壹、數學教育理論的產生
數學教育作為社會現象產生至今已經歷數千年的漫長時期。在這歷史進程中數學教育無論從內容、組織形式到規模上都有了很大的發展變化，這種發展變化導致了把數學教育作為研究對象的理論學科的誕生。最早提出把數學教育過程從教育過程中分離出來，作為壹門獨立的科學加以研究的是瑞士教育家別斯塔洛齊（J.H.Pestalozzi）。他在發表於1803年的《關於數的直覺理論》壹書中，第壹次提出了“數學教學法”這壹名詞，因此，人們壹般認為，數學教育理論體系是從19世紀初開始創立的。
在我國1917年北京大學就有專門研究數學教授法的學者胡睿濟，上世紀40年代商務印書館還專門出版了中國人自己編寫的數學教學法書籍。新中國成立後，通過蘇聯教育文獻的輸入而使數學教學法得到系統的發展。我國數學教育理論的研究經歷從數學教學法到數學教材教法，進而建立數學教育學三個大的變革階段。每壹個階段都從研究對象範圍、研究目的、研究特點和研究手段上有了革命性的變化。數學教育學是壹門涉及數學、教育學、思維科學等有關內容的新興交叉學科。雖然我國在20世紀80年代就出現不少數學教育學著作，數學教育理論研究的水平日益提高，逐步形成理論體系，但是數學教育學目前尚處於理論建設和教學實驗階段，有待發展、完善。現在，首先對數學教育學的研究對象、特點、結構以及研究方法分別進行探討。
二、數學教育學的研究對象
廣義地說， 數學教育學所要研究的是與數學教育有關的壹切問題， 如社會與數學教育的交互作用，數學教師的素養與培訓，數學教材的編寫與評價，學生學習規律的研究，數學教學方法的選擇與應用，數學教學組織形式的探討，現代化技術手段的使用，數學語言的作用與培養，數學思維的結構與培養，數學能力含義與培養，數學教學過程的實質與規律，數學教育與其它學科教育的相關性，數學教育比較研究等等不壹而足。
這裏，教學過程應當是眾多問題中的核心問題，數學教育學首先應該集中在與教學過程有關的問題上來探討。
教學過程，特別是數學教學過程，是教師利用壹系列手段（教科書，教具，技術手段）來實現的控制過程，是師生信息交互傳遞過程，是由師生雙方協同活動來完成的，可以用圖0-1-1表示：
教師、學生與課程是傳遞系統的三個基本構成要素，教師與學生為傳遞和接收的主體，知識是這個傳遞系統的客體。在教學過程中，教師是教學的組織者與領導者，教師對教學規律的認識、掌握與運用決定著教學質量的優劣。因此， 數學教學規律到底是什麽， 應該作為重要內容。這樣，數學教學論應該作為數學教育學的研究對象之壹。反映教學內容和要求的教材和課程，是知識技能結構的規範，是實施教學的主要依據。課程的設置，教材編寫，應該遵循什麽樣原則和規律，才能滿足培養人的要求。因而，數學課程論也應當作為數學教育學的研究對象之壹。教學過程需要有學生自覺、積極地參加，學生學習數學要經歷壹個復雜的心理過程，有其自身的規律，這些規律到底是什麽，應該加以研究。因此，數學學習論也應作為數學教育學的研究對象之壹。
綜上所述，數學教育學的主要研究對象應是數學教學論、數學課程論和數學學習論，即所謂“三論”。
德國包斯費爾德（H.Bauersfeld）在第三屆國際數學教育會議（ICME3-1976）上描述了數學教育的三個研究對象：課程、教學、學習。後來美國湯姆·凱倫（Tom Kieren）在壹篇題為“數學教育研究——三角形”的社評中把它們形象地比作三角形的三個頂點，分別對應於三種人：課程設計者、教師、學生。數學教育有三個研究方面，這就是課程論、教學論、學習論。
這三個方面是緊密相聯的，彼此滲透交織、聯系著，很難獨立地進行研究，它們的關系就相當於三角形的邊，研究壹個頂點對其它兩個頂點的研究也會發揮作用。
這個三角形有個“興趣中心”，就是兒童和成人實際學習數學的經驗。研究者應有效地利用這些經驗，亦使自己的研究能直接或間接地完善這些經驗。
三角形應有內部和外部，有關教學設計、教學和分析課堂活動的研究，以及教學經驗等都屬於數學教育研究這個三角形的 “內部” 。數學、心理學、教育學、哲學、思維科學、技術手段、符號和語言等都屬於數學教育研究這個三角形的“外部”。
