[編輯此段]萊昂哈德·歐拉-投稿
“歐拉的計算似乎毫不費力，就像壹個人呼吸，像壹只鷹在風中盤旋(在阿拉戈)。倫納德·歐拉(1770-1783)的這封信，對於他無與倫比的數學天賦來說，壹點也不為過。他是歷史上最多產的數學家。他的同時代人稱他為“分析的化身”。歐拉寫壹篇長長的學術論文就像壹個反應敏捷的作家給壹位密友寫信壹樣容易。即使他在生命的最後17年完全失明也沒能阻止他巨大的生育能力。如果說失明有什麽影響的話，那就是改善了他內心世界的思維想象力。直到1936，人們才確切知道歐拉到底寫了多少作品。但預計出版歐拉文集需要60到80卷。65438年至0909年，瑞士自然科學聯合會著手收集和出版歐拉文集的學術論文。這項工作得到了全世界許多個人和數學團體的資助。這恰恰說明歐拉屬於整個文明世界，而不僅僅是瑞士。為這部作品精心準備的預算(1909硬幣約80000美元)被聖彼得堡(列寧格勒)大量歐拉手稿的意外發現徹底打破。
[編輯此段]萊昂哈德·歐拉-迪茲
歐拉的數學生涯始於牛頓去世的那壹年。對於歐拉這樣的天才來說，不可能選擇壹個更有利的時代。解析幾何(1637)應用了90年，微積分應用了50年左右，物理天文學的關鍵——牛頓萬有引力定律，在數學中放在人們面前用了40年。在這些領域中的每壹個領域，大量孤立的問題都得到了解決，並且各地都進行了明顯的統壹它們的嘗試。但是還沒有像後來那樣對整個數學、純數學、應用數學進行過系統的研究。特別是德克拉特斯、牛頓和萊布尼茨的強有力的分析方法，並沒有像後來那樣得到充分的利用，特別是在力學和幾何中。當時的代數和三角學已經系統化，在較低的層次上展開。尤其是後者，已經得到了基本的改善。在費馬的丟番圖分析和壹般整數性質領域，不可能有這種“暫時的完美”(即使是現在)。但在這方面，歐拉也證明了自己確實是大師。事實上，歐拉多面性天賦的壹個最顯著的特點是，他在數學的兩個分支——連續數學和離散數學上具有相同的能力。作為壹名算術家，歐拉從未被任何人超越。也許除了雅各比，沒有人能接近他的水平。算法學家是設計算法來解決各種特殊問題的數學家。舉個很簡單的例子，我們可以假設(或者證明)任何壹個正實數都有壹個實平方根。但是怎麽才能算出這個根呢？已知的方法有很多，算法科學家應該設計切實可行的具體步驟。比如，在丟番圖分析和積分學中，在壹個或多個變量被其他變量的函數巧妙地(往往是簡單地)變換之前，往往無法解決問題。算法學家是數學家，他們自然會發現這個竅門。他們沒有任何相同的程序可循。算法學家就像可以隨便作打油詩的人——他們是天生的，不是後天培養的。目前時尚鄙視“小算術家”。然而，當壹個真正偉大的算術家，如印度的羅·馬努·闊，突然從某個地方冒出來時，即使是經驗豐富的分析家也會歡呼他是上天的禮物:他對看似無關的公式的神奇洞察力將揭示從壹個領域通向另壹個領域的隱藏線索。以便分析者能為他們找到新的話題來找出這些線索。算法學家是“公式主義者”，他們喜歡漂亮的形式是為了公式本身。
[編輯此段]萊昂哈德·歐拉——影響他的兩個因素
