1。。非歐幾何的發展史
提出1和1的問題
非歐幾何的發展起源於2000多年前歐幾裏得的《幾何原本》。其中，公設五是歐幾裏德本人提出的。其內容是“若壹條直線與兩條直線相交，同壹側的兩個內角之和小於兩個直角，則兩條直線無限延伸後相交於該側的壹點”。這個公設之所以引起廣泛討論，是因為它不像其他公理和公設那樣簡潔。歐幾裏得本人對這個假設並不滿意。他在證明了所有不需要平行公設的定理後使用了它。他懷疑它可能不是壹個獨立的公設，它可能被其他公設或公理所取代。從古希臘時代到19世紀的2000多年裏，數學家們壹直在擔心這個公設，他們壹直在不懈地試圖解決這個問題。數學家主要沿著兩條研究途徑前進:壹條途徑是找到壹條更自明的途徑。另壹種方法是試圖從其他九個公理和公設中推導出平行公設。沿著第壹條路找到的第五公設的最簡單的表達式是蘇格蘭數學家J，Play Fair 1748-1819在1795中給出的:“越過直線，只有壹條直線與原直線平行”，這是我們今天中學課本中使用的平行公理，但實際上古希臘數學家普羅克洛斯在5世紀就陳述過了。然而，問題是所有這些替代公設並不比最初的第五公設更容易被接受和“自然”。歷史上第壹個主要嘗試證明第五公設的是古希臘天文學家托勒密(約公元150)。後來普羅克洛斯指出，托勒密的“證明”無意中假設了只有壹條直線可以平行於直線之外的已知直線，這就是上面提到的Prefil公設。
1.2問題的解決方案
1.2.1非歐幾何的萌芽
沿著第二條路論證第五公設的工作在18世紀取得了突破。首先，意大利人塞開裏(Saccharn 1667-1733)提出用歸謬法證明第五公設。塞開裏從四邊形ABCD開始。如果角A和角D是直角且AC=BD，則很容易證明角C等於角D(2)銳角假設:角C和角D都是銳角。最後，在銳角假設下，塞開裏推導出壹系列結果，這些結果使他放棄了最終結論，因為這與他的經驗相反。但客觀上為非歐幾何的建立提供了壹種非常有價值的思路。它開辟了壹條不同於前人的新路。後來，瑞士數學家朗伯(拉姆比TR 1728-1777)做了與塞開裏類似的工作。他還考察了壹種四邊形，其中三個角是直角，而第五個角有三種可能:直角、鈍角、銳角。他還得出“三角形的面積取決於它的內角之和；三角形的面積與角的差和內角的和成正比。他認為只要壹組假設不互相矛盾，就提供了壹種幾何可能性。法國著名數學家勒讓德(A.M .，Legendar 1752-1833)也非常關註平行公設，他得到了壹個重要定理:“三角形的內角之和不能大於兩個直角”。19世紀初，德國人施韋卡特(1780-1859)把這種思想說得更清楚了。他通過對“星形幾何”的研究指出:“有兩種幾何:狹義幾何(歐幾裏得幾何)星形幾何，在後壹種中，三角形有壹個特點。
1.2，2非歐幾何的誕生
上面提到的壹些數學家，尤其是朗伯，是非歐幾何的先驅，但他們並沒有正式提出壹種新的幾何，並建立其系統的理論。著名的數學家高斯(Gauss 1777-1855)、伯約(波爾約1802-1860)和羅巴切夫斯基(羅巴切夫斯基1793-1856)就是這樣做的。高斯是第壹個指出歐幾裏得第五公設獨立於其他公設的人。早在1792年，他就有了建立邏輯幾何的想法，其中歐幾裏得第五公設不成立。1794高斯發現，在他的幾何中，四邊形的面積與四邊形的兩個直角之和與內角之差成正比，由此推導出三角形的面積不超過壹個常數。無論頂點相距多遠，他都進壹步發展了他的新幾何，這就是所謂的非歐幾何。他堅信這種幾何學在邏輯上是不矛盾的、真實的、適用的，因此他也測量了3。