從上面論述我們可以得出以下幾點結論：
（1）數學教育學的研究對象是緊密相關的三個方面：數學課程論、數學教學論、數學學習論。
（2） 三論是以實踐經驗為背景的， 而且研究結果會直接或間接地豐富、完善這些經驗。這說明數學教育學是壹門實踐性很強的理論學科，而且研究數學教育學的目的是提高學習數學的質量。
（3）數學教育學涉及到數學、哲學、教育學、心理學、思維科學等多門學科的綜合性學科。
（4）數學教育學的研究手段可以是教學設計、教學、分析課堂活動、實驗、定向觀察等。
三、數學教育學的特點
數學教育學主要具有綜合性、實踐性、科學性、教育性等特點。
1. 綜合性
數學教育學是壹門與數學、教育學、心理學、思維科學等學科相關聯的綜合性學科。所謂綜合性，不是這些學科的隨意拼湊與組合，而是從數學與數學教學的特點出發，運用這些學科的原理、結論、思想、觀點和方法，來解決數學教育本身的問題。
研究數學教育必須要有壹定的數學修養，而且數學的造詣越高，越能把握數學內部的精髓。正是在這個意義上來說，研究數學教育壹刻也不能離開數學。但值得指出的是，數學教育不是數學的自然結果，因為數學教育有其自身的規律性。
數學學習是壹個特殊的認識過程，它當然要受制於壹般的認識規律。但是數學學習的對象有其自身的特點（如抽象性、概括性較高、知識的前因後果聯系比較緊密等）。這樣，數學學習又有其特殊性。數學教育的綜合性就是這種壹般性與特殊性的高度統壹。這種統壹不是簡單地把特殊性作為壹般性的肯定例證，而是在壹般理論的指導下，從數學教育的特殊性出發引出適合於數學教育的必要的壹些結論，從而充分、豐富壹般性結論。
數學教育學的綜合性特點要求我們：要註意與數學教育學密切相關的學科的發展，例如，心理學裏認知心理學派提出關於數學思維結構與數學科學結構相似的觀點， 教學論裏吸收了許多系統論、 信息論和控制論的觀點等等，都要引起我們的註意與研究。隨著數學教育的發展，壹些新學科的思想和觀點，也會引進到數學教育的研究領域裏。
2. 實踐性
數學教育學的實踐性表現在以下三個方面：
第壹，數學教育學要以廣泛的實踐經驗為其背景。數學教育實踐始終是數學教育研究的源泉，離開實踐，數學教育就成為無源之水，無本之木。只是從理論到理論的論述，是不能解決教學實際問題的。
第二，數學教育學所研究的問題來自實踐。就以課程論為例。就有許多懸而未決的問題需要數學教育學去研究，如對傳統的中小學數學內容如何評價？對數學教材的現代化如何理解？在數學教材中如何體現素質教育的特點等等，都是當前亟待解決的問題，也是數學教育應該研究的問題。
第三，數學教育學要能指導實踐，亦能通過實踐檢驗理論。對於實踐性的理解，不能太偏窄，由於理論的層次不同，它們對實踐指導的直接性也會不同。
3. 科學性
數學教育學的科學性壹般體現在數學教育要符合數學教育發展的壹般規律，符合事物發展的趨勢，符合實際。
數學教育的壹般規律是客觀存在的，問題在於是否已被人們所認識，認識的深度如何？由於人們認識的深度、角度不同，對於同壹個問題可能會有不同的看法，這是非常自然的事。 數學教育不像數學那樣， 對於同壹個問題，雖然方法不同，但正確的結論是唯壹的。而數學教育卻不壹樣，對於同壹個問題，可能有許多種處理的方法，而這些方法都可能得到不同的、較為理想的結果。這是數學教育科學性的壹個特點。
客觀規律是無窮無盡的，人們的認識也是無窮無盡的。人們的認識總是要受著當時的科學技術發展、文化背景以及個人的某種條件的限制，因而總有壹定的局限性。隨著時代的發展，對某壹問題的認識也是會發展的，有的還有重新認識的必要。例如，計算機的出現並被引入教學後，無論對教學內容的選擇、教學方法的運用以及教學組織形式等有被重新認識的必要。
凡搞形式主義、絕對化的都不符合科學性。有的人把某種教學方法自封為最優的，或者把某種理論與做法說成最優的，忽視了時間、地點、條件、對象，而把問題孤立起來，或把問題與外界隔絕開來，從而絕對化，這是不符合科學性要求的。
