數學家科裏亞曾經說過，數學是什麽？數學是為了解決問題，就是把不熟悉的問題轉化成熟悉的問題。作為數學老師，解題能力很重要。很多學校在選老師的時候，都要對科目做幾道題，這是聘請老師的重要標準。作為學生，解題能力直接影響考試成績。
很多老師非常重視問題教學，把每章的習題分成幾個問題，讓學生練習各種問題的解題套路。更重要的是，典型例題講完後，要求學生能夠背誦記憶。當學生問老師如何學好數學時，“多做題”成為經典答案。多做題沒有錯，但是壹味的重復太多，除了做題不知道怎麽學數學的人，必然會忽略數學的其他教育功能，無法理解數學的本質。
事實上，大多數數學問題都是對實際問題的回應。當實際問題轉化為純數學問題時，沒有很強的解題能力是萬萬不能的。科裏亞所說的“解決問題”，當然也應該包括解決實際問題。如果能引導學生將數學所學應用於解決實際問題，不僅能提高學生在做數學和用數學中的學習興趣，還能在數學活動的過程中學到很多東西，提高學生的各種能力。
2.數學是訓練思維的體操。
數學是由數學、字母、符號和數字組成的迷宮。很多人喜歡玩迷宮遊戲。逆向思維是找到走出迷宮正確道路的關鍵。壹旦順利走出迷宮，就會被成功的快感所激動，就會去挑戰新的更復雜的迷宮。這也是數學的魅力所在，妳的思維在不知不覺中得到了訓練。可以說，數學是壹門教人聰明敏銳的學科。
但是，如果妳不知道如何在迷宮中行走，並且經常失敗，妳就會厭倦這個遊戲。我們重視數學思維的訓練，思想方法的潛移默化比知識的傳授更重要。我們要讓學生經常感受到成功，在快樂中學習數學。妳必須做體操，但妳必須走進迷宮。不動手動腦，就訓練不出思維。
3.數學是壹種語言。
數學因其自身的特點、嚴格的系統性和邏輯性推理、合理的運算規則和性質，成為宇宙間的通用語言。不需要翻譯，我們可以用數學符號語言和圖形語言來交流思想，從而達到交流的目的。
數學是精密科學和現代科技的語言。有多準確？多元變量之間有什麽關系？沒有數學語言，很難想象科學家如何向他人表達自己的想法。
因此，數學語言的培養是教學中的重要內容，經常要求學生“會說數學”。數學素養好的人，不僅表現出思維能力和思想素質，而且說話簡潔、準確、嚴密。語言只是思維的載體，思維訓練是根本，但培養數學語言的表達能力和轉化能力也很重要。
4.數學是哲學。
數學充滿了哲學，很多數學家(比如畢達哥拉斯)也是哲學家。換句話說，很多哲學觀點在數學中找到了證據，得到了體現。許多哲學家也研究數學，比如恩格斯，他的《自然辯證法》就是壹部傑出的數學論著。
對於世界觀尚未完全形成的中學生來說，學習數學會受到隱藏在數字和圖形中的哲學思想的影響。作為數學教師，要學習壹些哲學觀點和術語，在教學中註意揭示壹些辯證唯物主義觀點，既能起到畫龍點睛的作用，又能對學生進行思想教育。這種教育不是空洞的說教，而是有實實在在的科學實例，效果是永恒的。很多老師對這種天然的機會視而不見，放棄了教育學生的機會，放棄了數學教育的教育性。
5.數學是文化。
數學對象不是物質世界中的真實存在，而是人類抽象思維的產物，而文化，廣義上是指人類在社會歷史實踐過程中創造的物質財富和精神財富的總和。因此，在提到的意義上，數學是壹種文化。
像許多數學家是哲學家壹樣，許多數學家是作家。比如著名的童話《愛麗絲夢遊仙境》就是英國牛津大學的數學家寫的。俄羅斯著名女數學家科瓦利夫斯卡婭不僅在數學方面做出了巨大貢獻，還寫了壹部小說《拉耶夫斯卡婭姐妹》，這部小說被俄羅斯文學評論家認為是“在形式和思想內容上堪比俄羅斯文壇上最好的作品”。
數學中很多問題的發現和解決都有深厚的文化背景，精彩的故事背後隱藏著深刻的哲理。數學有幾千年的文化積澱，是大眾和數學家智慧的結晶。當我們學習數學的時候，我們不得不由衷地贊美人類的聰明。
數學教學不僅是傳授知識，更是向學生傳遞這些數學文化。有了這樣的認識，數學情境題和數學作文題就應運而生了。數學不僅指導自然科學，也與文學、美學相融合。
