平行線的性質
1.兩條平行線被第三條直線所截,同角相等。
2.兩條平行線被第三條直線切割,內部位錯角相等。
3.兩條平行線與第三條直線相交,互為補充。
上述特性可以簡單地描述為:
1.兩條直線平行,夾角相等。
2.兩條直線平行,內部位錯角相等。
3.兩條直線平行且互補。
平行線的確定
1.平行線的定義(在同壹平面內,不相交的兩條直線稱為平行線。)
2.平行公理推論:平行於同壹直線的兩條直線相互平行。
3.在同壹平面內,垂直於同壹直線的兩條直線相互平行。
4.同角相等,兩條直線平行。
5.內部位錯角相等,兩條直線平行。
6.同側內角互補,兩條直線平行。
平行線的判定和性質都是關於兩條直線被第三條直線所截的圖形。首先,我們通過畫圖知道什麽是平行線。
平行線的畫法可以概括為:壹“落”,二“靠”,三“推”,四“畫”,即壹“落”:三角形的壹邊落在已知的直線上;第二個“靠”:尺子靠在三角形的另壹邊;三“推”:沿直尺推三角形,使開始落在已知直線上的邊通過已知點;四“畫”壹個已知點,沿著三角形的邊畫壹條直線。三線八角的概念。我們在研究平行線的判定和性質時,要涉及到等腰角、內錯角和同側內角。確定這些角位置的關鍵是找出兩條直線與第三條直線相交。可以說,這個數字是它們相同的必要前提。兩者的區別在於平行線的性質和判斷平行線的條件和結論正好相反。要判斷兩條直線是否平行,首先要研究全等角、內錯角和同側內角之間的定量關系。當我們知道全等角或內錯角與同側內角相等或互補時,就可以判斷這兩條線是平行的。它們是從“數”到“形”的判斷平行線的“性質”是在已知兩條直線平行的情況下,我們可以推導出同角、同內角和同邊互補內角的數量關系,即圖形“平行線”的性質。它們是從“形”到“數”的推理。
平行線的“判斷”和“性質”既有密切聯系,又有根本區別,經常被混淆。在平行線的證明中,初學者往往搞不清什麽時候用平行線的性質定理,什麽時候用判定定理。要搞清楚這個問題,首先要搞清楚這兩個定理的結構(如下表所示)。從表中不難看出,兩個定理的條件和結論正好相反。所以,解題時應該用哪個定理?
如何運用判斷力和天性解決問題?我舉幾個問題為例來說明。
例1已知:如圖,BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠C=70,求∠ADE的度數。
分析:這個問題是找角度。第壹,確定用平行線的判斷來解決問題。解釋角的大小關系,需要證明直線的位置關系,還要用到平行線的性質定理,正好可以用兩個角已知相等的條件。此外,通過對問題的分析和推理,學生可以逐漸形成證明的思路。
解:∠1=∠2(已知)ED∨BC(內部位錯角相等,兩條直線平行)。
從圖中可以看出,ED和BC被AC切割,且∠C=∠ADE(兩條直線平行且角度相同)。
且∠C=70(已知),∠ADE=70。
例2如圖BE平分∠ABC,EC平分∠BCD,∠ E = 90,那麽AB∨CD?為什麽?解析:這說明兩條直線的位置關系要用性質定理。學生在解題前,可以先講壹下解題的思路,每壹步的結論依據是什麽,讓學生逐漸覺得所有證明的步驟都是有道理的。沒有壹個大概的想法,就說不出自己想要什麽。
解法:∠e = 90°(已知),∠1+∠2 = 90°(三角形的內角和性質)。
被等分∠ABC(已知)和EC被等分BCD(已知)。
∠Abe+∠dec = 90°(角平分線的定義)。
∠ ABC +∠ BCD = 180(等價替換)
AB∨CD(與同側內角互補,兩條直線平行)。
對於初學者來說,最好是讓學生先說說解題思路,因為語言是思維的體現,會說就會寫。
例3。如圖所示,DE∥BC,∠ADE=∠EFC。
完整填寫∠1=∠2成立的原因。
解:∫DE∨BC(已知)
∴∠ADE=∠ABC(兩條直線平行且夾角相同。)
∠∠ADE =∠EFC(已知)
∴∠∠EFC =∠ABC
∴DB∥EF(同壹角度,兩條平行的直線)
∴∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠873
現在已經學會了如何利用判斷和自然來解決問題,但是往往因為七年級的學生剛開始學證明,寫作過程也是缺乏條理的。通過補充證明過程,他們可以逐漸熟悉證明題的寫作格式。
例4,如圖,BD⊥AC,EF⊥AC,d,f分別是豎腳,∠1=∠2,試解釋∠ ADG = ∠ C
解:∵∠ ADG+∠ 1+∠ FDB = 180(直角的定義)。
∠ 2+∠ C+∠ CFE = 180(三角形內角及定義)
∴∠ADG+∠1+∠FDB=∠2+∠C+∠CFE
∫≈1 =∠2(已知)
∠ FDB =∠ CFE = 90(垂直線的定義)
∴∠ADG =∠C(移位項和符號)
這也是壹個綜合問題,因為角的大小關系是由角的大小關系來證明的,所以判斷和本質都要用。學生在解題時,可以通過逆向推導找到解題方法,也可以幫助學生合理利用已知條件。
例5。如圖,A,F,C,D在壹條直線上,AF= CD,AB//DE,AB = DE,判斷EF和BC是否平行,並說明原因。
∫AC-FC = DF-FC
∴AC=DF
∫ED和AB被AD攔截。
∫AB//DE(已知)
∴∠EDF =∞∠cab(兩條直線平行,內部位錯角相等)
AB = DE(已知)
∠EDF=∠CAB(認證)
AC=DF(已知)
∴三角ABC三角定義(SAS)
∴∠BCF=∠EFD(全等三角形的對應邊相等)。
∴EF//BC(內角相等,兩條直線平行)這個問題的難度增加了。不僅要熟悉判斷和性質的用法,還要明確所有三角形的性質和判斷。知識點是相互關聯的,解題時壹定要仔細審題,不要急於求成。
例6說明BE是AB的延長線,DF是AD的延長線,∠ CBF = ∠ A = ∠ C
1.從∠CBF=∠A,可以確定哪兩條直線平行?依據是什麽?
2.從∠CBE=∠C,可以確定哪兩條直線平行?依據是什麽?
3.證明AF∨BC需要哪些角度相等?
4.哪些角度等於證明AE∨DC?