他認為山峰形成的三角形的內角之和只能在壹個大三角形中顯示出來。然而，由於儀器的誤差，他的測量失敗了。遺憾的是，高斯生前並沒有任何關於非歐幾何的著作。人們是從他死後與朋友的通信中得知他對非歐幾何的研究成果和觀點的。
2。。非歐幾何發展史的啟示
非歐幾何的誕生是自希臘時代以來數學的壹個重要創新步驟。這裏我們將沿著事物的歷史發展過程來描述這段歷史的意義。在評價這段歷史時，M. Klein說:“非歐幾何的歷史表明，數學家們以壹種驚人的形式受到了其時代精神的巨大影響。當時，塞開裏拒絕了歐幾裏得幾何的奇異定理，並斷定歐幾裏得幾何是唯壹正確的。然而，
數學本身2.1
2.1.1數學發展的相對獨立性
通過邏輯演繹建立起來的非歐幾何體系為數學的發展提供了壹個模型，使人們清楚地看到數學可以有自己的邏輯體系，可以獨立發展。數學發展的相對獨立性突出表現為:數學理論的發展往往是超前的，可以獨立於物理世界進行，超前於社會實踐並反作用於社會實踐。推動數學乃至整個科學的發展。19世紀以前，數學總是與應用數學緊密結合，即數學不能脫離實用學科而獨立發展。研究數學的最終目的是解決實際問題，但非歐幾何第壹次使數學的發展領先於實用科學，超越了人們的經驗。非歐幾何為數學創造了壹個全新的世界:人類可以運用自己的思維。按照數學的邏輯要求自由思考，所以數學應該被認為是任何不是由研究自然的需要直接或間接產生的結構。這個觀點逐漸被人們理解，導致了今天純數學和應用數學的分裂，LlJ..
2.1.2數學的本質在於它的充分自由
非歐幾何的創立，展示了人們壹直意識到卻沒有清晰理解的數學空間與物理空間的區別。數學家創造了M幾何的理論，然後決定了他們的空間觀。這種基於數學理論的空間和自然的觀點，壹般不能否認客觀世界的存在。它只是強調了壹個事實，即人們對空間的判斷所得出的壹系列結論純粹是自己的創造。物質世界的現實和這個現實的理論永遠是兩回事。正因為如此，人類探索知識、建立理論的認知活動將永無止境。非歐幾何的創立使人們認識到數學是人類精神的創造，而不是客觀現實的直接復制，這使數學獲得了巨大的成功。同時也讓數學失去了現實的確定性。數學從自然和科學中解脫出來，繼續自己的旅程。對此，m·克萊因說:“數學史的這壹階段使數學擺脫了與現實的緊密聯系，使數學本身與科學分離，就像科學與哲學分離，哲學與宗教分離，宗教與萬物有靈論和迷信分離壹樣。現在喬治·康可以用了。
2.1.3幾何概念的更新
非歐幾何的出現打破了歐幾何壹統天下的局面，幾何的概念得到了更新。非歐幾何的出現打破了這壹觀念，促使人們深入探討歐幾何乃至整個幾何的基本問題。
2.2文化和教育方面
2.2.1非歐幾何是人類敢於挑戰傳統、獻身科學的精神產物。高斯、博約和羅巴切夫斯基幾乎同時發現了非歐幾何，但他們對新幾何的態度卻不同。高斯很久以前就意識到了新幾何的存在，但他並沒有向世界宣布他的新思想。他受到康德唯心主義思想的影響。不敢挑戰歐幾裏得幾何，持續了2000a年，耽誤了非歐幾裏得幾何的誕生。博約致力於平行公設的研究，最終發現了新的幾何。還有壹個故事。當高斯決定對他的發現保密時，博約急於通過高斯的評估將他的研究公之於眾。然而，高斯給父親F·博約回信說:“贊美他就等於贊美我自己。全篇的內容。人們認為高斯想剽竊自己的成果，尤其是在羅巴切夫斯基關於非歐幾何的著作發表後，他決定不再發表任何論文。
羅巴切夫斯基的新幾何思想在1826年沒有得到同時代人的理解和贊揚，反而受到了諷刺和攻擊。“但是沒有任何力量可以動搖羅巴切夫斯基的信心。他就像矗立在大海中的燈塔，驚濤駭浪的沖擊顯示了他的剛毅意誌。他壹生都在為新思想而奮鬥。失明時，他還聽寫了潘幾何。