在談論歐拉寧靜而有趣的生活之前，我們必須介紹他那個時代的兩個環境因素，這兩個環境因素促進了他驚人的活躍，並指導了他的活動。在18世紀的歐洲，大學並不是學術研究的主要中心。如果沒有古典主義的傳統及其對科學研究可以想象的敵意，大學本可以成為主要的中心。數學對古代人來說足夠嚴謹，受到重視；物理比較新，被人懷疑。此外，在當時的大學裏，數學家們被期望將大部分精力投入到基礎教學中。至於學術研究，如果進行的話，那將是壹種無用的奢侈，就像今天美國普通高校壹樣。那時候英國大學的科研人員已經可以相當好的做自己選擇的課題了。然而，他們很少願意選擇任何話題。反正他們有什麽成就或者沒有成就，都不會影響他們的飯碗。在這樣的放松，或者說公開的敵意下，沒有很好的理由來解釋為什麽那些大學本應該在科學發展上領先，而事實上卻沒有。帶頭的責任由慷慨或有遠見的統治者資助的皇家學院承擔。普魯士的腓特烈大帝和俄國的凱瑟琳女皇對數學慷慨地給予了死不悔改的支持。他們使數學的發展有可能處於科學史上最活躍的時期長達整整壹個世紀。對歐拉來說，是柏林和聖彼得堡提供了數學創造的力量。而這兩個創造力的中心應該把對歐拉的啟發歸功於萊布尼茨的進取雄心。是萊布尼茨起草了這個計劃。這兩個學院為歐拉提供了成為歷史上最多產的數學家的機會。所以，從某種意義上說，歐拉是萊布尼茨的後代。由於缺乏大腦，柏林科學院已經衰落了40年。在腓特烈大帝的鼓勵下，歐拉給了它強大的沖擊力，讓它重新煥發了生機。彼得大帝生前沒來得及按照萊布尼茨的計劃建立的聖彼得堡科學院，是他的繼任者建立起來的。這兩個院不像今天的壹些院，不以對寫得好的優秀作品進行評審、授予院士資格為主要職責。他們是聘請院士進行科學研究的研究機構。工資和津貼很豐厚，足以保證壹家人過上舒適的生活。歐拉家壹度不下18，他足以讓他們都過上富足的生活。18世紀院士生活吸引人的最後壹點是，只要他的子女有什麽天賦，就壹定會得到很好的施展機會。接下來，我們將看到對歐拉豐碩的數學成果有決定性影響的第二個因素。提供經濟支持的統治者自然希望自己的錢能換來抽象文化之外的東西。但是，必須強調的是，壹旦統治者的投資得到了適當的回報，他們就不再堅持讓被雇傭者把剩下的時間花在“生產性”的工作上。歐拉、拉格朗日等院士可以自由地做自己喜歡的事。沒有明顯的壓力去強迫任何人生產壹些政府可以直接使用的東西。18世紀的統治者比今天的許多研究所所長更明智，讓科學按照自己的規律發展，但偶爾也會提到自己目前需要什麽。他們似乎本能地意識到，所謂“純粹”的研究，只要時不時地做出適當的暗示，就會讓他們所期待的迫切的實際問題成為副產品。這個壹般的說法有壹個重要的例外，既不證明也不否定這個規律。恰好在歐拉的時代，數學研究中尚未解決的問題恰好與海上霸權有關，這在當時或許是頭等實際問題。壹個在航海技術上勝過所有對手的國家，必然會控制海洋。航海的第壹個問題就是要精確地確定艦船在離岸數百海裏的大海中的位置，使其能夠比敵人更快地到達海戰的地點(可惜，就是為了這個)。眾所周知，英國控制著海洋。它能做到這壹點，很大程度上是因為它的航海家能夠在18世紀將天體力學中的純數學研究成果應用於實踐。這樣的實際應用與歐拉直接相關。牛頓是現代航海的創始人，雖然他自己從來沒有為這個問題煩惱過，也從來沒有(據人們所知)踏上過船的甲板。確定壹艘船在海上的位置取決於對天體的觀測(有時這包括特殊航程中木星的衛星)。牛頓萬有引力定律表明，如果有必要，有足夠的耐心，可以在百年內提前計算出行星的位置和月相盈虧。