證明選擇公理並不容易。原因之壹是選擇公理不僅僅是壹個簡單的數學命題，還涉及到壹個更基礎的數學——集合論。集合論是數學的基礎理論，所以證明它的工具比較少。
很多數學家都試圖證明選擇公理，希望用最基本的工具來證明，但往往在這些證明中，都使用了壹些非基礎的理論，比如“良序定理”、“佐恩引理”。
良序定理
所有設備都可以很好地訂購。換句話說，對於每壹個集合，都有壹種排序方法，使得它的所有子集都具有最小元素。
佐恩引理
如果壹個偏序集是壹個歸納偏序集，那麽它壹定有最大的元素。換句話說，如果偏序集中的每條鏈在原偏序集中有壹個上界，則該偏序集必定有最大的元素。即使對這些理論進行字面解釋，也不容易判斷其真實性。事實上，“良序原理”和“左恩引理”無法用基本工具證明。到目前為止，還沒有人能用基本工具證明“選擇公理”。
更有趣的結果是，“選擇公理”、“良序原理”和“左恩引理”都是等價命題，也就是說，它們描述的是同壹個事件。多年來，“選擇公理”的等價命題被發現了很多，但站長沒有統計過。有的書可以寫出30個左右的等價命題，站長也收集了壹些等價命題(英文版)供網友參考，而人類只是在這些命題之間徘徊。因此，要證明或否定“選擇公理”在數學上並不容易，於是數學家們轉移目標，從邏輯體系上來看它的相容性。事實上，已經證明了我們現在普遍使用的ZF公理系統與選擇公理是相容的，也就是說，與ZF公理系統不能獲得“選擇公理”的邏輯矛盾。如果我們選擇接受“選擇公理”，就會有壹個包含“選擇公理”的公理系統，壹般稱為“ZFC公理系統”；否則在公理系統中是不被接受的，在能夠被證明之前是不會被接受為“定理”的。
然而，這場爭論仍未結束，因為這個公理不僅僅是壹個接受或拒絕的問題。如果拋棄了這個公理，那麽很多美好的、近乎“常識”的結果也會同時被拋棄；但其實和很多“常識”大相徑庭。
其中壹個眾所周知的不合理的結果就是“巴拿赫-塔爾斯基悖論”，或者說“分球問題”。這個悖論可以說是違反物理定律的，因為它說的是壹個單位球體(半徑為1)可以分成有限個點(至少五個點)，然後通過壹些剛體運動，也就是旋轉和平移來重新組合。但是組合後實際上變成了兩個單位球體，也就是體積增加了壹倍，這個悖論的證明必須用在選擇公理中。也就是說，如果我們選擇接受“選擇公理”，“巴納-塔斯基悖論”是壹個定理，但現實中可能嗎？
這實際上涉及到另壹個數學概念──可測集。“巴拿赫-塔斯基悖論”是不可預知集合存在的結果。如果我們接受“選擇公理”，我們就必須接受不可預測的集合。如果不接受選擇公理，可以假設所有集合都是勒貝格可測的，這個假設可能更合理。
但是，如果放棄選擇公理，就會出現壹些不合理的情況。這些條件取決於不符合選擇公理的選定模型。例如，在Cohen的模型中，存在壹個在點x0處不連續的函數，但對於極限為x0的任意級數{an}，{bn=f(an)}的極限為f(x0)。換句話說，函數值可以用任何逼近x0的序列逼近f(x0)，這恰恰是“連續性”的體現。有些模型甚至否定“二元可數選擇公理”(選擇公理在可數二元集合上成立)，這個公理等價於“可數不相交二元集合的並集是可數的”！總之，“選擇公理”是壹個很有爭議的命題，大部分數學家都接受這個公理，因為從中可以得出很多有用的結果。反正用這個公理沒有邏輯矛盾。但是，對於邏輯學家或者集合論者來說，這是壹個必須解決的問題。有人會建議用壹個弱的“可數選擇公理”來代替，確實有很多結果可以用可數選擇公理來證明，但這只是暫時回避了問題，還有壹些結果必須用“選擇公理”來證明。
著名哲學家、數學家伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)曾說過，“如果妳從無限雙襪子中選擇壹雙，我們需要‘選擇公理’，但如果妳把它換成鞋子，就沒必要了。”因為鞋子可以分為兩部分，襪子也沒什麽區別，不知道怎麽選。另外，如果襪子只有有限的幾雙，邏輯上就不用“選擇公理”了。
傑裏·博納曾說:“選擇公理顯然是正確的；“良序原則”顯然是不正確的；誰能決定“Zon引理”？“雖然這是個笑話，但可以看出道士的直覺並不壹定遵循數學思維。數學上，這三個命題是等價的，但對於“選擇公理”，很多數學家直覺上知道它是正確的；對於“良序原理”，許多數學家認為有問題；Zon引理非常復雜，許多數學家無法僅憑直覺做出判斷。
“選擇公理”的確是壹個神秘的公理。雖然看起來很簡單，但是功能很奇妙，甚至效果非凡。壹些人對它投了信任票，而另壹些人則持懷疑態度。我相信關於這個公理的討論和研究還會繼續，那我們就來看看數學家們是怎麽解決的吧。最後，站長以羅素的壹句話結束，他曾在談及“選擇公理”時說:
“起初它似乎明白了；但是妳越想，從這個公理得出的推論似乎就變得越奇怪；最後，妳根本不知道這意味著什麽。”