需要註意的是，難點不壹定是重點，重點也不壹定是難點，但有些內容既難又重要。難度要根據學生的實際水平來定。同樣的問題在這個班很難，在另壹個班就不壹定了。
二，教學困難的出現
現代認知發展理論認為，學生認知結構的發展是學生在理解新知識的過程中，不斷地用同化和適應來重構原有認知結構的過程。
從認知發展理論的角度來看，在教學中，如果學習的內容能夠通過學生的思維納入到已有的認知結構中，從而豐富和強化已有的思維傾向和行為方式，這樣的學習內容是學生容易理解的。如果所學內容與學生已有的認知結構和新的信息發生沖突，導致原有認知結構的調整，就需要建立新的認知結構。這種通過適應建立新的認知結構的知識更難。因為認知結構本身就有壹個公式，這個公式的負面作用會阻礙認知的飛躍，從而造成新知識的學習困難，形成教學困難。因此，教學的難度在壹定程度上取決於作為認知對象的教材內容，但也取決於作為認知主體的學生和在教學中起主導作用的教師，即取決於教師和學生的素質和能力。
當然，在學習同壹內容的過程中，同化和適應往往是同時進行的，很難完全分開。由於學生個體數學認知結構的差異，教學難點的形成必然不同。在實際操作中，要根據學生的實際水平靈活確定教學難點。
三，教學難點的突破
1?啟發和解釋的方法。老師有必要對學生不易理解的知識進行有意義的“講”。需要註意的是，這裏的“講”不是“灌輸”，而是“啟發和講解”，讓學生在較短的時間內理解知識。這是我們經常使用的方法。
比如蘇教版課改四年級實驗教材第壹冊，學生很難理解種樹數與間隔的關系。為此，我采用啟發講解的方法進行教學，效果較好。
老師:(多媒體展示了例子中兔子和蘑菇的圖片)我們壹起來看這張圖片。圖中的兔子和蘑菇是怎麽排列的？
生:按照壹只兔子後面跟著壹只蘑菇的規律來安排。
老師:妳講得很好！這是壹個區間安排的問題，首先是兔子，最後才是兔子。像這樣，兔子在開始，也在最後。我們把兔子看作“兩端的物體”，把蘑菇看作“中間的物體”。
老師:誰能告訴我有多少只兔子？有多少蘑菇？
生:兔子8只，蘑菇7只。
老師:(出示柵欄圖)我們再來看看這裏的柵欄圖。仔細看。這張地圖兩端的物體是什麽？中間的物體是什麽？
生:兩端的物體是木樁，中間的物體是柵欄。
老師:數數木樁和柵欄。
生:木樁13，圍欄12。
老師:(展示手帕圖片)讓我們看看這幅圖片中兩端的物體和中間的物體。
生:兩端的物體是夾子，中間的物體是手帕。
老師:有多少夾子和手帕？
生:有10夾子，9塊手帕。
老師:請在下表中填寫妳剛剛觀察到的三幅圖片兩端的物體和中間的物體的數量。
老師出示下面的表格，表格裏的數字是讓學生填寫的。)
老師:請仔細觀察桌子。能從中找到什麽規律嗎？
生:我發現兩端比中間多了1個對象。
老師:另壹方面，我還能說什麽呢？
生:中間的物體比兩端的少1。
在老師的啟發引導下，學生找到了規律，教學難點也有了突破。
2?演示實驗方法。即利用演示實驗突破教學難點。演示實驗可以讓學生從動態的操作過程中進行觀察和思考，從而達到理解知識的目的。
比如“在壹個底半徑為30 cm的圓柱形水桶中，壹段半徑為10 cm的圓柱形鋼完全浸沒在水中。當鋼從水中取出時，桶中的水位下降5厘米。這塊鋼有多長？”這個問題的教學難點是讓學生明白鋼的體積其實就是水下落的體積。如何建立“鋼的體積”與“水下落的體積”之間的關系，是學生面臨的壹道難題。為此，我在教學中指導學生觀察實驗:將壹段圓柱形的鋼放入盛有水的圓柱形燒杯中，使圓柱形鋼完全浸入水中，讓學生觀察演示過程。教師將鋼從燒杯中取出，讓學生觀察水面的變化過程，思考以下問題:鋼不取出時，水面在哪裏？鋼取出後水面發生了什麽變化？為什麽會有這樣的變化？鋼的體積和水下落的體積有什麽關系？
通過觀察和思考，學生們發現，鋼取出後，燒杯中的水下部分是壹個小圓柱體，這個小圓柱體的體積等於圓柱形鋼的體積。學生就這樣成功地解決了圓柱形鋼的體積問題，然後很快算出了鋼的長度:3？Ω 14×302×5÷(3?14×102)，問題解決了。
3?用比喻。雖然學生能記住壹些基礎知識，也能運用所學知識解決壹些簡單的問題，但讓他們說實話，有時並不清楚，說明學生還沒有真正理解。為此，我在教學中經常使用隱喻來幫助學生理解知識。
比如學生對“方程的解”和“方程的解”這兩個概念的理解有些困難，有時會混淆。為了讓學生理解這兩個概念，我先讓學生在x+20=100，23x=69，x-13=50中找出X的值，將得到的值代入原方程進行檢驗，引導學生觀察每個方程的左右兩邊是否相等，抽象出“方程的解”的概念。同時，解釋就像剛才壹樣。最後，啟發學生說出完整的概念。然後舉壹反三。將壹顆卵石(重10g)放在天平的壹邊。如果妳想知道它的重量，妳需要打開重量箱，找壹個與卵石相等的重量放在天平的另壹邊，這樣就可以左右平衡了。那麽，10克的重量就是“方程的解”，開箱求重量的過程就是“方程的解”。