那些希望控制海洋的人將安排航海天文歷的計算器努力工作來編制行星未來位置的表。在這個非常實際的事業中，月球提出了壹個特別棘手的問題，就是牛頓定律吸引三顆星的問題。當我們進入20世紀，這個問題會多次重現。歐拉是第壹個針對這個月球問題提出可計算解(月球理論)的人。三顆相關的星星是月亮、地球和太陽。雖然這個問題在這裏沒什麽好講的，會推到後面幾章，但是我們可以說這個問題是整個數學範疇中最難的問題之壹。歐拉沒有具體回答這個問題，但他的近似計算方法(今天被更好的方法所取代)具有足夠的實用價值，足以使英國的計算器為英國海軍部算出月表。為此，計算器得到了5000英鎊(這在當時是壹筆相當大的數目)，歐拉因他的方法得到了300英鎊。
[編輯此段]萊昂哈德·歐拉——年輕的歐拉
LeonardEuler，PaulEuler和MargueriteBrucker的兒子，大概是瑞士最偉大的科學家。他出生在巴塞爾。但第二年，我和父母搬到了附近的裏臣村。在那裏，他的父親成為了壹名加爾文主義牧師。保羅·歐拉本人就是壹位有成就的數學家。他是雅各布·伯努利的學生。父親希望倫納德走自己的路，繼承他在鄉村教堂的職位。但是，謝天謝地，他在教這個男孩數學時犯了壹個“錯誤”。年輕的歐拉很早就知道自己應該做什麽。但他對父親很孝順，所以去了巴塞爾大學學習神學和希伯來語。這時，在數學上有相當水平的歐拉引起了約翰內斯·伯努利的註意。他熱情地每周給這個年輕人單獨上壹次課。歐拉利用壹周的剩余時間預習下壹課，這樣在聽老師講課的時候，難題就越少越好。很快，他的勤奮和傑出的能力引起了丹尼爾·伯努利和尼古拉·伯努利的註意，他們成了歐拉的摯友。倫納德直到1724歲拿到碩士學位才開心起來，因為在此之前，他的父親堅持要他放棄數學，把所有時間花在神學上。只是當這位父親聽到伯努利和他的兒子說他的兒子註定要成為壹名偉大的數學家而不是李星的牧師時，他才最終讓步。伯努利父子的預言實現了，但歐拉早期的宗教訓練影響了他的壹生。他從未放棄壹點加爾文主義的信仰。到了晚年，他甚至在相當程度上轉向了父親的生意。他帶領全家人做家庭祈禱，通常以布道結束。歐拉的第壹份獨立工作是在19歲完成的。據說，這第壹項成就也揭示了他後來許多工作的優缺點。1727，巴黎科學院針對船舶桅桿問題提出獎勵。歐拉的論文沒有獲獎，卻受到了表揚。他後來通過贏得12獎金彌補了這壹損失。他工作的特長在於分析——技術數學；它的弱點是太脫離現實，如果有的話。如果我們還記得瑞士海軍的傳奇笑話，就不會對後者感到奇怪了。歐拉可能在瑞士的湖裏見過壹兩艘船，但他從未見過軍艦。他有時因使數學脫離現實而受到批評。這沒有錯。對於歐拉來說，物質世界正是數學所需要的，但它本身並不是壹件很有趣的事情。如果世界和他的分析不壹致，那就是世界有問題。歐拉知道自己生來就是數學家，於是申請了巴塞爾的教授職位。在找不到工作後，他繼續他的學業，希望能與聖彼得堡的丹尼爾·伯努利和尼奧拉之墓古拉·伯努利有所接觸。伯努利兄弟熱情地提出在聖彼得堡科學院給他找個職位，讓他及時了解那裏的情況。在這個階段，歐拉似乎對自己做的事情漠不關心，只要是科學。當伯努利兄弟寫信告訴他聖彼得堡科學院醫學系將有壹個空缺時，歐拉在巴塞爾投身於生理學的研究，並參加了醫學報告會。然而，即使在這個領域，他也無法脫離數學:聽覺生理學提出了壹些數學研究問題，比如輪流以波傳播聲音。