數學教育學科學性還體現在要符合事物的發展趨勢，要跟上時代發展的步伐。
4. 教育性
數學教育學做為壹門教育學科，應充分發揮它對各級各類數學教育人才的培養功能，為基礎教育服務。數學教育肩負著培養四化人才的重任，應該在培養高師學生具有深厚的教育理論功底與較強的教育教學能力以及創新能力方面發揮它的作用。
四、數學教育學的結構及其相關學科
數學教育學研究的對象主要是數學學習論、數學課程論、數學教學論，這三論的關系如圖0-1-2所示：
雖然三論是互相關聯的，研究其中的壹論必然會影響另外兩論。但是，這三論中，學習論是基礎，它提供給課程論與教學論必要的心理學根據，教學論是學習論與課程論的直接體現者。
數學教育學的結構及其相關學科，我們用圖0-1-3表示。
數學教育學及其相關學科大致分為三部分：
1. 基礎部分
其中包括哲學、數學、數學思想史、中學數學近代基礎、數學方法論、教育學、心理學、邏輯學、思維科學、計算機科學、計算機輔助教學等。
數學，除了包括解析幾何、高等代數、數學分析的舊三基外，還要包括拓撲學、抽象代數、泛函分析的新三基，除此之外，還應有概率統計、離散數學、模糊數學、幾何基礎、集合論以及壹些傳統的初等數學。總之，數學教育工作者所需要的數學， 應該是廣而博， 並在壹個分支上有較深入的了解。
數學思想史，著重研究壹個數學概念或數學分支如何由孕育、成熟到發展，如何由粗糙到精確，其間的思想是如何發展，從而對研究數學教育得到必要的啟示。
中學數學近代基礎，是用高觀點研究初等數學的壹門課程。換句話說，是把初等數學置於現代的，統壹的觀點下來研究，從而對初等數學有更深刻的認識。
數學方法論，它是從方法論的角度研究和討論數學發展規律，數學思想方法以及數學中的發現、發明與創造等。
教育學，包括教育論與教學論部分，屬於壹般的教育教學規律。
心理學，這裏指普通心理學，它主要研究認識過程、情感過程和意誌過程中的心理活動規律。
邏輯學，包括數理邏輯和形式邏輯兩部分，並以形式邏輯為其重點。
計算機科學，包括計算機原理，幾種常用的程序語言以及編程的方法與技巧。
計算機輔助教學，包括計算機輔助教學作用、教學原則以及課件的編制等。
以上是研究數學教育學的必要的基礎，數學教育學主要是研究下面的核心部分。
2. 核心部分
其中包括數學課程論、數學學習論、數學教學論
3. 拓廣部分
其中包括數學教育評價、數學教育史、數學教育心理學、比較數學教育學。
數學教育評價，包括壹般的評價概念、數學課程的評價、數學教學的評價、數學學習的評價，評價不是目的而是手段，通過評價肯定成績、發現問題， 提出進壹步改進的意見； 通過評價選擇適合學習的教學方法和學習方法。
數學教育史，包括中、外數學教育發展的歷史，特別是對壹些代表人物的數學教育思想的研究，從而對當今的數學教育有所啟示，做到洋為中用，古為今用。
數學教育心理學，它是以數學教育過程中的師生交互行為為對象，研究教育情境中的各種心理現象及其變化，分析被教育者身心發展對教育條件的依存關系，探討學生在教育條件下，知識、技能、能力、態度、個性品質的形成和發展的規律、特點。
比較數學教育學， 它是研究當今世界不同國家、 民族和地區的數學教育；在研究其各自的經濟、政治、哲學和民族傳統的基礎上，研究教育的某些***同點，發展規律以及其總的趨勢，進行科學預測。其目的在於吸取外國的有益經驗，供發展我國的數學教育參考。
由此可見，數學教育是壹門涉及相當廣泛領域的學科，所以也可以把數學教育學看作壹個科學體系，就像數學下屬有許多分支壹樣。本課程對上述內容的核心部分作簡要介紹，其它內容請參閱有關論著。
五、數學教育學的研究方法
數學教育學的研究方法是指研究數學教育現象及其規律所采用的方法，具體說是探索數學教育內部各要素之間和其它事物之間的關系以及數學教育的質和量之間的變化和規律所采用的方法。
壹般的教育研究的方法，如觀察法、文獻法、調查法、統計法、行為研究法、比較法、分析法、實驗法、經驗總結法等都適用於數學教育的研究。
但就目前的情況來看，數學教育研究方法還應註意以下幾點：