3.發現新幾何的過程啟示我們:只有突破對傳統和權威的迷信，才能充分發揮科學創造力；只有勇於吃苦，獻身科學，才能追求和捍衛超越時代的真理。壹般認為，高斯、博約和羅巴切夫斯基同時發現了新幾何，這是人們對歷史的正義，但人們更願意稱之為羅氏幾何，這正是人們獻給羅巴切夫斯基的科學。
來自精神的高度贊揚。
2，2，2非歐幾何的精神促使人們建立壹種寬容和包容的產物。
非歐幾何的建立解放了人類的思想，新的思想不斷湧現。“數學是作為人類思想的自由創造而出現的”5]。數學的發展使康托爾由衷地說，“數學的本質在於它的自由”。這種思想活躍民主的藝術氛圍，使得數學以前所未有的速度發展。非歐幾何的曲折建立和由此帶來的數學發展，使人們認識到自由是創造出來的，百家爭鳴。
2.3哲學思考
2.3.1認識論變化
法國哲學家、數學家亨利·龐加萊說7:非歐幾何的發現是壹場認識論革命的根源。簡而言之，人們可以說這壹發現成功地打破了傳統邏輯所要求的、束縛任何理論的困境:即科學的原理要麽是必然真理(先驗綜合的邏輯結論)；要麽是斷言的真理(感官觀察的事實)。他指出:原則可能是簡單武斷的約定，但這些約定絕不是與我們的內心和本性無關的。它們只能靠所有人的默契而存在，它們緊密依賴於我們生活的環境中的實際外部條件。事實上，也正因為如此，對於探索未知的或目前無法感知的事物，在哲學領域，我們可以基於對自然的理解而達成某種“默契”，這是理解壹切的開始和基礎。另外，在理論評價上，我們放棄非此即彼的判斷，愛因斯坦說[8]:這個非此即彼的判斷是不正確的。這些法官和數學家的判斷，對思想和理論的建立，尤其是對認識論的建立，無疑是最直接的影響。現代進壹步的理論和技術進步離不開其內在影響，如“相對論”的出現，特別是對時空的進壹步認識，集合論的建立和發展，現代分析基礎、數理邏輯、量子力學等學科都可以看作非歐幾何的直接成果。非歐幾何的建立所帶來的震動至今沒有消失。
2.3.2打破人類的傳統思維方式
分析和評價壹個理論的首要依據應該是看它是否“相容”，即是否已經或將要得出矛盾的結論，如果壹個理論不能“自圓其說”。說明這個理論只是對人類經驗的簡單表述和列舉，還沒有進化到“理論”的高度；或者至少需要進壹步完善。本來，非歐幾何和歐幾何理論的前提是矛盾的，而歐幾何已經被普遍接受。接受非歐幾何是否必然導致這樣的問題，矛盾的前提是否壹定能導致矛盾的結果？傳統的思維方式認為這是確定的，即矛盾的前提必然導致矛盾的結果。接受非歐幾何就意味著突破這種傳統思維方式的束縛。隨著時間的推移，特別是非歐幾何成果的廣泛應用，人們意識到在建立理論的過程中，我們不能保證矛盾的前提會導致矛盾的結果。因此，在建立理論的過程中，尤其是在推導某壹結論的過程中，兼容性是必要的。
2-4對數學研究人員
2.4.1勇敢面對科學探索路上的風暴。
在科學探索的征途上，壹個人經受住壹時的挫折和打擊並不難。難的是要有在逆境中長期甚至終身奮鬥的勇氣。羅巴切夫斯基的新理論違背了兩千多年的傳統思維，動搖了歐幾裏得幾何的權威基礎，也違背了人們的“常識”。他的理論壹發表，就在社會上遭到嘲笑、攻擊，甚至侮辱和謾罵。大主教宣稱他的理論是“異端邪說”；大多數權威稱羅巴切夫斯基的理論為“偽科學”和“笑話”；即使是心地善良的人，最多也只能抱著“對壹個錯誤的怪人寬容抱歉的態度”；甚至許多著名的作家都起來反對這種新的幾何學。比如德國詩人歌德在他的名著(浮士德)中寫過這樣壹首詩:“有幾何，日名‘非歐’，我自己也笑得莫名其妙。”面對各種攻擊和嘲笑，羅巴切夫斯基無所畏懼，不屈不撓。他就像矗立在大海中的燈塔。它顯示了壹個科學家“追求科學需求的特殊勇氣”。羅巴切夫斯基堅信自己理論的正確性，並為此奮鬥了壹生。自1826年出版《非歐幾何體系》以來，他先後出版了《幾何原本》等八本書。去世前，他在洛杉磯幾乎雙目失明，還用俄語和法語口述了他的代表作《潘幾何》。羅巴切夫斯基壹生都在逆境中奮鬥。對於壹個數學家，尤其是壹個有聲望的學術專家來說，正確識別那些已經成熟或具有明顯現實意義的科技成果並不困難。很難及時識別FF。那些尚未成熟或其實際意義尚未揭示的科學成果。數學的發展絕不是壹帆風順的。更多的時候，是充滿了仿徨，徘徊，經歷艱難曲折，甚至面臨更多的危機。每壹個科學T的作者都應該勇於在逆境中堅韌不拔。
