很多孩子都說過：“數學太難了！”——不僅僅是女孩兒，所有的孩子都壹樣。孩子的腦已經習慣於快速應對日常生活中的問題了，也就是 說，跟解決代數問題相比，他們更擅長算計如何報復剛剛欺負過他的孩 子。(當然，這種“社會性計算”也需要某種數學能力，因為他需要事先 判斷壹下周圍有多少對方的朋友，多少自己的朋友。)
孩子和很多動物都有神經系統來支持最原始的數量感。在正常情況下，這種數量感會跟人的其他能力結合在壹起，使我們能夠創造和操縱 符號，從而生成正式的數學。這種數學只存在於某些社會文化中，在其他的社會文化中則沒有。數學看似不適合孩子的成長，其實對孩子的成長有益。
在過去幾十年裏，人們越來越認識到，嬰兒有很強的“形成跟數字有關的概念”的能力。例如，把壹個物體藏到屏幕後面，之後卻出來兩個物體，嬰兒會盯著物體看很久，表現出驚奇。相反，如果壹只米老鼠玩具“躲”到屏幕後面，然後出來壹輛卡車，嬰兒壹點兒都不關心。而如果他看到壹只米老鼠跟另壹只米老鼠壹塊兒出來，他就會表現出驚奇了，註視的時間就更長壹點兒。這種註意新增加的物體的能力是數字概念的壹個必要組成成分。
這種能力並不局限於較小的數。當壹個 6 個月大的嬰兒看到壹系列的圖片，每個圖片上都有若幹個物體(黑點、面孔或者任何東西)時， 他會註意到圖片上物體的數量是否翻倍或者減半了。隨著年齡的增加，這種數量感越來越強。對嬰兒來說，他們不用數就能夠識別出 1 ∶ 2 的比率(例如，比較 4 個和 8 個物體，或者比較 6 個和 12 個物體)，不過 成人則能識別更精細的例如 7 ∶ 8 的比率。
數量感(分辨大小不同的群組)人人都有。數量識別則是另壹種普遍性的數學能力，它是指在不需要壹個壹個去數的情況下就能夠立即知道有幾個物體(通常數量較小)的能力。這個術語來自於拉丁文 subitus，意思是“突然”。數量感和數量識別是所有動物***有的能力，而且，人和動物的腦中負責兩種能力的神經系統可能也是相同的。
在老鼠、狗甚至鴿子身上都可以看到這些能力。這些能力為這些物種提供了壹種生存優勢：使動物能夠對事物的量進行估計，從食物來源 到潛在的敵人。例如，壹般來說，當獅子聽到別的獅子在附近咆哮時， 他們會作出反應。但是，根據聽到的其他獅子的個數以及自己群體成員 的多寡，它們通常會作出不同的反應。如果覺得自己這邊數量上不占優，他們會召集同伴來支援。同樣，對猩猩來說，如果自己群體中個體的數 量不占優，它們也會避免跟對方發生沖突。
為什麽研究人員花了幾十年的時間才了解小孩子的數量感呢？壹個原因是早期的研究人員(如皮亞傑)在實驗中問錯了問題。例如，把小球排列成幾行，有的行小球間隔較遠，看起來好像更長。研究人員如果 問：“哪壹行的物體更多？”那麽，三四歲的兒童會指著數量較少，但是 排列得較稀疏的那壹行。而如果把小球換成巧克力，並許諾孩子壹會兒 就可以吃掉這些巧克力，那麽，他們的表現要好得多。如果分析壹下的 話，這個實驗似乎測量了兩種東西：數量感和清晰表達數量感的能力。3 歲的孩子有數量感，但是他不會說。除了讓他吃巧克力以外，妳還真的 很難從他的嘴裏知道他到底知不知道正確答案。
