方法壹:(教科書法)從加速度的定義推導(也叫矢量合成法)；
如上圖所示，讓球在短時間t內從A移動到B，速度在時間t內變為△v，
因為△OAB∽△BDC(妳可以自己證明)，有△ V/V = AB/R
當t→0時，AB=弧AB。
所以:v=弧AB/t，A = △ V/T。
所以a=v？/R
補充:矢量合成法中應用三角函數求導；
如上圖所示，物體從半徑為R的圓運動到B的時間為△ T，若物體在A點和B點的速度為va=vb=v，其速度的增量為△v=vb-va=vb+(-va)，其矢量圖用平行四邊形法則畫出，如圖1。可以從余弦定理得到:(由於公式難以表達，用圖片代替)
可以看出，當θ→0時，α= 90°，即△v的方向垂直於vb。因為vb與圓周相切，所以△v的方向指向圓心。因為△v的方向就是加速度的方向，所以可以看出勻速圓周運動的加速度方向指向圓心。
方法二:利用運動的合成與分解(簡稱運動合成法)。
由於慣性，球有沿切線遠離圓心的趨勢，而細線的張力將球拉向圓心。這樣，球的運動可以分解為沿切線方向的勻速直線運動和沿半徑方向的初速度為零的勻加速直線運動。
在極短的時間t內，球沿圓周從a運動到b，可分為沿切線AC方向的勻速直線運動和初速度為零的沿AD方向的勻加速直線運動。如圖1所示:
方法三:利用開普勒第三定律、萬有引力定律、牛頓第二定律推導向心加速度。
假設壹顆質量為m的人造地球衛星在半徑為r的近圓形軌道上以速度v繞地球運行，運行周期為t，地球質量為m .
根據開普勒第三定律:t？/r？=k(k是常數)
根據萬有引力定律:F=GMm/r？
對於做圓周運動的物體，有:t = 2π r/v。
根據牛頓第二定律:a=F/m
以上公式綜合起來:a=(GMk/4π？)×(v？/r)
所以:a∝v？/r
——自己總結以上三種方法。
方法四:曲率圓法
-來自百度貼吧
方法五:類比法:
有壹個繞點O旋轉的位置向量R，其向量端從A到B的位移為△s(如圖)。如果經過的時間為△t，則這段時間的平均速度為v=△s/△t，很明顯的描述了位置向量的向量端的移動速度。當△t趨近於零時，平均速度代表某壹時刻位置矢量的矢量端的瞬時速度。如果旋轉角度壹致，
(1)其中t是旋轉周期。如圖5，物體在從A到b的過程中，每轉1/8圓周，速度就發生變化，現在將其速度轉化為圖6。很容易看出，圖6與圖5相似，只是圖5顯示的是位置矢量的旋轉，而圖6顯示的是速度矢量的旋轉。顯然，加速度是速度的變化率，也就是說，
a=△v/△t？(2)
從圖6可以看出，這個速度變化率實際上是速度向量的向量端的旋轉率，它的旋轉半徑就是速度v的大小，所以我們可以聯立(1)(2)得出結論:a=v？/r
方向的判斷:對比圖5和圖6可以看出，當△t→o時△v的方向垂直於△s的方向，所以加速度的方向垂直於速度的方向。