當x趨近於正無窮或負無窮時，[1+(1/x)]^x的極限就等於e，實際上e就是通過這個極限而發現的。它是個無限不循環小數。其值約等於2.718281828...
它用e表示
以e為底數的對數通常用於㏑
而且e還是壹個超越數
e在科學技術中用得非常多，壹般不使用以10為底數的對數。以e為底數，許多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對數”。
渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式，比如：壹縷裊裊升上藍天的炊煙，壹朵碧湖中輕輕蕩開的漣漪，數只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁星……
螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達：
φkρ=αe
其中，α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。為了討論方便，我們把e或由e經過壹定變換和復合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值為2.71828……，是壹個無限循環數。
、“自然律”之美
“自然律”是e 及由e經過壹定變換和復合的形式。e是“自然律”的精髓，在數學上它是函數：
(1+1/x)^x
當X趨近無窮時的極限。
人們在研究壹些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究
(1+1/x)^x
X的X次方，當X趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個相反方向發展（當X趨向正無窮大的時，上式的極限等於e=2.71828……，當X趨向負無窮大時候，上式的結果也等於e=2.71828……）得來的***同形式，充分體現了宇宙的形成、發展及衰亡的最本質的東西。
現代宇宙學表明，宇宙起源於“大爆炸”，而且目前還在膨脹，這種描述與十九世紀後半葉的兩個偉大發現之壹的熵定律，即熱力學第二定律相吻合。熵定律指出，物質的演化總是朝著消滅信息、瓦解秩序的方向，逐漸由復雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極限就是無序的平衡，即熵最大的狀態，壹種無為的死寂狀態。這過程看起來像什麽？只要我們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。如果我們壹定要找到亞裏士多德所說的那種動力因，那麽，可以把宇宙看成是由各個預先上緊的發條組織，或者幹脆把整個宇宙看成是壹個巨大的發條，歷史不過是這種發條不斷爭取自由而放出能量的過程。
生命體的進化卻與之有相反的特點，它與熱力學第二定律描述的熵趨於極大不同，它使生命物質能避免趨向與環境衰退。任何生命都是耗散結構系統，它之所以能免於趨近最大的熵的死亡狀態，就是因為生命體能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環境中不斷吸取負熵。新陳代謝中本質的東西，乃是使有機體成功的消除了當它自身活著的時候不得不產生的全部熵。
“自然律”壹方面體現了自然系統朝著壹片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另壹方面又顯示了生命系統只有通過壹種有序化過程才能維持自身穩定和促進自身的發展（如細胞繁殖）的本質。正是具有這種把有序和無序、生機與死寂寓於同壹形式的特點，“自然律”才在美學上有重要價值。
如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是“自然律”無序死寂的熵增狀態，那麽廣闊無垠、生機盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向榮的動態穩定結構。因此，大漠使人感到肅穆、蒼茫，令人沈思，讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷；而草原則使人興奮、雀躍，讓人感到生命的歡樂和幸福。
e=2.71828……是“自然律”的壹種量的表達。“自然律”的形象表達是螺線。螺線的數學表達式通常有下面五種：（1）對數螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）回旋螺線。對數螺線在自然界中最為普遍存在，其它螺線也與對數螺線有壹定的關系，不過目前我們仍未找到螺線的通式。對數螺線是1638年經笛卡爾引進的，後來瑞士數學家雅各·伯努利曾詳細研究過它，發現對數螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數螺線，極點在對數螺線各點的切線仍是對數螺線，等等。伯努利對這些有趣的性質驚嘆不止，竟留下遺囑要將對數螺線畫在自己的墓碑上。
英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到：旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。事實上，我們也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。為什麽我們的感覺、我們的“精神的”眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣壹種螺線的形式中得到滿足呢？這難道不意味著我們的精神，我們的“內在”世界同外在世界之間有壹種比歷史更原始的同構對應關系嗎？