6.數學是壹門藝術。
數學中有美。流傳了幾百年的“只有美的藝術，沒有美的科學”的觀念，讓很多人認為數學只是壹個有用的工具，是“打開科學的鑰匙”，僅此而已。數學中的美是數學的美，是純粹客觀的。哪裏有數學，哪裏就有數學美。數學中的簡單美、和諧美、對稱美和奇異美是數學美的內容。
數學的美往往表現在那些冰冷的數字和奇怪的符號語言上。這種冷美壹點都不明顯，有些人視而不見，甚至覺得無聊。對於有鑒賞能力的人來說，對數學美的感知能震撼他的靈魂。壹旦理解了數學美，數學就不再枯燥，它能愉悅人的身心，培養人的興趣。
當我們畫出美麗的圖形，構造出美麗的方程，做出美麗的幾何圖形，數學不就是壹門藝術嗎？
如果教師能在教學中引導學生走進數學美的大花園，教會他們欣賞數學美的能力，他們壹定會在數學的花園裏流連忘返。
數學是壹門科學，它的研究對象是客觀世界中存在的、超越物質存在的數量關系，以及幾何體的大小、形狀、位置之間的關系。它的高度抽象性和概括性決定了它的學習規律，要註重基礎，循序漸進，在實踐中學習，在應用中內化。
數學的特點是，它所尋求的不是稍縱即逝的東西，也不是服務於某壹特定物質需要的問題，而是宇宙中永恒的規律；它不斷追求人類感官無法企及的宇宙最簡單、最深刻的根源；它既研究宇宙的規律，也研究自身，在發揮自身力量的同時研究自身的局限性。數學深刻地影響著人類的精神生活和物質生活。在任何壹個文明時代，數學素質都是人類素質的重要組成部分。數學的本質決定了數學教育在德育中具有不可或缺的作用，數學思維的培養和訓練是廣大人才的基礎和發源地。
什麽是數學？這是任何壹個數學教育工作者都應該認真思考的問題。只有認清數學的本質特征，才能把握數學教育研究的正確方向。
1.數學，其英文是mathematics，是復數名詞。“數學以前是算術、幾何、天文、音樂四科，比語法、修辭、辯證法的地位更高。”自古以來，大多數人都把數學看作是壹種知識體系，是經過嚴密的邏輯推理形成的理論知識的系統總和。它既反映了人們對“現實世界的空間形式和數量關系”的認識，也反映了人們對“可能的量的關系和形式”的認識。數學不僅可以來自對現實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的主動創造。
2.從人類社會的發展歷史來看，人們對數學本質特征的認識是不斷變化和深化的。“數學的根本在於常識，最顯著的例子就是非負整數。歐幾裏得的算術來源於常識中的非負整數，直到19世紀中葉，對數字的科學探索還停留在常識中。”再比如幾何中的相似，“幾何在個體發展中甚至先於算術”，其“最早的標誌之壹就是相似的知識”，而相似的知識發現得這麽早，“就像壹個大學生。”所以在19世紀之前，人們普遍認為數學是壹門自然科學，是壹門實證科學，因為當時數學與現實的聯系非常緊密。隨著數學研究的深入，數學是演繹科學的觀點在19世紀中期以後逐漸占據主導地位，這是在布爾巴基學派的研究中發展起來的。他們認為數學是壹門研究結構的科學，所有的數學都是以代數結構為基礎的。與這種觀點相對應的是，從古希臘的柏拉圖開始，很多人認為數學是研究模式的學問。數學家懷特海(A. N. Whiiehead，186-1947)在《數學與善》中說，“數學的本質特征是在從模式化的個體中抽象出來的過程中研究模式。1931年，哥德爾不完全性定理(k，G0de1，1978)的證明宣告了公理邏輯演繹體系中的不足，於是人們想到了數學是經驗科學的觀點，著名數學家馮·諾依曼認為數學既有演繹科學又有經驗科學。