科學探索者應該是科學領域新事物的堅定支持者。
2_4_2正確看待數學領域的成就
數學是壹門歷史的或高度積累的學科。重大的數學理論總是建立在繼承和發展原有理論的基礎上。它們不僅會推翻原有的理論，還會壹直包含原有的理論。比如非歐幾何，可以看作是歐幾何的延伸。所以有數學史家認為“在大多數學科中，壹代人的架構被下壹代人拆除，壹個人的創造被下壹代人摧毀。只有數學，每壹代人都給老建築“1”加壹層樓。克萊因在考察第五公設研究的歷史，特別是18 ~ 19世紀非歐幾何由“潛在”向“顯在”轉化的歷史過程時，指的是:“數學的任何壹個大的分支或壹個大的特殊成就。壹些決定性的步驟或證明，都可以歸於個人。這種數學積累特別適合於非歐幾何。“事實上，從《幾何原本》到19世紀，第五公設問題就像磁鐵壹樣吸引和激勵著歷代天才數學家為之奮鬥。這就形成了科學史上時間跨度最長、成員數量最多的局面。在這種同構中，數學家們相互交流思想，交流研究成果，評價研究成果，形成了壹個不斷競爭和激勵的體系。羅巴切夫斯基也從他的前輩和他自己的失敗中受到啟發，這使他大膽地思考:可能根本沒有第五公設的證明。所以他改變了主意。著手尋找第五公設的不可證解。正是沿著這條路，羅巴切夫斯基在試圖證明不可證明的第五公設的過程中，發現了壹個新的幾何世界。也可以說，羅氏幾何的M現在歸功於塞開裏和蘭伯特對第五公設的研究。在數學領域越來越細化的今天，精通多個領域的數學家越來越少。所以數學研究者要團結起來，互相交流。以平和的心態對待成績，不驕不躁。
2.5數學教師和數學學習者
2.5.1在提問和提出難題中培養創新思維。
羅巴切夫斯基認為，作為壹名優秀的數學老師，教數學必須精確嚴謹，所有的概念都應該完全清晰。因為在他看來，數學課程是以概念為基礎的，尤其是幾何，他在備課中通過對歐幾裏得幾何的邏輯結構的全面思考，發現了其邏輯體系的缺陷。他非常困惑。他決心在教學實踐中消除這些缺陷。後來他確實寫過壹本幾何教材《幾何教程》(1883)。他不僅在教科書中形成並實施了他的非歐幾何思想，而且還談到了非歐幾何。
他的研究總是與教學活動相結合。他的很多關於非歐幾何的定理都是在教學過程中從M中推導出來的，並在學生之間進行交流、修改和完善。我們可以肯定地說，他創造非歐幾何的偉大成就，是從幾何教育改革的角度出發的。這是壹個數學教育家取得重大突破的成功範例。正如數學史家博爾加斯所指出的，“羅巴切夫斯基希望建立壹種教學方法意義上的新幾何”，“這是他改革新幾何的壹個重要原因”。“他對教學方法的探討獲得了科學的結論，這是人類研究和征服周世界的新途徑”。所以作為21世紀的數學老師，要在平時的教學過程中不斷學習這個。在教學中引導學生拓寬思維，重視發散思維；教師要選取壹些典型問題，鼓勵學生創新，大膽猜測和探索，培養學生的創新意識。
2.5 _ 2在教學中培養學生的創新思維