我們知道，作為生命現象的基礎物質蛋白質，在生命物體內參與著生命過程的整個工作，它的功能所以這樣復雜高效和奧秘無窮，是同其結構緊密相關的。化學家們發現蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的，決定遺傳的物質——核酸結構也是螺螺狀的。
古希臘人有壹種稱為風鳴琴的樂器，當它的琴弦在風中振動時，能產生優美悅耳的音調。這種音調就是所謂的“渦流尾跡效應”。讓人深思的是，人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官的內耳結構也具渦旋狀。這是為便於欣賞古希臘人的風鳴琴嗎？還有我們的指紋、發旋等等，這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應，也就是“內在”與“外在”和諧的自然基礎。
有人說數學美是“壹”的光輝，它具有盡可能多的變換群作用下的不變性，也即是擁有自然普通規律的表現，是“多”與“壹”的統壹，那麽“自然律”也同樣閃爍著“壹”的光輝。誰能說清e=2.71828……給數學家帶來多少方便和成功？人們贊揚直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有人說美是主體和客體的同壹，是內在精神世界同外在物質世界的統壹，那麽“自然律”也同樣有這種統壹。人類的認識是按否定之否定規律發展的，社會、自然的歷史也遵循著這種辯證發展規律，是什麽給予這種形式以生動形象的表達呢？螺線！
有人說美在於事物的節奏，“自然律”也具有這種節奏；有人說美是動態的平衡、變化中的永恒，那麽“自然律”也同樣是動態的平衡、變化中的永恒；有人說美在於事物的力動結構，那麽“自然律”也同樣具有這種結構——如表的遊絲、機械中的彈簧等等。
“自然律”是形式因與動力因的統壹，是事物的形象顯現，也是具象和抽象的***同表達。有限的生命植根於無限的自然之中，生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調整著運動和節奏……有機的和無機的，內在的和外在的，社會的和自然的，壹切都合而為壹。這就是“自然律”揭示的全部美學奧秘嗎？不！“自然律”永遠具有不能窮盡的美學內涵，因為它象征著廣袤深邃的大自然。正因為如此，它才吸引並且值的人們進行不懈的探索，從而顯示人類不斷進化的本質力量。（原載《科學之春》雜誌1984年第4期，原題為：《自然律——美學家和藝術家的瑰寶》）
附：
這是小數點後面兩千位：
e=:2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109 62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310 05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275 36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965 50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183 15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139
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開放分類：
數學
參考資料：
1.《自然律——美學家和藝術家的瑰寶》
旋渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式，比如：壹縷裊裊升上藍天的炊煙，壹朵碧湖中輕輕蕩開的漣漪，數只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數在恬靜的夜空攜擁著旋舞的繁星……
螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達：
φkρ=αe
其中，α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。為了討論方便，我們把e或由e經過壹定變換和復合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值為2.71828……，是壹個無限循環數。
數，美嗎？
1、數之美
人們很早就對數的美有深刻的認識。其中，公元前六世紀盛行於古希臘的畢達哥斯學派見解較為深刻。他們首先從數學和聲學的觀點去研究音樂節奏的和諧，發現聲音的質的差別（如長短、高低、輕重等）都是由發音體數量方面的差別決定的。例如發音體（如琴弦）長，聲音就長；振動速度快，聲音就高；振動速度慢，聲音就低。因此，音樂的基本原則在於數量關系。
畢達哥斯學派把音樂中的和諧原理推廣到建築、雕刻等其它藝術，探求什麽樣的比例才會產生美的效果，得出了壹些經驗性的規範。例如，在歐洲有長久影響的“黃金律”據說是他們發現的（有人說，是蔡泌於壹八五四年提出了所謂的“黃金分割律”。所謂黃金分割律“就是取壹根線分為兩部分，使長的那部分的平方等於短的那部分乘全線段。”“如果某物的長與寬是按照這個比例所組成的，那麽它就比由其它比例所組成的長方形‘要美’。”）。
這派學者還把數學與和諧的原則應用於天文學的研究，因而形成所謂“諸天音樂”或“宇宙和諧”的概念，認為天上諸星體在遵照壹定的軌道運動中，也產生壹種和諧的音樂。他們還認為，人體的機能也是和諧的，就象壹個“小宇宙”。人體之所以美，是由於它各部分——頭、手、腳、五官等比例適當，動作協調；宇宙之所以美，是由於各個物質單位以及各個星體之間運行的速度、距離、周轉時間等等配合協調。這些都是數的和諧。