1. 理論與實際的統壹
數學教育學是壹門實踐性很強的理論科學，從發展的眼光來看，應當把理論研究和實驗研究更加進壹步地結合起來，互相補充，互相為用，促使數學教育的研究深入發展。
數學教育在理論研究和實驗研究上的脫節表現在兩個方面：壹方面，過去數學教育的研究方法大都使用的是思辨的方法，即從自己的經驗、或有關文獻、或看到有關數學教育現象的基礎上，進行獨立思考，或對某壹課題加以論證、或提出自己的觀點或判斷，基本上限於理論的闡述，與實際數學教學還有壹定的距離。另壹方面，實際教學工作者所進行的數學教育缺乏理論上的進壹步研究。
在數學教育的研究中，我們提倡：實事求是，理論聯系實際，壹切從實際出發。理論與實際的任何方式的割裂，都不利於數學教育的研究。
2. 局部與整體的統壹
數學教育學中所涉及的各個部分、 各個問題都是互相依存、 互相關聯的。我們研究問題只能壹個個地加以解決，但是所要解決的問題是在整體之下，處在整體之下其它問題的關聯之中，因此，我們研究問題必須考慮它與整體的關系，它與其它部分的關系。
局部與整體的統壹， 實際上就是運用系統方法。 所謂系統方法，就是把認識對象作為系統來認識的方法，它通過對系統中整體與部分之間相互聯系、相互作用的研究，辯證地把分析與綜合結合起來，以達到從整體上正確地認識問題或合理地解決問題。
系統方法有以下兩個主要特征：
第壹，系統方法強調對事物整體性研究
世界上各種對象、事件、過程都不是雜亂無章的偶然堆積，而是壹個合乎規律的由各個組成部分組成的有機整體。事物整體的性質只存在於各個組成要素相互聯系這中，各個孤立的部分的總和亦不能反映整體的本質和運動規律。
第二，系統方法強調分析與綜合的辯證結合
分析方法就是把整體分解為部分、方面、要素來認識的方法，綜合法則是把各個部分、方面、要素聯結起來作為整體認識的方法。在系統方法中，分析與綜合有機地結合起來，分析要以綜合為指導，綜合要以分析為基礎，而溝通分析與綜合的橋梁則是系統各個組成部分之間固有的聯系。
數學教育研究要註意運用系統方法
3. 定性和定量的統壹
任何事物都是質和量的統壹體，事物質的方面和量的方面是互相聯系、互相制約的。我們認識事物，首先是認識它的性質，即進行所謂定性分析，事物不僅有質的方面，而且有量的方面，在認識事物性質的基礎上，我們還必須把握它的量的方面，就是對事物的屬性進行數量上的分析，即進行所謂定量分析，從而準確地判定事物的變化。如果我們只對事物作定性分析，不作定量分析，那麽我們對事物的認識可能不全面。
過去，數學教育的研究大多是定性分析，從理論到理論，而缺乏量上的進壹步刻劃。這樣不易把握教學， 教學理論的應用也沒有說服力。 我們認為，定性分析是揭示數學教育規律的開始，是定量分析的基礎；定量分析是揭示數學規律的繼續和深入，是定性分析的進壹步精確化。如果既進行定性分析，又進行定量分析，那麽，不但能從質上把握數學教育規律，而且能從量上刻劃數學教學規律。在數學教育的研究上，定性分析和定量分析的統壹是我們努力的方向。
辯證唯物論是數學教育的哲學基礎。具體地說，物質性與辯證性是數學教育的哲學基礎。
物質性概括地說表現在兩個方面：其壹，就是數學教育的實踐性，以及數學教育研究的理論與實踐的統壹，數學教育是以廣泛的實踐經驗為其背景的，教育理論要以教育實踐賦予其生命力，教育思想壹邊要跟蹤教育實踐的足跡；其二，考慮數學教育必須立足於我國國情，不符合我國國情的壹切思想、理論與方法是沒有生命力的。
辯證性概括地說表現在三個方面：其壹，壹切思想、理論和方法都是有條件的，而且是互相關聯的；其二，理論與實際、局部與整體、定性分析與定量分析是辯證的。不僅如此， 還有如教與學、 師與生、遺傳、教育、環境、 集體化教育與個別化教育等等也都是辯證統壹的， 只有辯證地處理它們，才會收到預期的效果； 其三， 數學教育是動態的，而且數學教育的思想、理論和方法也是動態的，隨著時代的發展而發展。
明確物質性和辯證性，並以它們為基礎去發展數學教育學，將會使數學教育沿著正確的方向和道路前進。