭驢子可以承受若幹重量的稻草，請問怎樣才能讓他承受無限多的稻草，或者如何確定哪壹根稻草是壓垮驢子的最後壹根稻草?可以用這樣壹個方法，給這頭驢子的背上壹根壹根的往上加稻草。設定壹個“公理”，如果驢子承受了壹根稻草，給它再加壹根，被加上的這根稻草不會壓垮驢子，那麽後面連續加上的也不會壓垮驢子。現實中許多人有這種思維，以為永遠不會有壓垮驢子的最後壹根稻草，於是為所欲為。
在西方還有壹個關於“禿子”的哲學故事，是講壹個正常人的頭發增加壹根頭發或減少壹根頭發，不是禿子與否的區別。如果這個說法能夠成為“公理”，那麽每次拔掉壹個頭發正常的人壹根頭發，並且問“他變禿了嗎?”當然不能找到依據來確定某壹根頭發就是禿與不禿的界限，從而不能回答他是否成為禿子。那麽把這種思維和作法延續下去，直到最後把他的頭發全拔光了，他也不會是禿子。即使想給禿子下定義，確定禿子的數量規定，也是很難的，主要是難以找到這種定義的物理或哲學的依據。即使用集體協商的辦法，也很難給禿子下定義。當然，現在可以用生物學或基因學的知識來給禿子下定義，或許在基因上禿子和正常人有質的區別。
在現實生活中這種事例較多，人們稱之為“切香腸”，第壹次切去壹薄片，請問它還是壹根香腸嗎?當然是;那麽再切壹片，請問它還是壹根香腸嗎?仍然是。這樣無限切下去，並且隨之問下去，但是直到切完它，前壹次和下壹次並沒有本質的區別，但整體卻變了。那麽請問，是哪壹次使香腸由“壹根”變得不是“壹根”了呢?好像沒有界限。
以上問題的特點是整體上容易解決，但對事物作無限分割，前次分割與後次分割沒有本質的區別，於是找不到“事物由存在到不存在”過渡的連接點。也就是在以上的現象中找不到量變與質變的界限。
二、對形式邏輯的反思
以上的問題怎麽解決呢?或許可以用微積分的方法。在阿基裏斯追不上烏龜的故事中，涉及到“對有限空間在有限時間內以無限速度作無限分割”的問題。這個分割實際就是無窮小，我們完全可以規定這個無窮小等於零，因此只要出現無窮小的現象或情況，我們就可以認為零要出現，事物的變化就有確定性。
我們和古人的區別在於，我們認為無窮小是零，而古人認為無窮小永遠不能等於零。實際上無窮小是壹個完整的概念，壹旦把它有限化，那麽它就不是零了。要找到零與非零之間的界限，實際上還是用有限的方式，去思維某個無限的對象，或者把有限的事物予以無限化。
這裏或許可以用哲學來概括，邏輯是不連續的，既然無窮小在整體上和它的具體表現是不連續的，前者是零，而後者不是零，也即零與非零是不連續的。古人的問題就在於他要把無限分割和無窮小用連續的方法予以處理，而我們現在則用不連續的方法予以處理。
用哲學來總結，或許還可以得出這樣壹個觀點：在形式邏輯的運用中，即使起點是正確的，再加上正確的過程，即三段論的大前提和小前提都是正確的，那麽得出的結論也不壹定正確，因此不能迷信三段論，不能迷信形式邏輯。在前面的哲學故事和對這些故事的分析運用了形式邏輯和三段論。在阿基裏斯的故事裏，大前提是分割可以窮盡或者分割後空間可以為零，小前提是不能窮盡又不能為零，結論是阿基裏斯不能追上烏龜，也不能回家。
可見，對壹個復雜問題，不能從壹個正確的結論試圖推導出正確的結論，而且推導的步驟越多，那麽邏輯的失真程度可能越大，甚至可以得出很荒唐的結論。也就是說，如果想保證正確的前提不走向錯誤的推論，那麽用形式邏輯的步驟不能太多，只能用有限次數的步驟，而且用的步驟越少，失真的危險越少。因此，對形式邏輯的運用要限制。在形式邏輯的思維中，我們永遠也找不到正確和錯誤的界限。
