2.在P和V的元素之間定義了壹個運算，稱為標量乘法(也叫數量乘法)，即V中的任意元素α和P中的任意元素K按照壹定的規律對應V中的唯壹元素kα，稱為K和α的乘積。
3.加法和標量乘法滿足以下條件:
1) α+β=β+α，對於任意α，β ∈ V。
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對於任何α，β，γ∈V .
3)有壹個元素0∈V，對所有α∈V都有α+0=α，元素0稱為V的零元素.
4)對任意α∈V，有壹個負元素β∈V使α+β=0，β稱為α，記為-α。
5)對於P中的單位元1，有1α=α(α∈V)。
6)對於任意k，l∈P，α ∈ v，存在(kl)α=k(lα).
7)對任意k，l∈P，α∈V，有(k+l)α=kα+lα。
8)對任意k∈P，α，β∈V，有k(α+β)=kα+kβ，
那麽v稱為域p上的線性空間或向量空間。
擴展數據:
如果V和W都是域F上的向量空間，則可以設置從V到W的線性變換或“線性映射”。這些從V到W的映射都有壹個共同點，就是保持和與標商。這個集合包含了從V到W的所有線性映射，用L(V，W)描述，也是域f上的向量空間，當V和W確定後，線性映射可以用矩陣表示。
同構是壹對壹的線性映射。如果v和w同構，我們稱這兩個空間同構；域f上的每個n維向量空間都同構於向量空間f。
學習向量空間自然會涉及到壹些額外的結構。附加結構如下:
1，實或復向量空間加上長度的概念。範數稱為賦範向量空間。
2.實數或復數向量空間加上長度和角度的概念稱為內積空間。
3.壹個向量空間加拓撲重合運算(加法和標量乘法是連續映射)稱為拓撲向量空間。
4.向量空間加雙線性算子(定義為向量乘法)是壹個域代數。
參考資料:
百度百科-向量空間