卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯分析的算術

經過長時間的醞釀，孕育於古希臘的微積分思想和方法，終於在17世紀牛頓和萊布尼茨的倡議下，在工業革命的刺激下脫穎而出。微積分的誕生創造性地將數學推向了壹個新的高度。它宣告了古典數學的基本終結，標誌著以變量為研究對象的現代數學的開始。盡管早期微積分的概念仍然粗糙，其可靠性仍然存疑，但其在計算技術上的突出威力使之前的所有傳統數學相形見絀。通過微積分的發明，人們看到了數學的新幸福。在整個十七和十八世紀，幾乎所有的歐洲數學家都對微積分表現出極大的興趣和積極的獻身精神。對傳統的批判，對新方法的追求，對新領域的拓展，使他們譜寫了數學史上的“英雄交響曲”！正如當代分析大師R.Courant指出的那樣:“微積分……這門學科是壹場震撼人心的智力鬥爭的結晶；這場鬥爭已經經歷了2500多年，它深深植根於人類活動的許多領域。而且，只要人努力認識自己，認識自然，這種鬥爭就會繼續下去。“《分析的算術》是這場鬥爭的生動體現。波爾紮諾、柯西、威斯特拉斯等人的工作為分析提供了嚴密性。這些著作將微積分及其普及從對幾何概念、運動和直觀理解的完全依賴中解放出來。這些研究從壹開始就引起了巨大的轟動。據說柯西在巴黎科學院的壹次科學會議上提出了級數收斂的理論。會議結束後，拉普拉斯匆匆趕回家，以免漏掉人，並檢查了他在“天體力學”中使用的系列。幸運的是，書中使用的每個系列都是收斂的。分析的嚴謹性促進了這樣壹種認識，即缺乏對數字系統本身的清晰理解必須得到彌補。例如，波爾紮諾對閉區間連續函數“零點定理”的證明中的壹個關鍵錯誤是，他對實數系缺乏足夠的理解；對於極限的深入學習，我們還需要了解實數系。柯西不能證明自己的數列收斂準則的充分性，也是由於他對實數系的結構缺乏深入的了解。維爾斯特拉斯指出，為了詳細地建立連續函數的性質，需要算術連續統的理論——這是分析算術化的根本基礎。1872是現代數學史上最值得紀念的壹年。這壹年，F.Kline提出了著名的Erlanger方案，Weierstrass給出了壹個著名的處處連續但處處不可微的函數的例子。也是在這壹年，提出了實數的三大理論:Dedekind的“分割”理論；康托爾、海涅和梅雷的“基本序列”理論和維爾斯特拉斯的“有界單調序列”理論同時出現在德國。試圖建立實數的目的是給出壹個形式上的邏輯定義，它不依賴於幾何的意義，避免了用極限定義無理數的邏輯錯誤。有了這些定義作為基礎，微積分中極限基本定理的推導就不會出現理論循環。導數和積分因此可以直接建立在這些定義上，而不帶有任何與感性知識相聯系的性質。幾何的概念不能被完全理解和準確，這在微積分發展的漫長歲月中已經得到證明。因此，必要的嚴格性只能通過數的概念，在切斷數的概念和幾何量的概念之間的聯系之後才能達到。在這裏，戴德金德的工作受到高度贊揚，因為戴德金德的除法定義的實數是人類智慧完全獨立於空間和時間的直觀創造。在1858中，Dedekind在教微積分的時候表達了他想尋求使分析變得嚴格的方法的願望。他說，“……永遠不要認為這樣介紹微分學是科學的。這是公認的。至於我自己，我無法抑制這種不滿的情緒，下決心研究這個問題，直到我為無窮小分析原理建立起壹個純算術的、完全嚴格的基礎。“Dedekind不考慮如何定義無理數，以免柯西惡性循環。而是考慮在算術方法明顯失效的情況下，連續的幾何量中存在著什麽:連續性的本質是什麽？沿著這個方向思考，Dedekind明白了壹條直線的連續性是無法用模糊聚類來解釋的，只能看作是用點來劃分壹條直線的性質。他看到把壹條直線上的點分成兩類，使得壹類中的每壹點都在另壹類中的每壹點的左邊，有壹個點且只有壹個點，從而產生了這種切割。對於有序有理數系統來說，這是不成立的。這就是為什麽直線上的點形成連續統，而有理數是不可能的。正如戴德金所說，“從這樣壹個普通的觀點來看，連續性的秘密就暴露了。“實質上，實數三學派理論給出了無理數的嚴格定義，從而建立了完整的實數域。實數域的成功構造，徹底彌合了兩千多年來算術與幾何的鴻溝，無理數不再是“無理數”。古希臘人的算術連續統的思想終於在嚴格的科學意義上實現了。下壹個目標是給出有理數的定義和性質。歐姆、維爾斯特拉斯、克羅內克和阿砣在這個領域做了傑出的工作。1859左右，Weierstrass等人認識到，只要自然數被認識，就不需要進壹步的公理來建立實數。因此，建立實數理論的關鍵是有理數系統，而建立有理數系統的核心在於構造普通整數的基，建立整數的性質。在65438和0872-78之間，Dedekind給出了壹個整數理論。1889年，阿砣利用公理化方法首次引入了具有壹組公理的整數，從而建立了完整的自然數理論。阿砣創造的符號，如“∈”代表歸屬，“”代表包含，N0代表自然數類，a+代表A之後的下壹個自然數，這些符號在今天仍然有著深遠的影響。但誰能相信，正是因為他在課堂上使用了這些符號，學生們才反叛。他試圖通過所有的考試來滿足他們，但是沒有用。於是他被迫辭去了都靈大學教授的職務。克羅內克說，“上帝創造了整數，其他的都是人為的”(其余的都是人的工作)。(參考[5]，p477)但是，在算術分析的過程中，整數並沒有因為是上帝的寵兒而被豁免。求統壹是數學發展的重要動力。回顧“分析算術化”的整個過程，我們發現人們在起點不知道終點在哪裏，也不知道怎麽走。從畢達哥拉斯學派發現不可公度測度到芝諾悖論引發的對無限概念的關註，誕生了通向微積分的各種研究。當Dedekind、Cantor、Weierstrass等人在有理數的基礎上建立了無理數，最後阿砣給出了自然數的邏輯公理，有理數理論才最終完成，因此實數系的基本問題才最終宣告完成。微積分的基本概念——連續變量的極限:導數和積分，在邏輯和形式上都和歐幾裏德幾何壹樣嚴謹。中國先賢有句古話:99為壹！如果我們把這裏的“壹”理解為“1”這是第壹個自然數，那麽畢達哥拉斯關於微積分歷史發展的那句名言就貼切得驚人:萬物皆有數！(都是數字。)1900，在巴黎舉行的第二屆國際數學大會上，龐加萊自豪地稱贊說:“如果我們今天煞費苦心地嚴格分析，我們會發現，僅僅依靠歸結於純數的三段論或直覺是不可能欺騙我們的。今天，我們可以說已經達到了絕對的嚴格。"