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對稱情況

守恒定律與對稱性的關系

可以肯定的是,1962年出版的的《原子物理學若幹發現簡史》(中文譯名為《基本粒子發現簡史》,上海科學技術出版社1963年出版)被引用過(譯名為Valle),而楊先生引用的“不對稱很少只是因為沒有對稱”這句話,已經成為壹句深刻的哲學名言。我寫分形藝術的時候,也裝飾過門面,引用過懷爾和楊先生的話。在自然科學和數學中,對稱性意味著在某種變換下的不變性,即“壹個構件的構型在其同構變換群的作用下是不變的”。通常的形式有鏡像對稱(左右對稱或左右對稱)、平移對稱、旋轉對稱和伸縮對稱。物理學中的守恒定律都與某種對稱性有關。

生物形態的對稱性

壹般來說,圖形和形狀是由點、線或面分成相等的部分。生物形態中的主要對稱有:(1)輻射對稱:與身體主軸成直角和彼此成等角的幾個軸(輻射軸)都相等。如果包含主軸的物體通過輻射軸切開,物體通常可以分成鏡像的兩部分。比如海星可以看到有五個輻射軸。此外,高等植物的莖和花往往具有輻射對稱結構;

(2)雙輻射對稱:只有兩個輻射軸,相互成直角。形式上可視為輻射對稱到左右對稱的過渡型(如Ctenomedusa);

(3)左右對稱:或雙側對稱,是將身體分成僅由壹個平面(正中矢狀面)互為鏡像的兩部分(如脊椎動物的形狀)。正中矢狀面上身體前端至後端的軸線稱為頭尾軸或縱軸,多與身體長軸壹致。在正中矢狀面內垂直於頭尾軸並穿過背部的軸為背部軸或矢狀軸。還有與正中矢狀面成直角的軸,稱為正中橫軸(或內外軸),它們夾著正中矢狀面,彼此相等,極性相反。如果把兩邊的正中橫軸組合起來,看成壹個軸,就叫橫軸。在輻射對稱中,比如對應海星的腳的同源部分,叫做paramere,paramere本身是兩邊對稱的。壹般來說,兩邊對稱的每壹半都是與同壹軸相關但極性相反的同類型部分,稱為對跖或身體輻條。壹般來說,輔助段和相對段的相同部分只是方向不同,可以認為與外界的相同關系密切。因此,當生活方式在個體發育或系統發育的過程中發生變化時,與之相關的對稱類型也隨之變化。例如,棘皮動物在自由活動的幼蟲階段有壹個對稱系統,在接近休息的成蟲階段有壹個徑向對稱系統。再比如比目魚的左右兩側,可以成為次要的背腹關系。不對稱關系稱為不對稱,其中生物界可以廣泛看到的規則形式是螺旋度。此外,還有內臟即使外表對稱,但與外界沒有直接聯系。基本上可以是對稱的,也有很多因為形態變形而不對稱的。

中心對稱

概念

圍繞某壹點旋轉圖形180。如果能與另壹個圖形重合,就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心,這兩個圖形對應的點叫做關於中心的對稱點。

中心對稱和中心對稱圖形是兩個不同但密切相關的概念。它們的區別在於,中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關系。這兩個圖形關於壹個點對稱,這個點就是對稱中心,兩個圖形關於壹個點的對稱也叫中心對稱。在兩個中心對稱的圖形中,壹個圖形上的所有點關於另壹個圖形的對稱中心對稱,反之亦然。中心對稱圖形意味著圖形本身是中心對稱的。中心對稱圖形上的所有點都在圖形本身上。如果把兩個中心對稱的圖形看作壹個整體(壹個圖形),那麽這個圖形就是中心對稱的。壹個中心對稱的圖形,如果把對稱部分看成兩個圖形,那麽它們就是中心對稱的。

也就是說:

①中心對稱圖形:如果壹個圖形繞某壹點旋轉180度後能與自身重疊,那麽我們說這個圖形形成中心對稱圖形。

②中心對稱:如果壹個圖繞某壹點旋轉180度後能與另壹個圖重疊,那麽我們說這兩個圖形成中心對稱。

中心對稱圖形

正(2N)多邊形(n為大於1的正整數)、線段、圓、平行四邊形、直線等。

其實除了直線,所有中心對稱的圖形都只有壹個對稱點。

它既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形:等腰三角形、直角梯形、普通四邊形。

中心對稱的性質

①關於中心對稱的兩個圖形是共形的。

(2)對於中心對稱的兩個圖形,對稱點的連線都經過對稱中心,並被對稱中心等分。

(3)關於中心對稱的兩個圖形,對應的線段平行(或在同壹條直線上)且相等。

識別壹個圖形是否是中心對稱圖形,就是看是否有壹個點,使圖形繞這個點旋轉180°後與原圖形重合。

中心對稱是指兩個圖形繞某壹點旋轉180°後可以完全重疊,稱為對稱中心。它們相輔相成。兩個圖形形成中心對稱時,必有壹個對稱的中點,壹個點旋轉180°後才稱為對稱中點。

輻射動物

徑向對稱動物Radiata是左右對稱動物的對應詞。G.L.Cuv-ier將大多數棘皮動物、腔腸動物、海綿動物、扁形蟲和滴蟲命名為輻射對稱動物。馮·西博爾德稱棘皮動物、腔腸動物和海綿動物為輻射對稱動物。後來被命名為腔腸動物(有時包括棘皮動物)。

科學與藝術

科學和藝術都非常重視對稱。對於科學來說,對稱性決定了各種可能的守恒定律,所以更具有根本意義。在藝術中,對稱經常與平衡、形狀、形式和空間壹起討論。人們通常從靜態表現上理解對稱,這有壹定的意義,但更重要的是從操作感和生成過程上理解對稱。

