各樣的雜工，如護堤員、建築工等等。父親由於貧窮，本身沒有受
過什麼教育。
母親在三十四歲時才結婚，三十五歲生下了高斯。她是壹名石
匠的女兒，有壹個很聰明的弟弟，他手巧心靈是當地出名的織綢能
手，高斯的這位舅舅，對小高斯很照顧，有機會就教育他，把他所
知道的壹些知識傳授給他。而父親可以說是壹名”大老粗”，認為
只有力氣能掙錢，學問對窮人是沒有用的。
高斯在晚年喜歡對自己的小孫兒講述自己小時候的故事，他說
他在還不會講話的時候，就已經學會計算了。
他還不到三歲的時候，有壹天他觀看父親在計算受他管轄的工
人們的周薪。父親在喃喃的計數，最後長嘆的壹聲表示總算把錢算
出來。
父親念出錢數，準備寫下時，身邊傳來微小的聲音：「爸爸！
算錯了，錢應該是這樣.....。」
父親驚異地再算壹次，果然小高斯講的數是正確的，奇特的地
方是沒有人教過高斯怎麼樣計算，而小高斯平日靠觀察，在大人不
知不覺時，他自己學會了計算。
另外壹個著名的故事亦可以說明高斯很小時就有很快的計算能
力。當他還在小學讀書時，有壹天，算術老師要求全班同學算出以
下的算式：
1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ?
在老師把問題講完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答
案5050，而其他孩子算到頭昏腦脹，還是算不出來。最後只有高斯
的答案是正確無誤。
原來 1 +100= 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
.
.
.
50 + 51 = 101
前後兩項兩兩相加，就成了50對和都是 101的配對了
即 101 × 50 = 5050。
按：今用公式
表示 1 + 2 + ... + n
高斯的家裏很窮，在冬天晚上吃完飯後，父親就要高斯上
床睡覺，這樣可以節省燃料和燈油。高斯很喜歡讀書，他往往
帶了壹捆蕪菁上他的頂樓去，他把蕪菁當中挖空，塞進用粗棉
卷成的燈芯，用壹些油脂當燭油，於是就在這發出微弱光亮的
燈下，專心地看書。等到疲勞和寒冷壓倒他時，他才鉆進被窩
睡覺。
高斯的算術老師本來是對學生態度不好，他常認為自己在
窮鄉僻壤教書是懷才不遇，現在發現了「神童」，他是很高興
。但是很快他就感到慚愧，覺得自己懂的數學不多，不能對高
斯有什麼幫助。
他去城裏自掏腰包買了壹本數學書送給高斯，高斯很高興
和比他大差不多十歲的老師的助手壹起學習這本書。這個小孩
和那個少年建立起深厚的感情，他們花許多時間討論這裏面的
東西。
高斯在十壹歲的時候就發現了二項式定理 ( x + y )n的壹般
情形,這裏 n可以是正負整數或正負分數。當他還是壹個小學生
時就對無窮的問題註意了。
有壹天高斯在走回家時，壹面走壹面全神貫註地看書，不
知不覺走進了布倫斯維克 ( Braunschweig ) 宮的庭園，這時布倫
斯維克公爵夫人看到這個小孩那麼喜歡讀書，於是就和他交談
，她發現他完全明白所讀的書的深奧內容。
公爵夫人回去報告給公爵知道，公爵也聽說過在他所管轄
的領地有壹個聰明小孩的故事，於是就派人把高斯叫去宮殿。
費迪南公爵 ( Duke Ferdinand ) 很喜歡這個害羞的孩子，也
賞識他的才能，於是決定給他經濟援助，讓他有機會受高深教
育，費迪南公爵對高斯的照顧是有利的，不然高斯的父親是反
對孩子讀太多書，他總認為工作賺錢比去做什麼數學研究是更
有用些，那高斯又怎麼會成材呢？
高斯的學校生涯
在費迪南公爵的善意幫助下，十五歲的高斯進入壹間著名
的學院（程度相當於高中和大學之間）。在那裏他學習了古代
和現代語言，同時也開始對高等數學作研究。
他專心閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日這些歐洲著名數學家的
作品。他對牛頓的工作特別欽佩，並很快地掌握了牛頓的微積
分理論。
1795年10月他離開家鄉的學院到哥庭根 ( Gottingen )去念大
學。哥庭根大學在德國很有名，它的豐富數學藏書吸引了高斯
。許多外國學生也到那裏學習語言、神學、法律或醫學。這是
壹個學術風氣很濃厚的城市。
高斯這時候不知道要讀什麼系，語言系呢還是數學系？如
果以實用觀點來看，學數學以後找生活是不大容易的。
可是在他十八歲的前夕，現在數學上的壹個新發現使他決
定終生研究數學。這發現在數學史上是很重要的。
我們知道當 n ≥ 3 時，正 n 邊形是指那些每壹邊都相等，
內角也壹樣的 n 邊多邊形。
希臘的數學家早知道用圓規和沒有刻度的直尺畫出正三、
四、五、十五邊形。但是在這之後的二千多年以來沒有人知道
怎麼用直尺和圓規構造正十壹邊、十三邊、十四邊、十七邊多
邊形。
還不到十八歲的高斯發現了：壹個正 n 邊形可以用直尺和
圓規畫出當且僅當 n 是底下兩種形式之壹：
k= 0,1,2, ...
