在數學和物理數學領域，伯努利隨處可見，比如伯努利級數，伯努利-萊布尼茨佯謬，伯努利方程。
在數學史上，有壹個難題，解決了兩千多年。這個問題的形式很簡單:求自然數1，2，3的和，壹直到任意次冪(自然數冪)。寫公式就是找sk 1k+2k+3k+...+NK，其中k是自然數。
當K=1時，公元前6世紀的畢達哥拉斯學派找到了答案，即S1 = 1+2+3+...+n，然後S \-1 = 1/2 (n+65438+)後來阿基米德在公元前200多年算出S2=2/6(n+1)(2n+1)。公元1世紀，尼庫馬克解決了S3，而S4直到1000年後才被阿拉伯數學家解決。
對於任意自然數k，是17世紀的雅各布·伯努利徹底解決了這個問題。
雅各布·伯努利出生於1655，是伯努利家族的後裔。這個家庭中有將近壹半的人是有才華的，他們幾乎都是傑出的學者、教授、政治家和藝術家。這個家族在微積分理論的發展中起著突出的作用。他們為現代數學的發展做出了家族貢獻。
伯努利壹家住在荷蘭，他們信奉新教。因此，他們受到天主教會的迫害。1583年，為了逃避天主教的屠殺和殘酷迫害，伯努利壹家移居瑞士，定居在著名的城市巴塞爾。剛搬到巴塞爾，他就和當地壹位富商成了姻親。祖先尼古拉·伯努利娶了富商的女兒，後來成為統治整個巴塞爾商人的貴族集團的重要成員之壹。
雅各布·伯努利是這個家族搬到巴塞爾的第二代人。他的兩個弟弟是尼古拉斯壹世和約翰壹世。他們三人對微積分做出了非凡的貢獻，享有很高的聲譽。17年底，雅各布·伯努利發展了萊布尼茨微積分，創立了變分法，提出並解決了壹些等周和切問題。
據不完全統計，伯努利家族的12個祖孫輩中，數學家至少有10人。
雅各布·伯努利在中學數學中也提出了壹個著名的題目，如果壹個等差數列的前兩項是第壹個月。互不相同，並且這兩項與壹個等比數列的前兩項相同，那麽這個等比數列的所有後續項都小於對應的等比數列。
雅各布·伯努利也被稱為雅各第壹。他從小聰明勤奮，自學了笛卡爾的著作，後來結識了萊布尼茨、惠更斯等著名數學家。
伯努利家族的數學家從雅各布開始，大多在巴塞爾大學擔任數學教授。1686年，雅各布成為貝努裏家族的第壹位巴塞爾大學教授。他詳細而徹底地研究了懸鏈線問題。雅各布·伯努利證明，如果給定長度的繩子兩端都懸掛著，那麽懸鏈線的重心是最低的。懸索橋和高壓輸電線路目前的應用原理就來源於此。
雅各布的第壹個墓誌銘上刻著兩條對數螺線，壹反壹正，這是他晚年才發現的。無論對數螺線是放大還是縮小，只要它的位置改變，它的形狀就不會改變。所以碑文上刻著“盡管改變，我仍將實現”的字樣。
雅各布·伯努利的弟弟尼古拉斯和約翰都是數學家。尼古拉斯後來在聖彼得堡學習數學。他去世時，凱瑟琳王後為他舉行了國葬。約翰接替了他的哥哥，1705巴塞爾大學的數學教授。歐拉是在約翰的指導和教育下長大的。
約翰是壹位數學家，在微積分中占有重要地位。牛頓晚年解決的著名問題是約翰寫的。約翰、雅各布、萊布尼茨、洛比塔、牛頓等人努力求解“最速下降線”，成為早期變分科學的研究者。
伯努利家族的幾位數學家，開始研究醫學、法律、哲學，拿到了最高學位，然後轉向數學，他們的愛好在哪裏。他們家是典型的自然科學學者家庭。
約翰的兒子是丹尼爾。他出生在荷蘭的格羅寧根。
在1695中，萊布尼茨指出力應該區分“死力”和“活力”，其中“死力”是指靜態力，“活力”是指動態力。萊布尼茨的觀點影響很大，丹尼爾·伯努利在1738發表了《流體動力學》。書中將微積分的方法應用於流體動力學和氣體動力學的研究，建立了壹個理論體系，這就是伯努利方程，也稱伯努利原理。
丹尼爾是數學物理方法的開創者和奠基人。
丹尼爾的弟弟約翰的第二個和幾個堂兄弟也是數學家。
伯努利家族是瑞典乃至歐洲的名門望族。後來他們在彼得堡科學院工作，推薦了歐拉。
虛功原理是約翰在與但以理的第二次討論中提出的，並記錄在《父子書信》中。