在科學上,對稱性是指在壹定運算下的不變性或守恒性,對稱性往往與守恒定律聯系在壹起。與空間平移不變性相對應的是動量守恒定律;與時間平移不變性相對應的是能量守恒定律;與旋轉變換不變性相對應的是角動量守恒;與空間反射(鏡像)操作的不變性相對應的是宇稱守恒。在弱相互作用中,“宇稱”不守恒,自然在C或P下不對稱,在CP下也不對稱,但CPT對稱。這裏c代表電荷變號操作,相當於逆變換,比如從底片顯影照片,電子變成正電子,物質變成反物質;p代表鏡面反射操作,比如人照鏡子;t代表時間反轉操作,如微觀可逆過程。也就是說,當粒子和反粒子同時互變(C),左右互變(P),過去和未來互變(T)時,自然就是對稱的。

但是,當把宇稱、過載、同位旋等所有物理性質放在壹起考慮時,我們會發現它們在總體上並不守恒,即對稱性被打破。假設這是只考慮“物質”的結果。如果包括“真空”,就有可能發現“失去對稱性”。總的來說,這個世界還是對稱保守的。問題是,到目前為止,科學家對真空的了解還不夠。為什麽CP不守恒,CPT守恒?CPT守恒是什麽意思?CPT真的永遠守恒嗎?這些都是非常重要和困難的問題,其中很大壹部分需要科學家進壹步研究才能回答。

對稱是第壹世界固有的還是第二世界強加的?是自然的屬性還是自然科學中物理規律的屬性?或者說,對稱是客觀的還是主觀的?壹個簡單而肯定的答案是,對稱性是自然界的客觀固有屬性。這也是過去流行的觀點,但這種觀點在解決問題上並不比相反的觀點更有優勢。如果我們把認識世界看作壹個復雜的、漸進的過程,那麽我們也應該在壹個過程中認識對稱性。在這個認知體系中,“屬性”這個詞匯是不合適的。如果仍然保留“屬性”這個詞,那只能指對象在壹定條件下的作用,也可以稱之為“有條件的”科學哲學。條件,也就是約束,可以對應壹定的操作,表示壹定的認知水平。對稱性原理根植於“不可觀測測量”的理論假設;可觀測性意味著對稱,任何不對稱的發現必定意味著存在某種可觀測的測量。(李政道)那麽“不可觀察”是由我們的認知能力造成的錯覺嗎?

李政道說:“其中壹些‘不可觀測的測量值’只是由於我們目前測量能力的限制。當我們的實驗技術提高了,我們的觀察範圍自然會擴大。所以,完全有可能在某個時候,我們可以檢測到壹個假設的‘不可觀測測量’,這就是對稱性破壞的根源。然而,當這種毀滅真的發生時,壹個更深層次的問題是,我們如何能確定這不意味著世界是不對稱的?有沒有可能自然的基本規律還是對稱的?是自然規律不對稱還是世界不對稱?這兩種觀點有什麽區別?”這個論述概括了理論物理的認識過程,涉及到壹些基本的哲學問題。

在討論藝術作品中的對稱性時,數學家H. Weyl提到,西方藝術就像它的生命壹樣,傾向於緩和、放松、修正甚至打破嚴格的對稱性,然後有壹句名言:“但不對稱很少只是因為沒有對稱。”(對稱,商務1986,第11頁)楊振寧引用了韋爾的話,並加了壹句評論:“這句話在物理學上似乎是正確的。”(《基本粒子發現簡史》,上海科技1979,第58頁)我們補充壹點,無論對於科學還是藝術,“同樣,發現對稱絕對不僅僅是因為不對稱的不存在。”

科學和藝術都講究對稱,對稱意味著某種規則。很難想象,像科學、藝術這樣宏大、積澱的人類文明會是不規則的、混亂的。那麽是否可以推斷科學和藝術只講究規則和對稱,只有對稱的東西才能稱之為科學和藝術呢?答案是否定的。1996年5月23日,李政道在中央工藝美術學院的演講中指出:“藝術和科學是對稱和不對稱的巧妙結合。”這無疑是正確的。對稱就是美,不對稱就是美。準確地說,對稱和對稱破缺的某種結合就是美。“簡單對稱和簡單不對稱都是單調的。對稱的建築只有放在不對稱的環境空間裏才是美的,反之亦然。”

無論對於科學還是藝術,對稱都涉及到不同的方面,不同的層面。不同方面指的是對稱的多樣性:平移對稱(連續的裝飾圖案和布料)、旋轉對稱(拱頂、五角星、傘、水晶)、左右對稱(建築立面、人體)和聯合操作對稱(埃舍爾的騎士圖,類似CP操作)。不同的方面還涉及到部分與整體的關系。對稱性包括長程整體對稱(如水晶)和局域短程對稱(如準晶和凱爾特裝飾藝術),在科學和藝術作品中有很多例子。層次不同意味著對稱性取決於物質層次或者概念層次,不同層次的對稱性可以有很大不同。以人體為例,外表是對稱的,內臟卻不是。心臟通常靠近左側,腎臟仍然是對稱的。凱爾特藝術有很強的規律性,可以清楚地發現少數基本結構在不同層次上重復。不同層次的對稱與對稱破缺相互照顧,細節豐富分明,給人以強烈的裝飾效果。可以肯定的是,凱爾特藝術有意識地使用了伸縮變換的不變性,即尺度變換下的不變性,即自相似對稱性。特別有意思的是,在分形科學和藝術中,我們可以觀察到各種各樣的對稱,既有不同方面的,也有不同層次的。通過復雜函數的計算機叠代,很容易顯示這些對稱性。