f(x)= f(x .)+f '(x .)(x-x .)+f ' '(x .)/2！(x-x.)^2,+f'''(x.)/3！(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n！(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)！(x-X.) (n+1)，其中ξ在X和X之間，這個余數叫做拉格朗日余數。
(註意:f(n) (x .)是F (x .)的n階導數，不是f(n)和x的乘積。)
證明:我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α(由拉格朗日中值定理導出的有限增量定理為lim δ x→ 0f (x.+δ x)-f (x.) = f' (x.) δ x)，其中誤差為。因此，我們需要壹個足夠精確的多項式來估計誤差:
p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n
來近似表示函數f(x)並寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設函數P(x)滿足p (x.) = f (x .)，p' (x.) = f' (x .)，p'' (x.) = f ' '。P'(x.)=A1，a 1 = f '(x .)；P''(x.)=2！A2，A2=f''(x.)/2！……P(n)(x.)=n！An，An=f(n)(x.)/n！到目前為止，已經找到了很多項的系數，它是:p(x)= f(x .)+f '(x .)(x-x .)+f ' '(x .)/2！(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n！(x-x.)^n.
接下來，需要錯誤的具體表達式。設Rn(x)=f(x)-P(x)，所以有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以我們可以得到rn (X.) = rn' (X.) =...= rn (n) (X.) = 0。根據柯西中值定理，我們可以得到rn(。-0 = rn '(ξ1)/(n+1)(ξ1-x .)n(註:(x.-x.) (n+1) = 0)。繼續使用柯西中值定理，Rn '(ξ1)-Rn '(x .)/(n+1)(ξ1-x .)n-0 = Rn ' '(9582)/n(n+)Rn(x)/(x-x .)(n+1)= Rn(n+1)(ξ)/(n+1)連續使用n+65438，其中ξ在x之間.但是rn(n+1)(x)= f(n+1)(x)-P(n+1)(x)，因為P(n)(x)=n！安，n！An是常數，所以P(n+1)(x)=0，那麽Rn(n+1)(x)= f(n+1)(x)。綜上，余項Rn (x) = f (n+1)。(x-X.) (n+1)。壹般來說，在展開壹個函數時，是為了計算的需要，所以X往往取壹個固定值，這時Rn(x)也可以寫成Rn。