奇怪的是，如果是 2 歲的孩子，無論是小球還是巧克力，他們感知得都 很好。這個結果似乎表明，在 2 歲的時候，孩子有較清晰的數量感，但是在隨後的 1 年裏，他們失去了這種抽象的感覺。到底發生了什麽？壹種可能是，在三四歲的時候，孩子的數量感經歷了壹個“對數量的直覺”和“壹種明確的、 較晚發展起來的抽象數字感”糅合在壹起的過程。到了 5 歲，壹切都搞定了， 此時，他去數壹數小球就行了——不過，他們也許會期待吃到巧克力。
對巧克力的喜愛似乎是壹種本能，實際上的確如此。研究證據表明， 黑猩猩也能在心裏對數量進行類似於加法的組合。如果按照先後順序給 黑猩猩看 3 個盤子，每個盤子裏面都有不同數量的巧克力，那麽，他們 能夠判斷頭兩個盤子中的巧克力總和比第三個盤子裏面的巧克力多還是 少。由此可見，從進化來說，最原始的數學能力比我們人類的歷史還要 悠久，它是孩子與生俱來的能力的壹部分。
在人腦和猩猩的腦中，表征數量感的腦區是壹樣的。數量信息似乎 由前額葉和頂葉後部來表征。壹個關鍵的腦區是頂內溝。這是壹個凹進 去的溝槽區域，表征著特定的數字概念(例如“第十七個”)。如果這個 腦區受到損傷，人們對數量問題的回答就只能接近正確，但是無法完全 正確——相當於黑猩猩的水平。
數量感能夠在演化中保留下來，使科學家們覺得，我們的腦對數量 的呈現可能跟它們的相對大小有關，就好像有壹條心理的數列壹樣。有 壹些證據對這種提法提供了支持，例如，讓我們判斷兩個數哪個更大的 時候，如果這兩個數相鄰(如 8 和 7)，要比兩個數相隔較遠(如 8 和 2) 的時候需要更長的時間來反應，這就好像相鄰的兩個數在心理空間上也 是相鄰的壹樣。在判斷相鄰的兩個數的時候，頂內溝會被激活。妳可能 會覺得數量的存儲像計算機加工數字壹樣，數字之間無論差異大小，分 辨難度差不多，但其實在腦中，情況可能完全不同。腦可能采用更加有 序的方式來表征數量，就好像尺子上面的刻度壹樣。
當猴子看到特定數量的物體或者近似數量的物體時，它們的頂內溝位置的壹些神經細胞會被激活。壹般來說，這些腦區屬於腦中識別物體位置的神經通路，包括識別有多少個物體，這些物體要向哪個方向移動等。
頂葉負責“位置信息”的皮層(參見第 10 章)似乎有多種不同的功能。在眼睛運動的時候，猴子和人的頂葉皮層後部都會被激活。同時，當神經學家讓被測試者躺在磁***振掃描儀裏，完成簡單的數學任務時， 他們發現，這個腦區還有壹種有趣的能力：當人們在心裏做加法或者減法運算時，即便眼睛沒有移動，這個腦區也被激活了。跟這個腦區有連 接的附近其他腦區緊密地參與了視覺功能，例如出現突然的眼球震顫(眼 跳)，對某個圖像移動方向的覺察等。因此，我們對空間的觀察方式可能 跟我們的心理數列密切關聯。甚至，我們可以根據頂葉皮層後部的激活 模式，在壹定程度上預測某個人到底是在做加法還是減法，預測的正確 度大概是中等。
跟眼睛運動能力有關的腦區和與基本的計算能力有關的腦區有重疊，這壹點似乎有點兒怪異，但是這也表明，我們的腦加工抽象信息的能力在壹定程度上依賴於我們應對物理世界的方式。除了計算能力以外，我們的很多認知能力都以類似的方式“鑲嵌”在其他能力中。通過這種方 式，我們的腦就能夠采用進化過程中形成的更加具體的動作(例如尋找獵物或者在叢林中尋找回家的路等)，來進行抽象的思考。要想將這些估算能力轉換成精確的數學表述則需要符號表征能力。
