名稱來源
數學（mathematics；希臘語：μαθηματικ?）這壹詞在西方源自於古希臘語的μ?θημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹隘且技術性的意義－“數學研究”，即使在其語源內。其形容詞意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的復數形式，及在法語中的表面復數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數mathematica，由西塞羅譯自希臘文復數τα μαθηματικ?（ta mathēmatiká），此壹希臘語被亞裏士多德拿來指“萬物皆數”的概念。（拉丁文：Mathemetica)原意是數和數數的技術。 我國古代把數學叫算術，又稱算學，最後才改為數學。 要想學好數學，勤練才可以。
數學史
基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的壹部分。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅度的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。 今日，數學被使用在世界不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然許多以純數學開始的研究，但之後會發現許多應用。 創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。
編輯本段數學研究的各領域
數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關系、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的子領域相關連著。除了上述主要的關註之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。 數量 數量的學習起於數，壹開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質被研究於數論中，此壹理論包括了如費馬最後定理之著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生素數猜想及哥德巴赫猜想。 當數系更進壹步發展時，整數被承認為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進壹步廣義化成復數。數的進壹步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數，它公式化了計數至無限的這壹概念。另壹個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之後對無限的另外壹種概念：艾禮富數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。 結構 許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領域。在此有壹個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。 空間 空間的研究源自於幾何－尤其是歐式幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在久遠的龐加萊猜想及有爭議的四色定理，其只被電腦證明，而從來沒有由人力來驗證過. 基礎與哲學 為了搞清楚數學基礎，數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。德國數學家康托（Georg Cantor，1845-1918）首創集合論，大膽地向“無窮大”進軍，為的是給數學各分支提供壹個堅實的基礎，而它本身的內容也是相當豐富的，提出了實無窮的存在，為以後的數學發展作出了不可估量的貢獻。Cantor的工作給數學發展帶來了壹場革命。由於他的理論超越直觀，所以曾受到當時壹些大數學家的反對，就連被譽為“博大精深，富於創舉”的數學家Pioncare也把集合論比作有趣的“病理情形”，甚至他的老師Kronecker還擊Cantor是“神經質”，“走進了超越數的地獄”.對於這些非難和指責，Cantor仍充滿信心，他說：“我的理論猶如磐石壹般堅固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳.”他還指出：“數學的本質在於它的自由性，不必受傳統觀念束縛。”這種爭辯持續了十年之久。Cantor由於經常處於精神壓抑之中，致使他1884年患了精神分裂癥，最後死於精神病院。 然而，歷史終究公平地評價了他的創造，集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學家Hilbert在德國傳播了Cantor的思想，把他稱為“數學家的樂園”和“數學思想最驚人的產物”。英國哲學家Russell把Cantor的工作譽為“這個時代所能誇耀的最巨大的工作”。 數學邏輯專註在將數學置於壹堅固的公理架構上，並研究此壹架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在壹不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關連性。 恩格斯說：“數學是研究現定世界的數量關系與空間形式的科學。”
編輯本段數學的分類
離散數學 模糊數學
數學的五大分支
1.經典數學 2.近代數學 3.計算機數學 4.隨機數學 5.經濟數學
數學分支
1.算術 2.初等代數 3.高等代數 4. 數論 5.歐幾裏得幾何 6.非歐幾裏得幾何 7.解析幾何 8.微分幾何 9.代數幾何 10.射影幾何學 11.幾何拓撲學 12.拓撲學 13.分形幾何 14.微積分學 15. 實變函數論 16.概率和統計學 17.復變函數論 18.泛函分析 19.偏微分方程 20.常微分方程 21.數理邏輯 22.模糊數學 23.運籌學 24.計算數學 25.突變理論 26.數學物理學
廣義的數學分類
從縱向劃分： 1.初等數學和古代數學：這是指17世紀以前的數學。主要是古希臘時期建立的歐幾裏得幾何學，古代中國、古印度和古巴比倫時期建立的算術，歐洲文藝復興時期發展起來的代數方程等。 2.變量數學：是指17--19世紀初建立與發展起來的數學。從17世紀上半葉開始的變量數學時期，可以分為兩個階段：17世紀的創建階段（英雄時代）與18世紀的發展階段（創造時代）。 3.近代數學：是指19世紀的數學。近代數學時期的19世紀是數學的全面發展與成熟階段，數學的面貌發生了深刻的變化，數學的絕大部分分支在這壹時期都已經形成，整個數學呈現現出全面繁榮的景象。 4.現代數學：是指20世紀的數學。1900年德國著名數學家希爾伯特（D. Hilbert）在世界數學家大會上發表了壹個著名演講，提出了23個預測和知道今後數學發展的數學問題（見下），拉開了20世紀現代數學的序幕。 1900年，在巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的想信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是壹種巨大的鼓舞。 希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析。 現在只列出壹張清單： （1）康托的連續統基數問題。 （2）算術公理系統的無矛盾性。 （3）只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。 （4）兩點間以直線為距離最短線問題。 （5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。 （6）對數學起重要作用的物理學的公理化。 （7）某些數的超越性的證明。 （8）素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素***問題。 （9）壹般互反律在任意數域中的證明。 （10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？ （11）壹般代數數域內的二次型論。 （12）類域的構成問題。 （13）壹般七次代數方程以二變量連續函數之組合求解的不可能性。 （14）某些完備函數系的有限的證明。 （15）建立代數幾何學的基礎。 （16）代數曲線和曲面的拓撲研究。 （17）半正定形式的平方和表示。 （18）用全等多面體構造空間。 （19）正則變分問題的解是否總是解析函數？ （20）研究壹般邊值問題。 （21）具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。 （22）用自守函數將解析函數單值化。 （23）發展變分學方法的研究。 從橫向劃分： 1.基礎數學（Pure Mathematics）。又稱為理論數學或純粹數學，是數學的核心部分，包含代數、幾何、分析三大分支，分別研究數、形和數形關系。 2.應用數學（Applied mathematics）。簡單地說，也即數學的應用。 3 .計算數學（Computation mathematics）。研究諸如計算方法（數值分析）、數理邏輯、符號數學、計算復雜性、程序設計等方面的問題。該學科與計算機密切相關。 4.概率統計（Probability and mathematical statistics）。分概率論與數理統計兩大塊。 5.運籌學與控制論（Op-erations research and control）。運籌學是利用數學方法，在建立模型的基礎上，解決有關人力、物資、金錢等的復雜系統的運行、組織、管理等方面所出現的問題的壹門學科。
編輯本段符號、語言與嚴謹
在現代的符號中，簡單的表示式可能描繪出復雜的概念。此壹圖像即是由壹簡單方程所產生的。 我們現今所使用的大部分數學符號都是到了16世紀後才被發明出來的。在此之前，數學被文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程序。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號壹般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。 數學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者，如開放和域等字在數學裏有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴謹”。 嚴謹是數學證明中很重要且基本的壹部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的“定理”，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。
編輯本段數學的發展史
世界數學發展史 數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之壹，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語μαθηματικ?（mathematikós）意思是“學問的基礎”，源於μ?θημα（máthema）（“科學，知識，學問”）。 數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第壹個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的壹大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。 更進壹步則需要寫作或其他可記錄數字的系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。 從歷史時代的壹開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算，為了了解數字間的關系，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。 到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變量概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進壹步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。 數學從古至今便壹直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說，“存在於數學評論數據庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了壹百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此壹學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。”
編輯本段國外數學名家
高斯
數 學 天 才 —— 高 斯 高斯是德國數學家、物理學家和天文學家。 高斯壹生下來，就對壹切現象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出。7歲那年，高斯第壹次上學了。 在全世界廣為流傳的壹則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納當時給孩子們出的是壹道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899。說完高斯也算完並把寫有答案的小石板交了上去，當時只有他寫的答案是正確的。數學史家們傾向於認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。壹位年僅10歲的孩子，能獨立發現這壹數學方法實屬很不平常。 高斯的學術地位，歷來被人們推崇得很高。他有“數學王子”、“數學家之王”的美稱。
牛頓
牛頓是英國物理學家和數學家。
在學校裏，牛頓是個古怪的孩子，就喜歡自己設計、自己動手，做風箏、日晷、滴漏之類器物。他對周圍的壹切充滿好奇，但並不顯得特別聰明。 後來，家裏叫他停學，到他母親的農場上去幫忙。在他母親的農場上，看到壹個蘋果落在地上，便開始捉摸，這種將蘋果往下拉的力會不會也在控制著月球。由此牛頓推導出物體的下落速度改變率與重力的大小成正比，而重力大小與距地心距離的平方成反比。後來牛頓的棱鏡實驗也使他壹舉成名。 牛頓有兩句名言是大家所熟知的。他在壹封信中寫道：“如果我比別人看得遠些，那是因為我站在巨人們的肩上。”據說他還講過：“我不知道世人對我怎麽看；但在我自己看來就好像只是壹個在海濱嬉戲的孩子，不時地為比別人找到壹塊光滑的卵石或壹只更美麗的貝殼而感到高興，而我面前的
浩瀚的真理海洋，卻還完全是個謎。”
萊布尼茨
戈特弗裏德·威廉·凡·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz，1646年7月1日～1716年11月14日）德國最重要的自然科學家、數學家、物理學家、歷史學家和哲學家，壹位舉世罕見的科學天才，和牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）同為微積分的創建人。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。
阿基米德
阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希臘哲學家、數學家、物理學家。出生於西西裏島的敘拉古。阿基米德到過亞歷山大裏亞，據說他住在亞歷山大裏亞時期發明了阿基米德式螺旋抽水機。後來阿基米德成為兼數學家與力學家的偉大學者，並且享有“力學之父”的美稱。阿基米德流傳於世的數學著作有10余種，多為希臘文手稿。