這部早期作品像噩夢中瘋狂生長的樹壹樣分支擴張，貫穿了歐拉的壹生。伯努利兄弟是敏捷的人。1727年，歐拉收到了去聖彼得堡做科學院醫學部成員的邀請。根據壹個巧妙的規則，每個外國成員必須帶兩個學生——實際上是實習生。可憐的尤拉，喜悅很快消失得無影無蹤。在他踏上俄羅斯土地的那壹天，開明的凱瑟琳壹世女王去世了。葉卡捷琳娜在成為彼得大帝的妻子之前是他的情婦。從不止壹個方面來看，她已經是壹個心胸開闊的人了。正是她，在任職僅兩年後，實現了彼得建立科學院的願望。葉卡捷琳娜死後，在小沙皇還未成年的時候，權力就落入了壹個非常專制的集團手中(也許是運氣好，小沙皇還沒來得及掌權就去世了)。俄羅斯的新統治者將科學院視為不必要的奢侈品，幾個月來甚至計劃將其砍掉，並將所有外國院士遣送回國。這是歐拉到達聖彼得堡時發生的事情。在混亂中，沒有關於他被邀請在醫療部門擔任的職位的消息。絕望中，他差點接受了海軍上尉的頭銜，然後他溜進了數學系。之後，條件好了，歐拉就專心工作了。六年來，他壹直沈浸在書本中。這並不完全是因為他被數學吸引，部分原因是因為到處都有間諜，這讓他不敢進行正常的交流活動。
[編輯此段]萊昂哈德·歐拉——軼事
1733年，丹尼爾·伯努利受夠了神聖俄國的苦難，回到了自由的瑞士。26歲時，歐拉獲得了科學院的第壹個數學席位。他覺得自己以後的生活就固定在聖彼得堡了，於是決定結婚，安定下來，順其自然。他的妻子凱瑟琳娜是被彼得大帝帶回俄羅斯的畫家格塞爾的女兒。後來，政治形勢變得更糟了。歐拉不顧壹切地想要逃離，但隨著孩子很快壹個接壹個地出生，他感到越來越被束縛，他去無休止的工作中尋求安慰。壹些傳記作者將歐拉巨大的生產力追溯到他第壹次生活在俄羅斯的時候；平常的謹慎，迫使他成為了壹種牢不可破的努力習慣。歐拉是幾個可以在任何地方、任何條件下工作的偉大數學家之壹。他很喜歡孩子(他自己曾經有過13個孩子，但除了5個都夭折了)。當他寫論文時，他經常把壹個嬰兒抱在腿上，而大孩子在他周圍玩耍。他用難以置信的輕松寫出最難的數學作品。許多關於他才華橫溢的傳說流傳至今。有些無疑是誇張的，但據說歐拉經常在兩次請他吃飯的時候，半個小時左右就開出壹篇數學論文。文章壹寫完，就被放到不斷增加的書稿堆裏，供印刷商使用。當《科學院學報》需要材料時，印刷者從最上面的壹堆中拿走。因此，這些文章的出版日期經常與寫作順序相反。由於歐拉習慣於反復做壹個主題，以此來理解或擴展他已經做過的事情，所以這種惡的結果更加嚴重，以至於有時會以相反的順序發表壹系列關於壹個主題的文章。1730年，小沙皇死了，安娜·阿爾瓦諾夫娜(彼得的侄女)成了皇後。就科學院而言，它的工作要活躍得多。在安娜最喜歡的歐內斯特·約翰·德·比隆的間接統治下，俄羅斯遭受了歷史上最血腥的恐怖統治。10年，歐拉默默地埋頭工作。在此期間，他遭受了第壹次巨大的不幸。為了獲得巴黎獎，他致力於壹個天文問題，幾個有影響的數學家花了幾個月才算出來(因為高斯也出現過類似的問題，這裏就不介紹了)，三天後歐拉就解決了。然而，過度勞累使他得了壹種疾病，在這種疾病中，他失去了右眼。需要說明的是，懷疑數學史上所有軼聞的現代考證已經指出，歐拉右眼失明根本不能歸咎於那個天文問題。