那麽，兩條直線的位置關系是怎樣的呢？很明顯，壹個是相交，壹個是平行，但是有壹種特殊類型的相交，就是垂直。那麽，如何定義交集呢？相交是指兩條直線有壹個公共點。平行呢？不相交於同壹平面的兩條直線稱為平行直線。為什麽要在同壹個平面？因為如果不規定在壹個平面上，那兩條線就可能在空中，也就是不相交也不平行。
那麽，我們來探討壹下直線相交形成了哪些有趣的角度。先畫個圖，
當我們在O點穿過直線AB時，會發現∠ AOC+∠ AOC = 180。這是因為平角的定義，我們可以知道∠ COD = 180。我們稱這樣的角為鄰余角。其次，妳會發現途中形成了兩組對跖角，通過剛剛得到的相鄰余角可以證明對跖角相等。所以，每當妳遇到兩個互為對角的角，它們的度數壹定相等。
？我們還會發現，壹條直線上的兩個角之和等於180度，所以這樣的角叫做余角。如果兩個角之和等於90度，那麽這兩個角是互補的。
如果(假設)∠ 2+∠ 3 = 180，從圖中可以知道∠ 2+∠ 4 = 180，那麽如果將這兩個公式簡化，就會得到∠3 =∞。所以我們把這個結論叫做:同壹個角的余角相等。同理，我們也可以得到，同壹個角的余角相等。
那麽從垂直線我們可以得出什麽結論呢？如果妳畫壹條直線超過壹點，那麽如果妳認為這個距離是最短的，那妳壹定要畫壹條垂直線。所以我們可以得出結論，垂直段最短。
過了(豎)線，我們就該說平行線了。平行線裏有壹個很重要的圖形，就是三條線和八角形(兩條直線被第三條直線切割)。那麽，這個三線八角有什麽奧秘呢？
若∠1=∠2，則A∨b .它沒有依據，所以我們稱這種方法為“自明”。我們稱這個角為等腰角，所以它的字面語言是，等腰角相等，兩條直線平行。所以我們把這個叫做“平行線判斷定理1”。
除了等腰角，還有哪些特殊的角度？可以判斷排比嗎？有平行線判斷定理2和平行線判斷定理3嗎？
肯定是有的，還有內角和同側的內角。
先說內角，如圖，我們可以知道∠1=∠8，它們形成內角，那麽怎麽證明呢？通過使頂角相等，我們可以知道∠4=∠8，那麽∠1和∠4是同角，那麽我們就可以用平行線判定定理1得到a∨b .因此，這就是平行線判定定理2:內角相等，兩條直線平行。
接下來說同側內角
如圖，已知∠ 1+∠ 2 = 180，求a∨b。我們知道∠ 1+∠ 2 = 180，利用直角的定義可以得到∠ 2+∠ 8 = 180，所以利用同角的余角相等的原理可以得到∠ 1 =。於是我們用平行線判定定理2求a∑b .因此，這就是平行線的判定定理3:同邊內角互補，兩條直線平行。
這三條線就是平行線的判定定理。然後我們可以按照同樣的方法推導出與他互為倒數的平行線的性質定理。
還有三個:
我們壹起來證明吧！畫
先說同余角，這是平行線第壹定理。給定a∨b，那麽∠ 1 = ∠ 2。為什麽會這樣？為什麽它沒有證明過程？我們知道，平行線的判定定理1是不證自明的，平行線的性質定理1也是不證自明的。像這樣
所以現在我們知道了兩條直線的平行同余角相等(也就是平行線的性質定理1)，我們可以試著求平行線的性質定理2和平行線的性質定理3。先說平行線的性質定理2。
如圖，已知a∨b，驗證∠3=∠4。從a∨b可以得出∠4等於∠8，基於平行線的性質定理1，通過頂角相等可以得出∠3等於∠8，所以等價代換可以得到∠3=∠4。這就是平行線的性質定理2。兩條線平行，內角相等。
接下來，我們來探索同側的內角。
如圖，已知a∨b，驗證∠ 2+∠ 3 = 180。我們會發現它有兩種解法，壹種是利用平行線的性質定理，另壹種是利用平行線的性質定理。以上是方法和步驟。
那麽，用平行線還能解決什麽問題呢？比如三角形(包括四邊形和多邊形)的內角和外角之和；還有三角形的外角定理:壹個外角等於與這個角不相鄰的兩個內角的度數之和，以此類推。
未來呢？未來我們要探索什麽？將來，我們可能會探索三角形的外角和全等三角形...那麽妳對它感興趣嗎？！
這是我對平行線和交線的探索。