中國古代思想家們也有類似的觀點。道家的老子和周易《系辭傳》，都曾嘗試以數學解釋宇宙生成，後來又衍為周易象數派。《周易》中賁卦的表示樸素之美，離卦的表示華麗之美，以及所謂“極其數，遂定天下之象”，都是類似數學推理的結論。儒家的荀卿也說過：“萬物同宇宙而異體。無宜而有用為人，數也。”莊子把“小我”與“大我”壹視同仁，“小年”與“大年”等量齊觀，也略同於畢達哥拉斯學派之把“小宇宙”和“大宇宙”互相印證。所謂“得之於手而應用於心，口不能言，有數存在焉與其間”。這種從數的和諧看出美的思想，深深地影響了後世的中國美學。
2、黃金律之美
黃金律歷來被染上瑰麗詭秘的色彩，被人們稱為“天然合理”的最美妙的形式比例。我們知道，黃金律不僅是構圖原則，也是自然事物的最佳狀態。中世紀意大利數學家費勃奈舍發現，許多植物葉片、花瓣以及松果殼瓣，從小到大的序列是以0.618：1的近似值排列的，這即是著名的“費勃奈舍數列”：1、2、3、5、8、13、21、34……動物身上的色彩圖案也大體符合黃金比。舞蹈教練、體操專家選擇人材制定的比列尺寸，例如肩寬和腰的比例、腰部以上與腰部以下的比列也都大體符合黃金比。
現代科學家還發現，當大腦呈現的“倍塔”腦電波的高頻與低頻之比是1：0.618的近似值(12.9赫茲與8赫茲之比)時，人的心身最具快感。甚至，當大自然的氣溫（23攝氏度）與人的體溫37攝氏度之比為0.618:1時,最適宜於人的身心健康,最使人感到舒適。另外，數學家們為工農業生產制度的優選法，所提出的配料最佳比例、組織結構的最佳比例等等，也都大體符合黃金律。
然而，這並不意味著黃金律比“自然律”更具有美學意義。我們可以證明，當對數螺線：
φkρ=αe
的等比取黃金律，即k=0.0765872，等比P1/P2=0.618時，則螺線中同壹半徑線上相鄰極半徑之比都有黃金分割關系。事實上，當函數f（X）等於e的X次方時，取X為0.4812,那麽，f（X）=0.618……
因此，黃金律被“自然律”邏輯所蘊含。換言之，“自然律”囊括了黃金律。
黃金律表現了事物的相對靜止狀態，而“自然律”則表現了事物運動發展的普遍狀態。因此，從某種意義上說，黃金律是凝固的“自然律”，“自然律”是運動著的黃金律。
3、“自然律”之美
“自然律”是e 及由e經過壹定變換和復合的形式。e是“自然律”的精髓，在數學上它是函數：
1（1+——）
X的X次方，當X趨近無窮時的極限。
人們在研究壹些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究
1（1+——）
X的X次方，當X趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個相反方向發展（當X趨向正無窮大的時，上式的極限等於e=2.71828……，當X趨向負無窮大時候，上式的結果也等於e=2.71828……）得來的***同形式，充分體現了宇宙的形成、發展及衰亡的最本質的東西。
現代宇宙學表明，宇宙起源於“大爆炸”，而且目前還在膨脹，這種描述與十九世紀後半葉的兩個偉大發現之壹的熵定律，即熱力學第二定律相吻合。熵定律指出，物質的演化總是朝著消滅信息、瓦解秩序的方向，逐漸由復雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極限就是無序的平衡，即熵最大的狀態，壹種無為的死寂狀態。這過程看起來像什麽？只要我們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。如果我們壹定要找到亞裏士多德所說的那種動力因，那麽，可以把宇宙看成是由各個預先上緊的發條組織，或者幹脆把整個宇宙看成是壹個巨大的發條，歷史不過是這種發條不斷爭取自由而放出能量的過程。
生命體的進化卻與之有相反的特點，它與熱力學第二定律描述的熵趨於極大不同，它使生命物質能避免趨向與環境衰退。任何生命都是耗散結構系統，它之所以能免於趨近最大的熵的死亡狀態，就是因為生命體能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環境中不斷吸取負熵。新陳代謝中本質的東西，乃是使有機體成功的消除了當它自身活著的時候不得不產生的全部熵。
“自然律”壹方面體現了自然系統朝著壹片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另壹方面又顯示了生命系統只有通過壹種有序化過程才能維持自身穩定和促進自身的發展（如細胞繁殖）的本質。正是具有這種把有序和無序、生機與死寂寓於同壹形式的特點，“自然律”才在美學上有重要價值。
如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是“自然律”無序死寂的熵增狀態，那麽廣闊無垠、生機盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向榮的動態穩定結構。因此，大漠使人感到肅穆、蒼茫，令人沈思，讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷；而草原則使人興奮、雀躍，讓人感到生命的歡樂和幸福。
e=2.71828……是“自然律”的壹種量的表達。“自然律”的形象表達是螺線。螺線的數學表達式通常有下面五種：（1）對數螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）回旋螺線。對數螺線在自然界中最為普遍存在，其它螺線也與對數螺線有壹定的關系，不過目前我們仍未找到螺線的通式。對數螺線是1638年經笛卡爾引進的，後來瑞士數學家雅各·伯努利曾詳細研究過它，發現對數螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數螺線，極點在對數螺線各點的切線仍是對數螺線，等等。伯努利對這些有趣的性質驚嘆不止，竟留下遺囑要將對數螺線畫在自己的墓碑上。
