前幾年有壹個“釣魚”的笑話,說中國和美國學生參加壹個數學建模競賽。之後,中國學生收拾東西離開,美國學生默默收拾好桌子上的模型,帶走才離開。
雖然當年釣到很多魚是個有趣的故事,但今天的重點不在這裏。我們需要的是數學建模所建立的“模型”。
所謂“建模”,就是當我們面對壹個復雜的問題時,可以通過層層分析,把它簡化成壹些邏輯清晰、易於分析和理解,特別是便於計算的方法。
舉壹個數學建模的例子。
比如這次冠狀病毒感染的預期人數,就是典型的數學建模。當然,我們還無法知道確切的感染數據,但壹切並非完全無法追蹤。我們掌握了很多數據,比如確診感染的增長率,武漢的總人口,武漢與外界的人口流動數據,與患者接觸後感染的大概比例...
通過這些數據,我們可以簡單地創建壹個數學模型。比如可能感染的最早數據,是根據確定的武漢出國人口推算出來的。具體的數據我找不到,為了演示方便可以模擬壹下(也就是說下面的數據是我編的)。
當時這家媒體的想法是,從武漢出國的3名乘客確診,這幾天每天從武漢機場飛往國外的乘客大概有4000人。從發現疫情到當天,共有15天,其中武漢本地人約占50%,也就是說3000×15×50% = 3萬武漢人中有3人感染,感染率為0.065438。已知武漢市人口約為14萬,也就是說約有1400000×0.01% = 1400人被感染。
這是壹個用數學模型分析問題的典型例子。雖然這個數字與真實數字相差甚遠,但在當時條件有限的情況下,比其他任何猜測數字都更有說服力。
牛頓力學實際上是壹個數學模型
現在我們再來回顧壹下中學物理所學的牛頓力學。如果要認真對待,其實有很多結論是不正確的。別說近光運動下完全失效的問題,就算是低速世界,仔細想想也有很多不對的地方。
比如初中物理題,物體是絕對剛性的,用來傳遞力的杠桿從來沒有“變形”的概念,即使地球傾斜了也有意義。摩擦力只有兩種,滑動和滾動,摩擦系數是壹個常數,無論什麽速度都不會改變。但是我們知道摩擦會產生熱量,溫度會明顯改變材料的物理性質。
▲摩擦使物體完全變性的例子。這是壹個火柴頭。
這樣的世界被稱為“線性”世界,所有數據都是可預測的。如果妳的鞋底摩擦系數是10,1的壓力會帶來10 N的靜摩擦力,那麽在妳的腳背上放壹個月亮,自然會得到10倍月亮重力的靜摩擦力:7.2× 10 24 N。
但是可能嗎?當然不是!當鞋底受到的壓力大於壹定值時,就會被壓碎。這就是現實世界,這就是所謂的“非線性”。而且量子力學出現後,我們意識到世界甚至是不連續的。在宏觀世界裏,能準確描述物體運動的函數,只能改成相當模糊的概率函數。
▲看似光滑筆直的空間,放大到足夠大的時候,似乎也在不斷湧動。
所以牛頓力學只是壹個力學模型,而且是有嚴格限制的力學模型。裏面所有的概念和定義都與真理無關(雖然牛頓自己當時也認為自己找到了真理,因為他認為真理就藏在數學裏)。不過沒關系,我們還是可以學的,因為牛頓力學的受力分析可以為我們解決很多簡單的物理問題,得到相對準確的結果,而且毫無疑問這些數字是有實用價值的。
▲《自然哲學的數學原理》顯示了牛頓對數學的推崇。
所有的物理研究都是模型。
相信妳可能想過,愛因斯坦的相對論、量子力學席卷20世紀是真理嗎?當然不是。可以非常肯定的說,都是實物模型,但是比之前的任何模型都更接近真實。相對論計算的天文數據可以精確到小數點後十位以上,與觀測高度壹致。所以,我們相信相對論是正確的,但我們不確定未來是否會有壹種全新的理論,能比相對論得到更準確、更接近真理,就像相對論擁抱牛頓力學壹樣。
最後,我們總結壹下最初的問題——為什麽力只有三個要素?因為這是牛頓力學模型下無法簡化的元素,沒有它就無法進行受力分析。如果要非常精確的計算,可以得到100個元素,甚至1000個元素。比如“流體力學”可能永遠沒有“萬能公式”,因為涉及的參數太多,飛機的設計還是要靠風洞實驗。