十七世紀時法國數學家費馬 ( Fermat ) 以為公式
在 k = 0, 1, 2, 3, ....給出素數。（事實上，目前只確定 F0,F1,F2,F4
是質數，F5不是）。
高斯用代數方法解決了二千多年來的幾何難題，而且找到
正十七邊形的直尺與圓規的作法。他是那麼的興奮，因此決定
壹生研究數學。據說，他還表示希望死後在他的墓碑上能刻上
壹個正十七邊形，以紀念他少年時最重要的數學發現。
1799年高斯呈上他的博士論文，這論文證明了代數壹個重
要的定理：任何壹元代數方程都有根。這結果數學上稱為”代
數基本定理”。
事實上在高斯之間有許多數學家認為已給出了這個結果的
證明，可是沒有壹個證是嚴密的，高斯是第壹個數學家給出嚴
密無誤的證明，高斯認為這個定理是很重要的，在他壹生中給
了壹***四個不同的證明。高斯沒有錢印刷他的學位論文，還好
費迪南公爵給他錢印刷。
二十歲時高斯在他的日記上寫，他有許多數學想法出現在
腦海中，由於時間不定，因此只能記錄壹小部份。幸虧他把研
究的成果寫成壹本叫＜算學研究＞，並且在二十四歲時出版，
這書是用拉丁文寫，原來有八章，由於錢不夠，只好印七章，
這書可以說是數論第壹本有系統的著作，高斯第壹次介紹”同
余”這個概念。
智鬥豬八戒
話說唐僧師徒西天取經歸來，來到郭家村，受到村民的熱烈歡迎，大家都把他們當作除魔降妖的大英雄，不僅與他們合影留念，還拉他們到家裏作客。
面對村民的盛情款待，師徒們覺得過意不去，壹有機會就幫助他們收割莊稼，耕田耙地。開始幾天豬八戒還挺賣力氣，可過不了幾天，好吃懶做的壞毛病又犯了。他覺得這樣幹活太辛苦了，師傅多舒服，只管坐著講經念佛就什麽都有了。其實師傅也沒什麽了不起的，要不是猴哥憑著他的火眼金睛和壹身的本領，師傅恐怕連西天都去不了，更別說取經了。要是我也有這麽壹個徒弟，也能有壹番作為，到那時，哈哈，我就可以享清福了。
於是八戒就開始張落起這件事來，沒幾天就召收了9個徒弟，他給他們取名：小壹戒、小二戒…小九戒。按理說，現在八戒應該潛心修煉，專心教導徒弟了。可是他仍然惡習不改，經常帶著徒弟出去蹭吃蹭喝，吃得老百姓叫苦不叠。老百姓想著他們曾經為大家做的好事，誰也不好意思到悟空那裏告狀。就這樣，八戒們更是有恃無恐，大開吃戒，壹頓要吃掉五、六百個饅頭，老百姓被他們吃得快揭不開鍋了。
鄰村有個叫靈芝的姑娘，她聰明伶俐，為人善良，經常用自己的智慧巧鬥惡人。她聽了這件事後，決定懲治壹下八戒們。她來到郭家村，開了壹個飯鋪，八戒們聞訊趕來，靈芝姑娘假裝驚喜地說：“悟能師傅，妳能到我的飯鋪，真是太榮幸了。以後妳們就到我這兒來吃飯，不要到別的地方去了。”她停了壹下說：“這兒有張圓桌，專門為妳們準備的，妳們十位每次都按不同的次序入座，等妳們把所有的次序都坐完了，我就免費提供妳們飯菜。但在此之前，妳們每吃壹頓飯，都必須為村裏的壹戶村民做壹件好事，妳們看怎麽樣？”八戒們壹聽這誘人的建議，興奮得不得了，連聲說好。於是他們每次都按約定的條件來吃飯，並記下入座次序。這樣過了幾年，新的次序仍然層出不窮，八戒百思不得其解，只好去向悟空請教。悟空聽了不禁哈哈大笑起來，說：“妳這呆子，這麽簡單的帳都算不過來，還想去沾便宜，妳們是永遠也吃不到這頓免費飯菜的。”“難道我們吃二、三十年，還吃不到嗎？”