3.對於上述關於數學本質特征的觀點，要從歷史的角度去分析。事實上，對數本質特征的理解是隨著數學的發展而發展的。因為數學來源於分配商品、計算時間、測量土地和體積的實踐，此時的數學對象(作為抽象思維的產物)非常接近客觀實際，人們很容易找到數學概念的現實原型，所以人們自然認為數學是壹門經驗科學；隨著數學研究的深入，出現了非歐幾何、抽象代數、集合論，特別是現代數學正在向抽象、多元、高維方向發展。人們的註意力都集中在這些抽象的對象上，數學與現實的距離越來越遠，數學證明(作為壹種演繹推理)在數學研究中占有重要地位。因此，數學作為人類思維的自由創造而出現，是壹門研究數量與抽象結構之間關系的科學。這些認識不僅反映了人們對數學認識的深化，也是人們從不同方面對數學認識的結果。正如有人所說，“恩格斯認為數學是對現實世界中數量關系和空間形式的研究，這與布爾巴基的結構觀並不矛盾。前者反映的是數學的起源，後者反映的是現代數學的水平，是由壹系列抽象結構搭建起來的建築。“數學是研究方式的知識的說法，是從數學的抽象過程和層次的角度對數學本質特征的解釋。此外，從思想根源來看，人們把數學看作是演繹科學和研究結構的科學，是基於人類對數學推理的必然性和準確性的先天信念，是對自身理性能力、根源和力量的自信的集中表現。因此，人們認為，這種發展數學理論的方法，即從不證自明的公理出發進行演繹推理，是絕對可靠的，也就是說，如果公理為真，那麽從公理推導出的結論也壹定為真。應用這些看似清晰、正確、完美的邏輯，數學家得出的結論顯然是毋庸置疑、無可辯駁的。
4.實際上，上述對數學本質特征的認識是從數學的起源、存在方式、抽象層次等方面進行的，數學的本質特征主要是從數學研究的成果中看到的。顯然，結果(作為壹個理論推導體系)並不能反映數學的全貌。構成數學整體的另壹個很重要的方面是數學研究的過程，而從整體上看，數學是壹個動態的過程，是壹個“思維的實驗過程”，是壹個數學真理的抽象概括過程。邏輯演繹系統是這壹過程的自然結果。在數學研究的過程中，數學對象豐富、生動、多變的壹面得以充分展現。保利亞(G. Poliva，1888-1985)認為，“數學具有兩面性，它是歐幾裏得的嚴格科學，但它也是別的東西。歐幾裏德方法提出的數學看似是壹門系統的演繹科學，但創造過程中的數學看似是壹門實驗的歸納科學。”弗裏登塔爾說，“數學是壹種非常特殊的活動，這種觀點”不同於數學是印在書本上、刻在頭腦裏的東西。“他認為，數學家或數學教科書喜歡把數學表述為“壹種組織良好的狀態”，即“數學的形式”是數學家通過自己的組織(活動)形成的；但是對於大多數人來說，他們把數學當成了工具。他們離不開數學，因為他們需要應用數學。即對於大眾來說，需要通過數學來學習數學的內容，從而學習相應的(應用數學)活動。這大概就是弗裏登塔爾所說的“數學是在內容和形式的相互作用中發現和組織的活動”。Efraim Fischbein說，“數學家的理想是獲得嚴謹的、連貫的、符合邏輯的知識實體。這壹事實並不排除數學必須被視為壹種創造過程:數學本質上是人類的活動，數學是人類發明的。“數學活動由三種基本成分的相互作用組成:形式、算法和直覺。庫朗和庫蘭尼·羅賓斯也說過，“數學是人類意誌的表達，反映了積極的意誌、深思熟慮的推理和精致完美的願望。其基本要素是邏輯與直覺、分析與建構、共性與個性。雖然不同的傳統可能強調不同的方面，但只有這些對立力量的相互作用和對它們的整合的鬥爭才構成了數學科學的生命、效用和高價值。"
除此之外，還有壹些對數學更寬泛的理解。比如有人認為“數學是壹種文化體系”“數學是壹種語言”，數學活動是社會性的。它是人類文明發展歷史進程中人類認識、適應和改造自然、完善自我和社會的高度智慧結晶。數學對人類的思維方式產生了關鍵影響。有人認為數學是壹門藝術，“相比於作為壹門學科的數學，我幾乎更願意將其視為壹門藝術，因為數學家在理性世界的指導下(雖然不受控制)所進行的執著的創造活動，與藝術家，比如畫家的創作活動是相似的。這是真實的而不是想象的。數學家嚴格的演繹推理在這裏可以比作特殊的註意力技巧。就像壹個人沒有壹定的技巧不可能成為畫家，沒有壹定水平的精確推理能力不可能成為數學家壹樣，這些品質是最基本的，...