英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到：旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。事實上，我們也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。為什麽我們的感覺、我們的“精神的”眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣壹種螺線的形式中得到滿足呢？這難道不意味著我們的精神，我們的“內在”世界同外在世界之間有壹種比歷史更原始的同構對應關系嗎？
我們知道，作為生命現象的基礎物質蛋白質，在生命物體內參與著生命過程的整個工作，它的功能所以這樣復雜高效和奧秘無窮，是同其結構緊密相關的。化學家們發現蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的，決定遺傳的物質——核酸結構也是螺螺狀的。
古希臘人有壹種稱為風鳴琴的樂器，當它的琴弦在風中振動時，能產生優美悅耳的音調。這種音調就是所謂的“渦流尾跡效應”。讓人深思的是，人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官的內耳結構也具渦旋狀。這是為便於欣賞古希臘人的風鳴琴嗎？還有我們的指紋、發旋等等，這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應，也就是“內在”與“外在”和諧的自然基礎。
有人說數學美是“壹”的光輝，它具有盡可能多的變換群作用下的不變性，也即是擁有自然普通規律的表現，是“多”與“壹”的統壹，那麽“自然律”也同樣閃爍著“壹”的光輝。誰能說清e=2.71828……給數學家帶來多少方便和成功？人們贊揚直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有人說美是主體和客體的同壹，是內在精神世界同外在物質世界的統壹，那麽“自然律”也同樣有這種統壹。人類的認識是按否定之否定規律發展的，社會、自然的歷史也遵循著這種辯證發展規律，是什麽給予這種形式以生動形象的表達呢？螺線！
有人說美在於事物的節奏，“自然律”也具有這種節奏；有人說美是動態的平衡、變化中的永恒，那麽“自然律”也同樣是動態的平衡、變化中的永恒；有人說美在於事物的力動結構，那麽“自然律”也同樣具有這種結構——如表的遊絲、機械中的彈簧等等。
“自然律”是形式因與動力因的統壹，是事物的形象顯現，也是具象和抽象的***同表達。有限的生命植根於無限的自然之中，生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調整著運動和節奏……有機的和無機的，內在的和外在的，社會的和自然的，壹切都合而為壹。這就是“自然律”揭示的全部美學奧秘嗎？不！“自然律”永遠具有不能窮盡的美學內涵，因為它象征著廣袤深邃的大自然。正因為如此，它才吸引並且值的人們進行不懈的探索，從而顯示人類不斷進化的本質力量。（原載《科學之春》雜誌1984年第4期，原題為：《自然律——美學家和藝術家的瑰寶》）
2，尤拉的自然對數底公式
（大約等於2.71828的自然對數的底——e）
尤拉被稱為數字界的莎士比亞，他是歷史上最多產的數學家，也是各領域（包含數學中理論與應用的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫藥等）最多著作的學者。數學史上稱十八世紀為“尤拉時代”。
尤拉出生於瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力，使他在13個小孩子吵鬧的環境中仍能精確思考復雜問題。
尤拉壹生謙遜，從沒有用自己的名字給他發現的東西命名。只有那個大約等於2.71828的自然對數的底，被他命名為e。但因他對數學廣泛的貢獻，因此在許多數學分支中，反而經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。
我們現在習以為常的數學符號很多都是尤拉所發明介紹的，例如：函數符號f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虛數i等。高中教師常用壹則自然對數的底數e笑話，幫助學生記憶壹個很特別的微分公式：在壹家精神病院裏，有個病患整天對著別人說，“我微分妳、我微分妳。”也不知為什麽，這些病患都有壹點簡單的微積分概念，總以為有壹天自己會像壹般多項式函數般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了壹個不為所動的人，他很意外，而這個人淡淡地對他說，“我是e的x次方。”
這個微分公式就是：e不論對x微分幾次，結果都還是e！難怪數學系學生會用e比喻堅定不移的愛情！
相對於π是希臘文字中圓周第壹個字母，e的由來較不為人熟知。有人甚至認為：尤拉取自己名字的第壹個字母作為自然對數。
而尤拉選擇e的理由較為人所接受的說法有二：壹為在a，b，c，d等四個常被使用的字母後面，第壹個尚未被經常使用的字母就是e，所以，他很自然地選了這個符號，代表自然對數的底數；壹為e是指數的第壹個字母，雖然妳或許會懷疑瑞士人尤拉的母語不是英文，可事實上法文、德文的指數都是它。
參考資料：