至於壹個有學問的考證學者(或者其他什麽人)怎麽會對所謂的因果律知道那麽多，對於大衛·休謨(歐拉同時代的人)來說，這是壹個有待解決的秘密。先仔細說說著名的歐拉和無神論者(也許是泛神論者)法國教授丹尼斯迪羅特(1713-1784)的故事。這個有點不按時間順序，因為發生在歐拉第二次在俄羅斯居留期間。狄德羅受凱瑟琳二世女王之邀參觀宮廷，靠向朝臣宣傳無神論為生。葉卡捷琳娜覺得無聊，就讓歐拉讓這個自吹自擂的哲學家閉嘴。這很容易，因為整個數學對狄德羅來說是壹個謎。德摩根講過這個故事(在他的代表作(悖論集)，1872):狄德羅被告知，壹位博學的數學家有上帝存在的代數證明。如果他想聽，數學家會在整個法庭面前宣布。狄德羅愉快地同意了。.....歐拉來到狄德羅面前，用自信的口吻鄭重地說:“先生，因為，因此，上帝是存在的。請回答！”這讓狄德羅聽起來很有道理。這個可憐的人被尷尬的沈默所羞辱，不得不要求葉卡捷琳娜立即返回法國。女王慷慨地答應了他。歐拉並不滿足於這部傑作，他極其嚴肅地用靈魂這種無形物質的莊嚴證明來畫蛇添足。據說這兩個證明當時被寫進了神學論文。就欣賞現實而言，這些大概是歐拉才華最傑出的代表作品。歐拉在俄羅斯生活的時候，數學本身並沒有用盡他所有的能力。無論他在哪裏被要求以壹種不太遠離純數學的方式展示他的數學才能，他都讓政府的錢花得值。歐拉為俄國學校編寫了壹些初等數學教科書，管理政府的地理部門，幫助改革度量衡，設計了檢驗天平的實用方法。這些只是他所有活動的壹部分，但不管歐拉做了多少其他工作，他總能在數學上出成果。這壹時期最重要的作品之壹是1736中的壹篇關於力學的論文。註釋中沒有出版日期，但有壹個標記，標誌著德克拉特斯出版解析幾何壹百周年。歐拉的論文對力學的貢獻就像德賴斯的論文對幾何學的貢獻壹樣，擺脫了綜合證明的束縛，使其成為解析的。牛頓的(原理)可以由阿基米德寫出；歐拉的力學不是任何壹個希臘人能寫出的。強大的微積分最初被引入力學，它進入了壹個創建基礎科學的現代時期。在這方面，歐拉後來被他的朋友拉格朗日超越，但邁出決定性步伐的榮譽屬於歐拉。1740年安娜死後，俄國政府變得更加開明，但歐拉吃夠了苦頭，愉快地接受了腓特烈大帝對柏林科學院的邀請。皇太後很喜歡歐拉，想辦法讓他多說話。她得到的只是壹個單音節的回答。“妳為什麽不和我說話？”她問。“陛下，”尤拉回答道，“我來自壹個國家，任何說話的人都會被絞死。”之後，歐拉在柏林度過了24年。生活並不總是愉快的，因為弗雷德裏克喜歡圓滑的朝臣，而不是純粹的歐拉。雖然腓特烈覺得有責任贊助數學的發展，但他看不起這門學科，自己也不熟悉。但他還是很欣賞歐拉解決硬幣、水管、運河航行、年金制度等實際問題的能力。俄羅斯從來沒有讓歐拉徹底擺脫，甚至在他在柏林的時候還給他發了壹部分工資。雖然歐拉有壹個大家庭，但他仍然很富有。除了柏林的房子，他在夏洛特堡附近還有壹個農場。1760年俄國入侵勃蘭登堡時，歐拉的農場被洗劫壹空。俄軍總司令宣稱“沒有與科學開戰”，並給予歐拉遠大於實際損失的賠償。伊麗莎白女王聽到尤拉被搶的消息後，也給了他壹筆超出賠償需要的可觀的錢。歐拉在腓特烈的宮廷中不受歡迎的壹個原因是他無法置身於哲學問題的爭論之外，而他對此壹無所知。整天只想奉承腓特烈的伏爾泰，喜歡和腓特烈身邊其他善於咬文嚼字的人壹起用形而上學的問題戲弄不幸的歐拉。