起初，羅巴切夫斯基試圖按照他的前輩們的想法來證明第五公設。在僅存的學生聽課筆記中，記錄了他在1816-1817學年幾何教學中給出的幾個證明。但是他很快意識到證明是錯誤的。他的前任和他自己的失敗從反面激勵了他。讓他大膽思考的相反提法:可能根本沒有第五公設的證明。於是，他改變了主意，著手尋找第五公設的不可證解。正是沿著這條路，羅巴切夫斯基在試圖證明無法證明的第五公設的過程中，發現了壹個新的幾何世界。“學習始於思考，思考來源於疑問”，我們探索知識的思維過程總是從問題出發，在解決問題中發展。教師也有必要激發學生質疑和提出難題。在教學中，應該鼓勵學生提出他們在學習過程中遇到的問題，並與同學討論，讓學生有機會充分表達自己。首先，他們應該提供相同的想法來解決不同的問題，然後他們應該提出個人條件的變化，要求新的想法來解決這些問題，從而打破原有的思維模式，使他們的思維靈活而富有創造性。
2.5.3非歐幾何史對大學生學習數學的意義。
大學生可以通過數學文化的學習，了解人類社會發展與數學的互動關系，了解數學發生發展的必然規律；從數學的角度理解人類認識客觀世界的過程；培養求知、求真、勇於探索的情感和態度；了解數學的系統性、嚴謹性和普遍性，了解數學真理的相對性；提高學習數學的興趣。非歐幾何的誕生和發展是曲折而艱辛的，數學家們為此付出了巨大的努力。對今天和未來的數學學習者有著深遠而積極的意義和影響。知識學習
而只有通過不斷的創新和探索，才能創造新的知識，發現新的知識領域。
“讀史使人明智”，學習非歐幾何的發展史，對於揭示數學知識的現實來源和應用，引導學生體驗真實的數學思維過程，營造探索研究的數學學習氛圍，都是非常重要的。
對激發學生對數學的興趣，培養探索精神具有重要意義。
非歐幾何的生成
19世紀20年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中走了另壹條路。他提出了壹個與歐洲平行公理相矛盾的命題，用它代替了第五公設，然後與歐洲幾何學的前四公設結合起來，形成了壹個公理體系，展開了壹系列的推理。他認為，如果基於這個體系的推理存在矛盾，就相當於證明了第五公設。我們知道這其實就是數學中的歸謬法。
然而，在他細致深入的推理過程中，他提出了壹個又壹個直覺上荒謬，但邏輯上矛盾的命題。最後，羅巴切夫斯基得出了兩個重要結論:
首先，第五公設不能被證明。
其次，新公理體系中的壹系列推理產生了壹系列邏輯上不矛盾的新定理，形成了新的理論。這個理論和歐幾裏得幾何壹樣完美嚴謹。
這種幾何叫做羅巴切夫斯基幾何，或簡稱羅氏幾何。這是第壹個提出的非歐幾何。
從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何中，我們可以得出壹個極其重要且普遍的結論:壹組邏輯上矛盾的假設可能提供壹種幾何。
幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何的同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾斯也發現了不可證明的第五公設和非歐幾何的存在。在學習非歐幾何的過程中，寶爺也受到了家人和社會的冷遇。他的父親，數學家鮑耶·法卡什認為研究第五公設是壹件浪費精力、白費力氣的傻事，勸他放棄這類研究。但鮑耶·雅諾斯堅持努力發展新幾何。最後在1832，在他父親的壹本書中，研究成果以附錄的形式發表。
當時被稱為“數學王子”的高斯也發現第五公設無法證明，研究非歐幾何。但高斯害怕這壹理論受到當時教會勢力的攻擊和迫害，不敢公開發表自己的研究成果。他只是在信中向朋友們表達自己的觀點，而不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基和鮑耶的新理論。
羅氏幾何