4?轉換敘事法。即采用改變敘事形式的方法來降低難度，突破難度。我們常說“思維模式”。的確，學生有時思維固定，壹些“標準形式”的問題也能順利解決，但稍有變化的材料就有困難。遇到這樣的情況時，如果教師能及時改變敘事形式，讓學生在比較中感受，就會從中得到啟發，解決問題。
例如，“壹個項目，由A團隊構建，需要20天完成，由B團隊構建，需要30天完成。兩個團隊壹起幹了幾天，剩下的A隊用了5天完成了整個項目。兩隊壹起修了多少天了？”學生很難理解題中的表述，幹擾了解題思路。為了突破難點，這個問題的敘述形式可以改為:“壹個工程，由壹個施工隊承建，需要20天完成，由壹個施工隊承建，需要30天完成。現在是A工程隊修5天，剩下的是A隊和B隊修。A隊和B隊壹起修了多少天了？”
顯然，這兩個問題雖然表述不同，但本質是壹樣的。因此，問題很快就解決了:
設置數量計算方法。即利用設數為例的方法，通過計算解決問題。有些問題似乎缺乏條件，難以解決。這時候如果用定數的方法，就能很快找到解決問題的方法。
比如“A比B多25%，B比A少百分之幾？”如果B的個數是100，那麽A的個數就是100×(1+25%)= 125，這樣就可以很快求出B小於A的百分數:(125-100) ÷。2=20%.
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比如“壹次數學考試，壹個班級平均分78，男生女生平均分75？5分和81分。這個班男女生人數的比例是多少？”
我們可以假設男生是X，女生是Y，那麽75？X+81y = 78 (x+y)簡化為3y=2？5x，即x∶y=6∶5，即該班男女生比例為6∶5。
6?繪圖觀察法。通過畫線段讓學生突破難點，是壹種解題策略。
比如“甲、乙雙方各自以壹定的速度從AB同時走過，在距離甲方起點at 500處第壹次相遇..見面後，大家都會繼續前行，到達對方的起點再回頭。第二次見面將在b起點300米處，兩地相距多少米？”
畫下面的線段圖，很快就能找到解決問題的方法。從圖中可以看出，甲乙雙方走了全程，甲方走了500米。整個過程中，甲乙雙方走了三個全程，即甲方走了(500×3)米，多走了300米，所以兩地距離為500×3-300=1200米。
7?比較分析法。“比較是壹切理解和思考的基礎。正是通過比較，我們理解了世界上的壹切。”小學數學(烏申斯基)有很多聯系和區別。在教學中充分運用比較法，有助於突破教學難點，防止知識混淆，提高辨別能力。
比如求下圖(圖1)的周長(單位:cm)。
很多同學覺得這個問題缺乏條件，壹時解決不了。這時可以呈現壹個長方形(圖2)，讓學生對比兩個圖形進行觀察和思考:對比這兩個圖形，妳認為原圖形的周長是多少？然後做壹個動態演示，向上移動兩條水平線段與最上面的水平線段連接，再向右移動兩條垂直線段與最右邊的垂直線段連接。至此，同學們恍然大悟:這個圖形的周長可以這樣計算:(10+5)×2。
8?巧用變換法。所謂轉化，就是把原來的問題盡可能地轉化為可以解決或者容易解決的問題。其特點是化難為易，化壹般為特殊，化特殊為壹般，化復合為單壹，化隱性為顯性。因此，適時恰當地運用化歸方法，不僅可以突破難點，還可以幫助學生形成正確靈活的思路，提高分析問題和解決問題的能力。
比如有壹個古老的經典標題:“傳說阿拉伯有壹個富商，臨死時留下遺囑:我死後，把17匹馬送給三個兒子。長子得到總馬數，次子得到總馬數，三子得到總馬數，但不允許殺馬或賣馬。富商死後，三個兒子和親戚不能分享馬匹。現在請幫我分這些馬。
要解決這個問題，如果沒有想到“借馬拿分”的想法，拿分的結果就不是整數的結果。為此，我做了以下提示:問題中的三個分數能否轉換成與比值有關的形式？然後組織學生合作探究。在大家的努力下，想到如果借壹匹馬，可以把這個問題中的三個點換算成比值，即三個兒子分享的馬數的比值為::= 9: 6: 2，然後用比例分配的思想來解決問題:大兒子得到17×=9(馬)，二兒子得到17×=6。
在數學教學中，突破難點的方法有很多。只要善於根據學生的認知特點進行思考和教學，就會突破教學中的難點。
作者單位
江蘇省蘇州工業園區新城花園小學
責任編輯:曹汶
註:“請閱讀本文涉及的PDF格式的圖表、公式和註釋。”
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