睡能詳細解釋下數形結合思想？

數形結合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數”與“形”結合，相互滲透，把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合.應用數形結合思想，就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義又揭示其幾何意義，將數量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決.運用這壹數學思想，要熟練掌握壹些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數特征.●難點磁場?1.曲線y=1+ (–2≤x≤2)與直線y=r(x–2)+4有兩個交點時，實數r的取值範圍 .2.設f(x)=x2–2ax+2,當x∈［–1,+∞)時，f(x)＞a恒成立，求a的取值範圍.●案例探究?［例1］設A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x²，且x∈A }，若C B，求實數a的取值範圍.命題意圖：本題借助數形結合，考查有關集合關系運算的題目.屬★★★★級題目.知識依托：解決本題的關鍵是依靠壹元二次函數在區間上的值域求法確定集合C.進而將C B用不等式這壹數學語言加以轉化.錯解分析：考生在確定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出錯，不能分類而論.巧妙觀察圖象將是上策.不能漏掉a＜–2這壹種特殊情形.技巧與方法：解決集合問題首先看清元素究竟是什麽，然後再把集合語言“翻譯”為壹般的數學語言，進而分析條件與結論特點，再將其轉化為圖形語言，利用數形結合的思想來解決.解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函數∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的圖象，該函數定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下：①當–2≤a≤0時，a2≤z≤4即C={z｜z²≤z≤4}要使C B,必須且只須2a+3≥4得a≥ 與–2≤a＜0矛盾.②當0≤a≤2時，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由圖可知：必須且只需 解得 ≤a≤2③當a＞2時，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a²}，要使C B必須且只需解得2＜a≤3④當a＜–2時，A= 此時B=C= ，則C B成立.綜上所述，a的取值範圍是(–∞,–2)∪［ ,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求證：.命題意圖：本題主要考查數學代數式幾何意義的轉換能力.屬★★★★★級題目.知識依托：解決此題的關鍵在於由條件式的結構聯想到直線方程.進而由A、B兩點坐標特點知其在單位圓上.錯解分析：考生不易聯想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之壹.如何巧妙利用其幾何意義是為瓶頸之二.技巧與方法：善於發現條件的幾何意義，還要根據圖形的性質分析清楚結論的幾何意義，這樣才能巧用數形結合方法完成解題.證明:在平面直角坐標系中，點A（cosα,sinα）與點B（cosβ,sinβ）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖.從而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2=2–2cos(α–β)又∵單位圓的圓心到直線l的距離 由平面幾何知識知｜OA｜2–( ｜AB｜)2=d2即∴ .●錦囊妙計?應用數形結合的思想，應註意以下數與形的轉化：（1）集合的運算及韋恩圖（2）函數及其圖象（3）數列通項及求和公式的函數特征及函數圖象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線以形助數常用的有：借助數軸；借助函數圖象；借助單位圓；借助數式的結構特征；借助於解析幾何方法.以數助形常用的有：借助於幾何軌跡所遵循的數量關系；借助於運算結果與幾何定理的結合.●殲滅難點訓練?壹、選擇題1.（★★★★）方程sin(x– )= x的實數解的個數是( )A.2 B.3 C.4 D.以上均不對2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b ，且α、β是方程f(x)=0的兩根（α＜β ，則實數a、b、α、β的大小關系為( )A.α＜a＜b＜β B.α＜a＜β＜bC.a＜α＜b＜β D.a＜α＜β＜b二、填空題3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t為參數)的最大值是 .4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x²–ax≤x–a}，當A B時，則a的取值範圍是 .三、解答題5.（★★★★）設關於x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）內有相異解α、β.（1）求a的取值範圍；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）設A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠ ，求a的最大值與最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）為橢圓 =1內壹點，F1為橢圓左焦點，P為橢圓上壹動點.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把壹個長、寬、高分別為25 cm、20 cm、5 cm的長方體木盒從壹個正方形窗口穿過，那麽正方形窗口的邊長至少應為多少？ 參 考 答 案●難點磁場1.解析：方程y=1+ 的曲線為半圓，y=r(x–2)+4為過（2，4）的直線.答案：（ ］2.解法壹：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函數g(x)=x2–2ax+2–a的圖象在［–1,+∞］時位於x軸上方.如圖兩種情況：不等式的成立條件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2) a∈(–3,–2 ，綜上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同壹坐標系中作出兩個函數的圖象.如圖滿足條件的直線l位於l1與l2之間，而直線l1、l2對應的a值（即直線的斜率）分別為1，–3，故直線l對應的a∈(–3,1).●殲滅難點訓練壹、1.解析：在同壹坐標系內作出y1=sin(x– )與y2= x的圖象如圖.答案：B2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的兩根，在同壹坐標系中作出函數f(x)、g(x)的圖象如圖所示： 答案：A二、3.解析：聯想到距離公式，兩點坐標為A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)點A的幾何圖形是橢圓，點B表示直線.考慮用點到直線的距離公式求解.答案： 4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，畫數軸可得.答案：a＞3三、5.解：①作出y=sin(x+ )(x∈(0,π))及y=– 的圖象，知當｜– ｜＜1且– ≠時，曲線與直線有兩個交點，故a∈(–2,– )∪(– ,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相減得tan ，故tan(α+β)=3.6.解：∵集合A中的元素構成的圖形是以原點O為圓心， a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點O′(1, )為圓心，a為半徑的圓.如圖所示∵A∩B≠ ，∴半圓O和圓O′有公***點.顯然當半圓O和圓O′外切時，a最小a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2當半圓O與圓O′內切時，半圓O的半徑最大，即 a最大.此時 a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由 可知a=3,b= ,c=2，左焦點F1(–2,0),右焦點F2(2,0).由橢圓定義，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜如圖：由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知– ≤｜PA｜–｜PF2｜≤ .當P在AF2延長線上的P2處時，取右“=”號；當P在AF2的反向延長線的P1處時，取左“=”號.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分別為 ，– .於是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6– .8.解：本題實際上是求正方形窗口邊長最小值.由於長方體各個面中寬和高所在的面的邊長最小，所以應由這個面對稱地穿過窗口才能使正方形窗口邊長盡量地小.如圖：設AE=x,BE=y,則有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y∴ ∴ .