歐拉拿出自己所有的好脾氣來應對，用別人的吵鬧來嘲笑自己搞笑的錯誤。但腓特烈漸漸惱火了，他開始試圖找壹個更能言善辯的哲學家來領導他的科學院，為他的宮廷增添歡樂。達朗貝爾被邀請到柏林視察情況。他和歐拉在數學上有分歧。但達朗貝爾不是那種讓個人不和影響判斷的人。他直截了當地告訴弗雷德裏克，把任何其他數學家放在歐拉之上都是壹種侮辱。這個建議只讓弗雷德裏克比以前更加憤怒和固執，歐拉的處境變得難以忍受。他覺得他的孩子在普魯士不會有前途。終於在59歲的時候(1766)，他收拾行李，在葉卡捷琳娜二世的熱情邀請下，再次搬到了聖彼得堡。葉卡捷琳娜像皇室壹樣歡迎這位數學家，給歐拉和他的18家庭成員分配了壹套家具齊全的房子，還把他的壹個廚師讓給歐拉管理他的夥食。這時，歐拉剩下的壹只眼睛開始失明(由於白內障)，他很快就完全失明了。在他逐漸喪失視力期間，拉格朗日、達朗貝爾和當時的其他偉大數學家在通信中表達了震驚和同情。歐拉本人面對失明也很淡定。毫無疑問，他深厚的宗教信仰幫助他面對未來。但他沒有讓自己屈服於沈默和黑暗，很快開始補救自己無法挽回的視力。在最後壹道光消失之前，他習慣了用粉筆在石板上寫公式，然後他的孩子們(尤其是【AlbertEuler】)成了抄寫員，然後他口述公式的解釋。他的數學新書沒有減少，反而增加了。歐拉很幸運，他壹生都有非凡的記憶力。他背誦了維吉爾的《埃涅阿斯紀》。雖然他從小就很少看這本書，但他總能說出自己版本的真實始末。他的記憶是視覺和聽覺的。他還有驚人的心算能力。他不僅能計算算術問題，還能計算需要高等代數和微積分的難題。當時整個數學領域的主要公式都準確地裝在了他的腦子裏。作為他心算能力的壹個例子，孔多塞說歐拉的兩個學生對壹個復收斂級數(壹個變量的特定值)的前65，438+07項求和，結果在第50位只有個位數的差別。為了決定哪壹對是正確的，歐拉進行了心算，人們確信他的答案是正確的。這種能力現在已經幫助了歐拉，使他少受失明之苦。但即便如此，他失明17年也是不可思議的。這就是月球運動的理論——唯壹困擾牛頓的問題——第壹次被歐拉徹底研究。整個復雜的分析過程完全是在他的頭腦中進行的。歐拉回到聖彼得堡五年後，另壹場災難降臨在他頭上。在1771的大火中，他的房子和所有家具都被燒毀了。多虧了瑞士仆人彼得·格林的勇敢，歐拉才得以幸存。格林冒著生命危險把生病的盲人大師從火中救了出來。藏書付之壹炬，多虧奧爾洛夫伯爵，歐拉的所有手稿得以保存。凱瑟琳王後立即賠償了歐拉的所有損失，他很快就回去工作了。1776年(也就是他69歲的時候)，歐拉遭受了更大的損失，他的妻子去世了。第二年，他又結婚了。第二任妻子薩洛姆·阿比蓋爾和格塞爾是第壹任妻子的同父異母姐妹。他最大的不幸是恢復左眼視力的手術失敗(很可能是因為主刀醫生的疏忽)，這原本是唯壹有壹點希望的眼睛。手術“成功”了，歐拉高興了壹陣子。但很快感染開始了，在他描述為“可怕”的疼痛之後，他又陷入了黑暗之中。回去瀏覽歐拉的卷帙浩繁的作品。乍壹看，我們可能傾向於認為任何有天賦的人都可以像歐拉壹樣輕松地充分利用它。然而，對比今天數學的情況，我們很快就會糾正我們的錯誤，並認為它是七種語言的單壹書籍。這也表明，公眾對科學的興趣不僅是最近才增加的，而且有時我們傾向於這樣想象。歐拉直到去世前壹刻都保持著充沛的精力和清醒的頭腦。那是在1783。