羅氏幾何的公理體系與歐幾裏德幾何的區別僅在於歐幾裏德幾何的平行公理被替換為“從壹條直線外的壹點，至少可以有兩條直線平行於這條直線”，其他公理基本相同。由於平行公理的不同，通過演繹推理，導出了壹系列與歐氏幾何內容不同的新幾何命題。
我們知道，羅氏幾何采用了歐洲幾何的所有公理，除了壹個平行公理。因此，任何不涉及平行公理的幾何命題，如果在歐氏幾何中是正確的，在羅氏幾何中也是正確的。在歐洲幾何中，所有涉及平行公理的命題在羅氏幾何中都不成立，它們都相應地有了新的含義。這裏有幾個例子來說明:
黎曼幾何
歐氏幾何和羅氏幾何關於組合、序列、連續、收縮的公理是相同的，但是平行公理是不同的。歐洲幾何說“直線外的壹點上，只有壹條直線與已知直線平行”。羅氏幾何說“直線外的壹點至少有兩條直線與已知直線平行”。那麽是否存在“過直線外的壹點，不能與已知直線平行”的幾何呢？黎曼幾何回答了這個問題。
德國數學家黎曼創立了黎曼幾何。他在1851所作的壹篇論文《論幾何作為基礎的假設》中明確提出了另壹種幾何的存在，開啟了幾何學新的廣闊領域。
黎曼幾何中的壹個基本規律是，同壹平面上的任意兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何中，不承認平行線的存在，它的另壹個公設說直線可以無限延伸，但總長度是有限的。黎曼幾何的模型是經過適當“改良”的球面。
現代黎曼幾何在廣義相對論中得到了廣泛的應用。物理學家愛因斯坦廣義相對論中的空間幾何是黎曼幾何。在廣義相對論中，愛因斯坦放棄了時空統壹的想法。他認為時間和空間只是在壹個足夠小的空間內近似壹致，而整個時間和空間是不均勻的。物理學上的這種解釋和黎曼幾何的概念完全相似。
此外，黎曼幾何也是數學中的重要工具。它不僅是微分幾何的基礎，而且應用於微分方程、變分法和復變函數論。
不同的假設
同壹直線的垂線和對角線相交。
垂直於同壹直線的兩條直線互相平行。
還有類似的多邊形。
穿越不在壹條直線上的三點可以做，只能做壹個圓。
羅氏幾何
同壹直線的垂線和對角線不壹定相交。
垂直於同壹條直線的兩條直線，當兩端都延長時，分散到無窮遠。
沒有相似的多邊形。
過不在同壹條直線上的三點，不壹定能成圓。
從上面列舉的羅氏幾何的壹些命題可以看出，這些命題與我們習慣的直觀形象是矛盾的。所以羅氏幾何中的壹些幾何事實並不像歐洲幾何那樣容易被接受。但是，數學家提出我們可以用我們習慣的歐洲幾何中的事實作為直觀的“模型”來解釋羅氏幾何，這是正確的。
1868年，意大利數學家貝特拉米發表了壹篇著名的論文《解釋非歐幾何的嘗試》，證明了非歐幾何可以在歐氏空間的曲面(如準球面)上實現。也就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾何命題。如果歐幾裏得幾何沒有矛盾，非歐幾裏得幾何自然也沒有矛盾。
既然人們承認歐幾裏得沒有矛盾，自然也就承認非歐幾裏得幾何沒有矛盾。直到這時，長期被忽視的非歐幾何才開始得到學術界的廣泛關註和深入研究，而羅巴切夫斯基的原創性研究得到了學術界的高度評價和壹致稱贊，他本人也被譽為“幾何中的哥白尼”。
三種幾何的關系
歐幾裏得幾何、羅氏幾何和黎曼幾何是三種不同的幾何。這三種幾何的所有命題構成了壹個嚴格的公理系統，公理滿足和諧性、完備性和獨立性的要求。所以這三個幾何都是對的。
在我們適度的空間裏，也就是在我們的日常生活中，歐洲幾何是適用的；在宇宙或核世界中，羅氏幾何更符合客觀實際；黎曼幾何在研究地球表面的航海、航空等實際問題時更加精確。
我找得太累了。。。。。。。樓主壹定要給分。。。。。。。。我把我的回答分成了幾段。。。。每天只看壹點點。。。。累得要命。。。。不給我就太不人道了。。。。。。。。。。。。