這種能力是隨著語言而出現的。語言是壹種高效而精細的表征信息的方 式。鸚鵡、海豚、恒河猴以及黑猩猩都能用符號來表征數量。例如，有兩只黑猩猩，壹只叫作埃布爾，另壹只叫作貝克。它們能從兩個數字中 選擇壹個較大的，從而得到更多數量的糖果。在大多數情況下，動物還不能對符號進行加或減。但是有壹只黑猩猩是個例外，它叫作謝巴赫， 經過幾年的訓練，它能完成壹些簡單的加法計算。
即 便 人 類 有 計 算 和 數 學 的 心 理 能 力， 但 是 大 家 並 不 經 常 使 用。 法 國科學家斯坦尼斯亞斯 · 德阿納和皮埃爾 · 皮察研究了南美洲亞馬孫 叢林中的蒙杜魯庫人，這個部落的人不會計算，他們的語言中用來表 示數量的詞匯也非常少。其中只有幾個詞是精確的數量(pug ma 代表1，xep xep 代表 2)，大部分都只是近似數(如 ebapug 代表 2 和 5 之間， ebadipdip 代表 3 和 7 之間)。蒙杜魯庫人在進行大組物體的粗略加法時還 不錯，跟西方人做得壹樣好。但是對小的數量進行精確計算時則不行了； 例如，如果把 6 顆豆子放進罐子，然後拿出 4 顆，問他們還剩幾顆時， 他們會說“0”或者“1”，很少會說“2”。
孩子早期的估算能力能夠預測他將來的計算能力。這表明，在孩子們開始能進行計算之前，他們加工數量的壹般能力就已經出現個體差異了。那麽，這種能力是否可以通過訓練得到提高呢？也許，可以通過訓練孩子早期的估算能力來提高他們將來的計算能力。雖然這個想法還沒有得到檢驗，但還是很有可能的。
基於基本的數量感，我們可以構建起更加復雜的概念，像復數、虛數、實數等。基於這些能力以及其他方面的腦功能，我們就可以發掘出更復雜的數學能力：乘法、三角函數、微積分等等。
關於腦如何生成抽象的數學，這方面的研究才剛剛開始，不過，研究人員已經有了壹些發現。例如，較高水平的數學知識需要額外的概念和更多的腦區參與進來。代數要求孩子把他們的數量能力跟抽象符號的操縱能力結合在壹起。對於剛剛開始學習代數的學生來說，入門的方式可以多種多樣。例如，跟解方程式相比，解應用題要相對容易壹些。這些不同的處理方式要用到不同腦區。
為了考察解決問題時到底哪些腦區參與進來了，研究人員讓人們躺在磁***振掃描儀裏面，同時解答應用題和類似的公式。(例如：1. 服務員卡西每天當班 4 小時，每小時賺 10 元，在下班時還能得到 12 元的小費， 那麽請問，她壹天到底能賺多少錢？ 2. 若 10H+12=E，且 H=4，那麽， E是多少？)掃描結果表明，解應用題時，左側前額葉皮層被優先激活，這個腦區跟工作記憶和數量加工有關；解公式時，負責表征心理數列的 腦區被激活了，例如頂葉皮層的壹部分，包括楔前葉(頂葉內側的壹個 區域)以及部分基底神經節(對於動作和運動至關重要)。
這樣的差異表明，開始學習代數的學生可以嘗試不同的方式來解決 同壹個問題。當問題較難時，除了我們前面提到過的皮層區域，會有更 多的左半球腦區參與進來。至於高等數學，像三角函數或微積分，還沒 有得到充分的研究，但是研究人員相信，這些能力可能也跟腦中負責符 號表征和空間操縱的神經系統有關。
在某種程度上，上面這些發現支持了歐幾裏得關於幾何學的名言：“通往知識殿堂的路沒有捷徑。”數學是非常復雜的系統，是人類最偉大的發明之壹。我們能夠發現負責講故事和控制眼睛運動的神經環路 也參與了產生、理解和應用數學，這本身就是壹項了不起的發現。讓我們的腦適應我們的環境，是壹件極其了不起的、我們的祖先從未想過的事情。