為什麽無理數的發現引發了第壹次數學危機？

大約在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現等腰直角三角形的右邊與它的斜邊不可公度。這個不可公度量的發現和芝諾悖論壹起引發了“第壹次數學危機”。因為這個數學發現，希帕索斯被畢達哥拉斯學派扔進了大海，受到了“溺死”的懲罰。因為他居然在宇宙中創造了這樣壹個東西來否定畢達哥拉斯信條:宇宙中的壹切現象都可以歸結為整數或者整數的比值。畢達哥拉斯學派是古希臘最古老的哲學流派之壹。據說這個學派有兩句格言最能概括他們的思想特點:“什麽最聰明？只有“什麽是最好的”這個數字？只有和諧。”畢達哥拉斯學派對數學的巨大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理，但也發現壹些直角三角形的斜邊不能表示為整數或整數之比(不可公度)，比如所有直角邊都是1的直角三角形。發現直角三角形的右邊與它的斜邊不可公度這壹簡單的數學事實困擾了畢達哥拉斯學派。不僅違背了畢達哥拉斯信條，也沖擊了當時希臘人所持有的“壹切量都可以用有理數來表示”的信念。所以人們通常把希帕索斯發現的這個矛盾稱為希帕索斯悖論。這個悖論的發現震驚了當時的西方數學界，也引起了古希臘數學觀念的更新。這個“危機”說明，直覺和經驗不壹定靠譜，推理才靠譜。從此，希臘人開始重視從計算到推理，從算術到幾何，並由此建立了幾何公理體系。其實這是數學思想的壹次偉大革命！自從發現無理數以來，埃利亞斯學派的芝諾“突出地提出了離散性和連續性的問題”。按照西方學術界的普遍看法，除了希帕索斯悖論，芝諾悖論也是導致“第壹次數學危機”的主要因素。據說，芝諾和他的老師巴門尼德壹樣，最初也是畢達哥拉斯學派的學者。芝諾提出關於運動的“四個悖論”，與其說是為了捍衛他老師的觀點，不如說是為了攻擊畢達哥拉斯的數學理論基礎。這四個悖論可以概括為:第壹個是二分法悖論；二是阿喀琉斯追不上烏龜的悖論；三是“箭不動”的悖論；四是“運動場悖論”。芝諾關於體育的“四個悖論”的結論顯然與人們的直覺相矛盾，但在當時被認為是難以反駁的。事實上，他們看似毫無關聯，但他們的總體想法極其深刻地揭示了運動的矛盾性質。在芝諾悖論面前，當時的科學理論，包括數學理論，似乎陷入了壹種無法解決的矛盾困境。當時人們對時間和空間有兩種對立的看法:壹是空間和時間是無限可分的；第二，空間和時間是由不可分割的片段組成的(就像電影壹樣)。根據第壹種觀點，運動是連續的；根據第二種觀點，運動將是壹系列的小跳躍。芝諾悖論就是針對以上兩種觀點提出的。芝諾悖論從思想史的角度提出了如何理解有限與無限、間接與連續、時間與空間、運動與靜止，但並沒有解決這些問題。當然，當芝諾否認體育是矛盾的時候，客觀上揭示了體育的矛盾性。亞裏斯多德在經驗範圍內逐壹駁斥了芝諾的四個論點，認為它們是完全錯誤的。但是，他沒有從概念上揭示運動的矛盾性。相反，芝諾通過概念論證發現了運動的矛盾性，使他的思想更加深刻。所以黑格爾稱贊他是概念辯證法的創始人。悖論的發現是否意味著數學理論的崩潰？答案是否定的，我們認為不矛盾對於壹個理論體系是非常重要的，但不矛盾並不是壹個理論體系具有真理性的充分條件。正如法國哲學家帕斯卡所說，“矛盾不是假標誌，不矛盾就不是真標誌。”需要指出的是，歷史上發現的希帕索斯悖論和芝諾悖論都是源於畢達哥拉斯學派的理論體系，它們所揭示的矛盾極其深刻。事實上，希帕索斯悖論和芝諾悖論不僅直接引發了“第壹次數學危機”，而且刺激了數學和邏輯的發展。第壹次數學危機後，出版了兩部經典著作:壹部是歐幾裏得的《幾何原本》，第壹部關於數學的經典著作；二是邏輯學的第壹部經典著作——亞裏士多德的《工具論》。這兩部經典著作標誌著公理幾何和邏輯的誕生，成為數學發展史上的重大事件。