悟空說：“那我就給妳算算這筆帳吧。我們先從簡單的數算起。假設是三個人吃飯，我們先給他們編上1、2、3的序號，排列的次序就有6種，即123，132，213，231，312，321。如果是四個人吃鈑，第壹個人坐著不動，其他三個人的座位就要變換六次，當四個人都輪流作為第壹個人坐著不動時，總的排列次序就是6×4＝24種。按就樣的方法，可以推算出：五個人去吃飯，排列的次序就有24×5＝120種……10個人去吃鈑就會有3628800種不同的排列次序。因為每天要吃3頓鈑，用3628800÷3就可以算出要吃的天數：1209600天，也就是將近3320年。妳們想想，妳們能吃到這頓免費鈑菜嗎？”
經悟空這麽壹算，八戒頓時明白了靈芝姑娘的用意，不禁羞愧萬分。從此以後，八戒經常帶著徙弟們幫村民們幹活。他們又重新贏得了人們的喜歡。
取勝的對策
戰國時期，齊威王與大將田忌賽馬，齊威王和田忌各有三匹好馬：上馬，中馬與下馬。比賽分三次進行，每賽馬以千金作賭。由於兩者的馬力相差無幾，而齊威王的馬分別比田忌的相應等級的馬要好，所以壹般人都以為田忌必輸無疑。但是田忌采納了門客孫臏（著名軍事家）的意見，用下馬對齊威王的上馬，用上馬對齊威王的中馬，用中馬對齊威王的下馬，結果田忌以2比1勝齊威王而得千金。這是我國古代運用對策論思想解決問題的壹個範例。
下面有壹個兩人做的遊戲：輪流報數，報出的數不能超過8（也不能是0），把兩面三刀個人報出的數連加起來，誰報數後使和為88，誰就獲勝。如果讓妳先報數，妳第壹次應該報幾才能壹定獲勝？
分析：因為每人每次至少報1，最多報8，所以當某人報數之後，另壹人必能找到壹個數，使此數與某所報的數之和為9。依照規則，誰報數後使和為88，誰就獲勝，於是可推知，誰報數後和為79（=88－9），誰就獲勝。88=9×9＋7，依次類推，誰報數後使和為16，誰就獲勝。進壹步，誰先報7，誰就獲勝。於是得出先報者的取勝對策為：先報7，以後若對方報K（1≤K≤8），妳就報（9－K）。這樣，當妳報第10個數的時候，就會取得勝利。
蝸牛何時爬上井？
壹只蝸牛不小心掉進了壹口枯井裏。它趴在井底哭了起來。壹只癩（
lai）蛤蟆爬過來，甕聲甕氣的對蝸牛說：“別哭了，小兄弟！哭也沒用，這井壁太高了，掉到這裏就只能在這生活了。我已經在這裏過了多年了，很久沒有看到過太陽，就更別提想吃天鵝肉了！”蝸牛望著又老又醜的癩蛤蟆，心裏想：“井外的世界多美呀，我決不能像它那樣生活在又黑又冷的井底裏！”蝸牛對癩蛤蟆說： “癩大叔，我不能生活在這裏，我壹定要爬上去！請問這口井有多深？”“哈哈哈……，真是笑話！這井有10米深，妳小小的年紀，又背負著這麽重的殼，怎麽能爬上去呢？”“我不怕苦、不怕累，每天爬壹段，總能爬出去！”第二天，蝸牛吃得飽飽的，喝足了水，就開始順著井壁往上爬了。它不停的爬呀，到了傍晚終於爬了5米。蝸牛特別高興，心想：“照這樣的速度，明天傍晚我就能爬上去。”想著想著，它不知不覺地睡著了。早上，蝸牛被壹陣呼嚕聲吵醒了。壹看原來是癩大叔還在睡覺。它心裏壹驚：“我怎麽離井底這麽近？”原來，蝸牛睡著以後從井壁上滑下來4米。蝸牛嘆了壹口氣，咬緊牙又開始往上爬。到了傍晚又往上爬了5米，可是晚上蝸牛又滑下4米。爬呀爬，最後堅強地蝸牛終於爬上了井臺。小朋友妳能猜出來，蝸牛需要用幾天時間就能爬上井臺嗎？