邏輯的功能只是幫助人們提出假設，然後在假設的基礎上，引導人們去從事實證和實踐檢驗。邏輯永遠不應該承擔檢驗知識的功能。愛因斯坦說：想像力比知識更重要。②在認識過程中，想像力的作用是關鍵的，同樣檢驗的作用也很重要。而想像力是什麽呢?想像力當然有非邏輯的想像，但是更多的是運用邏輯進行想像。用邏輯可以有力地推進人的認識活動，但是必須給適當的定位。也就是說，邏輯永遠是假設，用愛因斯坦的概念來說，邏輯永遠只能停留在想像的階段。任何好的邏輯推理都是假設而已，所包含的道理永遠不能等同於真理和實際。
因此，在認識過程中，要運用多種思維方式，認識事物要從多種視角看，既要從整體看，又要從局部看;既要從總體看，又要從個別看。多種方法都是需要的，但是沒有絕對正確的。對簡單的問題人類當然能夠解決，對復雜的問題要註意多種方法之間的轉換。思維方式的多樣化給人類進步提供了契機，特別是理性的和非理性的，邏輯的和知覺的思維模式之間沒有必要追求單壹。
對形式邏輯的警惕在古代並沒有引起充分的註意。古代歐氏幾何是形式邏輯的積極範本，但是在歐洲思想史的現代時期，以唯理論為代表卻把形式邏輯推向了極端。唯理論所推崇的理性，實質就是用歐氏幾何為典範的形式邏輯完整演繹世界的圖景。“訴諸理性，實質即訴諸邏輯。”③這壹文化在當代被概括為現代主義。當代對理性和形式邏輯的反思日益深入。福柯說：“沒有比理性更沒用的了。”夏威夷大學的華裔美國學者鄭學禮說：邏輯其實是最不符合事實的。這種批評不見得處處正確，但是確有必要深入反思理性的定位。陳新夏教授認為：“在現代認識和實踐中，必須超越傳統理性主義。”要超越傳統理性主義，必須對形式邏輯在理性中的能力作出新的反思。
三、對邏輯形式的反思
邏輯的本質是語言，對它的反思還應該深入語言。形式邏輯實際上就是利用語言來思維。邏輯中的規律就是人類利用語言思維的時候所具有的規律，以及所具有的局限性。何謂形式邏輯，所謂邏輯的形式是什麽呢?就是語言。在古代有這樣壹個笑話，說猿猴和人類很像，狗熊又和猿猴很像，狗又和狗熊很像，那麽是否可以說狗和人很像?顯然不是。可見，語言有放大和縮小的功能，它可以作為認識的前導，但是不能作為認識的全部。過去人們把邏輯叫做思維的規律。這種定義把邏輯等同於思維，這是不正確的。邏輯是思維和語言***同作用時的現象，要用思維和語言***同來定義邏輯。
因此，邏輯的不連續性，實際上就是語言的不連續性。而語言和客觀實際的符合程度值得人類反思，我們不應該以單純的人類語言為中心，而應該以客觀實際為中心。人類應該用語言和意識直接反映客觀世界，而不應該脫離客觀世界，醉心於純概念的推演。不能用語言和思維獨立地推導客觀世界的圖景，然後不註意客觀世界，而停留在語言和邏輯的範圍內，苦思冥想地檢查思維的正確與否，並且壹旦認為自己的思維達到自圓其說，就樂觀地以為這種思維已經萬無壹失，於是以這種思維作為客觀世界本身的規律和本質，以為思維和世界已經達到了完全的同壹。在這樣的思維下，必然追求對他人的思想強迫和文化灌輸，並且會導致他人的思想僵化。
這也要求對“自圓其說”作壹個合理的定義。“自圓其說”是文法概念，不是認識論概念。在文法上應該做到自圓其說，當然在文法上也沒有絕對的自圓其說，要做到自圓其說是沒有止境的。在邏輯性和客觀性上，則應該了解任何自圓其說的東西，都是相對的，它相當於經濟活動中的產品，在功能設計上永遠沒有止境。在邏輯上自圓其說的理論和觀念，在邏輯性和客觀性方面，是沒有止境的。也就是說，理論在邏輯性和客觀性以及在文法等方面都是永遠做不到絕對的自圓其說。
愛因斯坦說，世界是那麽簡單，以致沒有人能夠理解它。世界本來是簡單的，不需要過度的邏輯演繹，只需要簡單的直觀的描述，當然是直觀的而非神秘的直覺。如果用邏輯來演繹世界，就把它復雜化了，還可能歪曲世界。當然，邏輯並不是沒有價值，只是對它的定位必須適當，它是認識過程中的壹個環節，可以幫助人們提出靈活多樣的假設，為最終的認識提供盡可能多的選項，使認識在試錯和摸索中前進。只有這樣，才能提高主體的創造性和思維的靈活性，也可以幫助可憐的阿基裏斯追上那只並不神秘的烏龜。