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數學家愛爾特希(Erdos)研究過的初等問題有哪些? 1個5分至10分,酌情加分, 十分感謝,要題目和答案。

數學家愛爾特希(P.Erdos)提出:“在平面內有n個點,其中任意三點都能構成等腰三角形”.下面我們來探討n=4的情形:在平面上有四個點,任意三點都可以構成等腰三角形.如何尋找這樣的四點呢?

我們采用嘗試、探索的辦法.最容易想到的是,使壹個點到另三個點等距離.

首先,以壹個點為圓心,作壹個圓,其他三個點在此圓上尋找,只要使這圓上的三點構成等腰三角形即可,於是得到如圖中的上面兩種形式.

其次,取邊長都相等的四邊形,即為菱形的四個頂點(見圖中第3個圖).

最後,將任壹圓周5等分,取其中任意四點構造三角形(見圖中的第4個圖).

綜上所述,符合條件的四點有且僅有三種形式:①任意等腰三角形的三個頂點及其外接圓圓心(即外心);②任意菱形的4個頂點;③任意正五邊形的其中4個頂點.

事實上,當n=3、4、5、6時,愛爾特希問題都有解.已經證明,n≥7時,問題無解.

盡管這是壹個已經解決的問題,但其嘗試、探索的辦法是值得我們學習的,同時也加深了我們對圓的有關性質的理解.