，連同其他更微妙的品質，構成了壹個優秀的藝術家或數學家的品質，最重要的是想象力。”“數學是推理的音樂”，“音樂是形象的數學”。這是從數學研究的過程和數學家應該具備的素質來討論數學的本質。有人把數學看作是壹種對待事物的基本態度和方法，壹種精神和觀念，即數學精神，數學觀念和態度。在《社會中的數學》壹文中，莫根斯·尼斯認為，數學是壹門學科，“在認識論意義上，它是壹門科學，它的目標是建立、描述和理解某些領域中的對象、現象、關系和機制。如果這個領域是由我們通常認為的數學實體組成的，那麽數學就扮演了純科學的角色。在這種情況下，數學旨在內在的自我發展和自我理解，並獨立於外部世界...另壹方面，如果所考慮的領域存在於數學之外，...，數學起著運用科學的作用...，數學這兩個方面的區別不是數學內容本身的問題，而是人們關註的焦點不同。無論是純理論還是應用，數學作為壹門科學有助於產生知識和洞察力。數學也是壹個工具、產品和過程的系統，它幫助我們做出與掌握數學以外的實際領域相關的決策和行動...數學是壹個審美的領域，它能給許多癡迷於它的人提供美感、愉悅和刺激...數學作為壹門學科，它的傳播和發展需要新壹代的人來掌握。數學學習不會同時自動進行，需要人教。因此，數學也是我們社會教育體系中的壹門教學學科。"
從上面可以看出，人是從數學內部(以及從數學內容、表達、研究過程等角度)來說的。討論了數學與社會、數學與其他學科、數學與人類發展的關系。它們都從壹個側面反映了數學的本質特征，為我們全面認識數學的本質提供了壹個視角。
6.基於對數學本質特征的上述認識，人們也從不同方面討論了數學的具體特征。普遍的看法是，數學具有抽象性、精確性和廣泛應用性的特點，其中抽象性是最本質的特征。壹個，百分之二十。亞歷山大·洛夫說，“即使妳對數學只有膚淺的了解，妳也能很容易地感知到數學的這些特點:第壹，它是抽象的；二是準確，或者更好，他說是邏輯的嚴密性和結論的確定性；最後，它的應用極其廣泛和自然。”“5”王翠坤說，“數學的特點是:內容抽象，應用廣泛，推理嚴謹，結論明確。此外，從數學研究的過程以及數學與其他學科的關系來看，數學也是生動的、現實的、準經驗的。“可證偽性”的特征。對數學特點的認識也具有時代特征。比如數學的嚴謹性，在數學的每個歷史發展時期都有不同的標準。從歐幾裏得幾何到羅·巴爾切夫斯基幾何再到希爾伯特公理系統，對於嚴密性的評價標準大相徑庭。尤其是在哥德爾提出並證明了“不完全性定理……”之後，人們發現，即使是公理化這種曾經備受推崇的嚴謹科學方法，也是有缺陷的。因此，數學的嚴謹性表現在數學發展史上，具有相對性。關於數學的似是而非，保利亞在他的《數學與猜想》中指出，“數學被視為壹門論證科學。然而，這只是其中的壹個方面。定型數學的最終形式似乎是純粹的演示材料，只有證明。然而，創造數學的過程和創造任何其他知識的過程是壹樣的。在證明壹個數學定理之前，妳要猜測這個定理的內容。在妳做壹個詳細的證明之前，妳得猜測壹下證明的思路。妳得綜合觀察到的結果，然後打個比方。妳必須壹遍又壹遍地做。數學家創造性工作的結果是論證，即證明；但是這個證明是通過合理的推理和猜想發現的。只要數學的學習過程能稍微反映出數學的發明過程，那麽猜想和合理推理就應該占據適當的位置。“正是從這個角度出發，我們說數學的確定性是相對的、有條件的，對數學來說是生動的、現實的、準經驗的。對“可證偽性”特征的強調，實際上突出了數學研究中的觀察、實驗和分析。比較、類比、歸納、聯想等思維過程的重要性。
綜上所述，對數學本質特征的認識是發展的。用歷史的、發展的觀點看數學的本質特征，恩格斯關於“純數學的對象是現實世界中的空間形式和數量關系”的論斷並沒有過時，尤其是對於初等數學而言。當然，要適當拓展和深化“空間形式與數量關系”的內涵。順便說壹句，在數學本質特征的討論中，采取現象與本質、過程與結果、形式與內容並重的觀點，具有重要的指導意義。